components/tactics/fourier.ml

   1 (***********************************************************************)
   2 (*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team    *)
   3 (* <O___,, *        INRIA-Rocquencourt  &  LRI-CNRS-Orsay              *)
   4 (*   \VV/  *************************************************************)
   5 (*    //   *      This file is distributed under the terms of the      *)
   6 (*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1       *)
   7 (***********************************************************************)
   8
   9 (* $Id$ *)
  10
  11 (* Méthode d'élimination de Fourier *)
  12 (* Référence:
  13 Auteur(s) : Fourier, Jean-Baptiste-Joseph
  14
  15 Titre(s) : Oeuvres de Fourier [Document électronique]. Tome second. Mémoires publiés dans divers recueils / publ. par les soins de M. Gaston Darboux,...
  16
  17 Publication : Numérisation BnF de l'édition de Paris : Gauthier-Villars, 1890
  18
  19 Pages: 326-327
  20
  21 http://gallica.bnf.fr/
  22 *)
  23
  24 (** @author The Coq Development Team *)
  25
  26
  27 (* Un peu de calcul sur les rationnels...
  28 Les opérations rendent des rationnels normalisés,
  29 i.e. le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
  30 *)
  31
  32
  33 (** Type for coefficents *)
  34 type rational = {
  35 num:int; (** Numerator *)
  36 den:int;  (** Denumerator *)
  37 };;
  38
  39 (** Debug function.
  40     @param x the rational to print*)
  41 let print_rational x =
  42         print_int x.num;
  43         print_string "/";
  44         print_int x.den
  45 ;;
  46
  47 let rec pgcd x y = if y = 0 then x else pgcd y (x mod y);;
  48
  49 (** The constant 0*)
  50 let r0 = {num=0;den=1};;
  51 (** The constant 1*)
  52 let r1 = {num=1;den=1};;
  53
  54 let rnorm x = let x = (if x.den<0 then {num=(-x.num);den=(-x.den)} else x) in
  55               if x.num=0 then r0
  56               else (let d=pgcd x.num x.den in
  57                     let d= (if d<0 then -d else d) in
  58                     {num=(x.num)/d;den=(x.den)/d});;
  59
  60 (** Calculates the opposite of a rational.
  61     @param x The rational
  62     @return -x*)
  63 let rop x = rnorm {num=(-x.num);den=x.den};;
  64
  65 (** Sums two rationals.
  66     @param x A rational
  67     @param y Another rational
  68     @return x+y*)
  69 let rplus x y = rnorm {num=x.num*y.den + y.num*x.den;den=x.den*y.den};;
  70 (** Substracts two rationals.
  71     @param x A rational
  72     @param y Another rational
  73     @return x-y*)
  74 let rminus x y = rnorm {num=x.num*y.den - y.num*x.den;den=x.den*y.den};;
  75 (** Multiplyes two rationals.
  76     @param x A rational
  77     @param y Another rational
  78     @return x*y*)
  79 let rmult x y = rnorm {num=x.num*y.num;den=x.den*y.den};;
  80 (** Inverts arational.
  81     @param x A rational
  82     @return x{^ -1} *)
  83 let rinv x = rnorm {num=x.den;den=x.num};;
  84 (** Divides two rationals.
  85     @param x A rational
  86     @param y Another rational
  87     @return x/y*)
  88 let rdiv x y = rnorm {num=x.num*y.den;den=x.den*y.num};;
  89
  90 let rinf x y = x.num*y.den < y.num*x.den;;
  91 let rinfeq x y = x.num*y.den <= y.num*x.den;;
  92
  93
  94 (* {coef;hist;strict}, où coef=[c1; ...; cn; d], représente l'inéquation
  95 c1x1+...+cnxn < d si strict=true, <= sinon,
  96 hist donnant les coefficients (positifs) d'une combinaison linéaire qui permet d'obtenir l'inéquation à partir de celles du départ.
  97 *)
  98
  99 type ineq = {coef:rational list;
 100              hist:rational list;
 101              strict:bool};;
 102
 103 let pop x l = l:=x::(!l);;
 104
 105 (* sépare la liste d'inéquations s selon que leur premier coefficient est
 106 négatif, nul ou positif. *)
 107 let partitionne s =
 108    let lpos=ref [] in
 109    let lneg=ref [] in
 110    let lnul=ref [] in
 111    List.iter (fun ie -> match ie.coef with
 112                         [] ->  raise (Failure "empty ineq")
 113                        |(c::r) -> if rinf c r0
 114                                   then pop ie lneg
 115                                   else if rinf r0 c then pop ie lpos
 116                                               else pop ie lnul)
 117              s;
 118    [!lneg;!lnul;!lpos]
 119 ;;
 120 (* initialise les histoires d'une liste d'inéquations données par leurs listes de coefficients et leurs strictitudes (!):
 121 (add_hist [(equation 1, s1);...;(équation n, sn)])
 122 =
 123 [{équation 1, [1;0;...;0], s1};
 124  {équation 2, [0;1;...;0], s2};
 125  ...
