1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| A.Asperti, C.Sacerdoti Coen, *)
8 (* ||A|| E.Tassi, S.Zacchiroli *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU Lesser General Public License Version 2.1 *)
13 (**************************************************************************)
18 Compilare i seguenti campi:
30 Prima di abbandonare la postazione:
32 * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
33 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
34 account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
36 * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
37 usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
45 Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
46 se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
47 loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
49 L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
51 * Scambia FTop con FBot e viceversa
53 * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
55 * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
58 Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
61 Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
62 definire altre nozioni:
64 * La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
65 Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
67 * La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
68 Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
69 `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
76 Non modificare quanto segue
78 include "nat/minus.ma".
79 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
80 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
81 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
82 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
83 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
84 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
89 Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
90 rapperesentati da un numero naturale
92 inductive Formula : Type ≝
95 | FAtom: nat → Formula
96 | FAnd: Formula → Formula → Formula
97 | FOr: Formula → Formula → Formula
98 | FImpl: Formula → Formula → Formula
99 | FNot: Formula → Formula
105 Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
106 esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
107 atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
110 Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
111 e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
112 usare la funzione `min`.
114 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
118 | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
119 | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
120 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
121 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
122 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
129 Non modificare quanto segue.
131 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
132 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
133 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
134 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
138 else if eqb x 1 then 1
144 La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
145 `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
147 Decommenta ed esegui.
150 (* eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. *)
154 La libreria di Matita
155 =====================
157 Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
158 librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
159 sono necessari i seguenti lemmi:
161 * lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
162 * lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
163 * lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
164 * lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
165 * lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
166 * lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
167 * lemma `equiv_sym` : `∀F1,F2. F1 ≡ F2 → F2 ≡ F1`
174 Non modificare quanto segue.
176 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
177 lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
178 lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
179 lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
180 lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
181 lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
186 Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
187 che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
189 Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
192 let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
194 [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
196 | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
197 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
198 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
199 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
200 | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
206 Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
208 FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1)))
213 (* eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))). *)
218 Non modificare quanto segue
220 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
221 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
222 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
223 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
224 lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; rewrite < H; rewrite < H1; reflexivity. qed.
225 lemma equiv_sym : ∀a,b.a ≡ b → b ≡ a. intros 4;symmetry;apply H;qed.
230 Definire per ricorsione strutturale la funzione di
231 dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
233 * Scambia FTop con FBot e viceversa
235 * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
237 * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
238 prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
239 è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
240 cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
242 Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
245 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
247 [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
250 | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
251 | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
252 | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
253 | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
259 Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
261 FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop)
263 Decommenta ed esegui.
266 (* eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))). *)
271 La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
272 Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
273 `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
277 λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
279 interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
283 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
284 ========================================
286 Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
287 utilizzare il seguente comando:
289 * by H1, H2 we proved P (H)
291 Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
292 permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
293 separandoli con una virgola.
300 Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
301 la semantica in un mondo `v` associato alla formula
302 negata di `F` e uguale alla semantica associata
303 a `F` in un mondo invertito.
306 ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
309 we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
312 the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
317 the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
322 the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
323 the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
324 the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
325 by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
326 we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
333 = (min (if true then 1 else O) 1).
334 = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
335 = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
344 = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
345 = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
350 by induction hypothesis we know
351 ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
353 by induction hypothesis we know
354 ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
356 ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
358 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
360 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
361 = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
362 = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
367 by induction hypothesis we know
368 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
370 by induction hypothesis we know
371 ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
373 ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
375 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
377 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
378 = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
379 = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
385 by induction hypothesis we know
386 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
388 by induction hypothesis we know
389 ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
391 ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
393 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
395 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
396 = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
397 = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
403 by induction hypothesis we know
404 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
406 ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
408 (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
409 conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
417 Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
420 ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
421 assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
422 assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
423 suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
424 the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
425 the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
429 = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
430 = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
431 = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
438 Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a
439 dualizzarla e negarla.
441 lemma not_dualize_eq_negate:
442 ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
445 the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
448 we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
451 the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
456 the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
462 the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
467 by induction hypothesis we know
468 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
470 by induction hypothesis we know
471 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
473 ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
475 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
477 (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
478 = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.
479 = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
480 = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
481 = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
486 by induction hypothesis we know
487 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
489 by induction hypothesis we know
490 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
492 ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
494 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
496 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
497 = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
498 = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
499 = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
500 = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
506 by induction hypothesis we know
507 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
509 by induction hypothesis we know
510 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
512 ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
514 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
516 (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
517 = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.
518 = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
519 = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
520 = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
526 by induction hypothesis we know
527 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
529 ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
531 (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
532 conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
540 Dimostrare che la negazione è iniettiva
543 ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