 126  {équation n, [0;0;...;1], sn}]
 127 *)
 128 let add_hist le =
 129    let n = List.length le in
 130    let i=ref 0 in
 131    List.map (fun (ie,s) ->
 132               let h =ref [] in
 133               for k=1 to (n-(!i)-1) do pop r0 h; done;
 134               pop r1 h;
 135               for k=1 to !i do pop r0 h; done;
 136               i:=!i+1;
 137               {coef=ie;hist=(!h);strict=s})
 138              le
 139 ;;
 140 (* additionne deux inéquations *)
 141 let ie_add ie1 ie2 = {coef=List.map2 rplus ie1.coef ie2.coef;
 142                       hist=List.map2 rplus ie1.hist ie2.hist;
 143                       strict=ie1.strict || ie2.strict}
 144 ;;
 145 (* multiplication d'une inéquation par un rationnel (positif) *)
 146 let ie_emult a ie = {coef=List.map (fun x -> rmult a x) ie.coef;
 147                      hist=List.map (fun x -> rmult a x) ie.hist;
 148                      strict= ie.strict}
 149 ;;
 150 (* on enlève le premier coefficient *)
 151 let ie_tl ie = {coef=List.tl ie.coef;hist=ie.hist;strict=ie.strict}
 152 ;;
 153 (* le premier coefficient: "tête" de l'inéquation *)
 154 let hd_coef ie = List.hd ie.coef
 155 ;;
 156
 157 (* calcule toutes les combinaisons entre inéquations de tête négative et inéquations de tête positive qui annulent le premier coefficient.
 158 *)
 159 let deduce_add lneg lpos =
 160    let res=ref [] in
 161    List.iter (fun i1 ->
 162                  List.iter (fun i2 ->
 163                                 let a = rop (hd_coef i1) in
 164                                 let b = hd_coef i2 in
 165                                 pop (ie_tl (ie_add (ie_emult b i1)
 166                                                    (ie_emult a i2))) res)
 167                            lpos)
 168              lneg;
 169    !res
 170 ;;
 171 (* élimination de la première variable à partir d'une liste d'inéquations:
 172 opération qu'on itère dans l'algorithme de Fourier.
 173 *)
 174 let deduce1 s i=
 175     match (partitionne s) with
 176       [lneg;lnul;lpos] ->
 177          let lnew = deduce_add lneg lpos in
 178          (match lneg with [] -> print_string("non posso ridurre "^string_of_int i^"\n")|_->();
 179           match lpos with [] -> print_string("non posso ridurre "^string_of_int i^"\n")|_->());
 180          (List.map ie_tl lnul)@lnew
 181    |_->assert false
 182 ;;
 183 (* algorithme de Fourier: on élimine successivement toutes les variables.
 184 *)
 185 let deduce lie =
 186    let n = List.length (fst (List.hd lie)) in
 187    let lie=ref (add_hist lie) in
 188    for i=1 to n-1 do
 189       lie:= deduce1 !lie i;
 190    done;
 191    !lie
 192 ;;
 193
 194 (* donne [] si le système a des  find solutions,
 195 sinon donne [c,s,lc]
 196 où lc est la combinaison linéaire des inéquations de départ
 197 qui donne 0 < c si s=true
 198        ou 0 <= c sinon
 199 cette inéquation étant absurde.
 200 *)
 201 (** Tryes to find if the system admits solutions.
 202     @param lie the list of inequations
 203     @return a list that can be empty if the system has solutions. Otherwise it returns a
 204             one elements list [\[(c,s,lc)\]]. {b c} is the rational that can be obtained solving the system,
 205             {b s} is true if the inequation that proves that the system is absurd is of type [c < 0], false if
 206             [c <= 0], {b lc} is a list of rational that represents the liear combination to obtain the
 207             absurd inequation *)
 208 let unsolvable lie =
 209    let lr = deduce lie in
 210    let res = ref [] in
 211    (try (List.iter (fun e ->
 212          match e with
 213            {coef=[c];hist=lc;strict=s} ->
 214                   if (rinf c r0 && (not s)) || (rinfeq c r0 && s)
 215                   then (res := [c,s,lc];
 216                         raise (Failure "contradiction found"))
 217           |_->assert false)
 218                              lr)
 219    with _ -> ());
 220    !res
 221 ;;
 222
 223 (* Exemples:
 224
 225 let test1=[[r1;r1;r0],true;[rop r1;r1;r1],false;[r0;rop r1;rop r1],false];;
 226 deduce test1;;
 227 unsolvable test1;;
 228
 229 let test2=[
 230 [r1;r1;r0;r0;r0],false;
 231 [r0;r1;r1;r0;r0],false;
 232 [r0;r0;r1;r1;r0],false;
 233 [r0;r0;r0;r1;r1],false;
 234 [r1;r0;r0;r0;r1],false;
 235 [rop r1;rop r1;r0;r0;r0],false;
 236 [r0;rop r1;rop r1;r0;r0],false;
 237 [r0;r0;rop r1;rop r1;r0],false;
 238 [r0;r0;r0;rop r1;rop r1],false;
 239 [rop r1;r0;r0;r0;rop r1],false
 240 ];;
 241 deduce test2;;
 242 unsolvable test2;;
 243
 244 *)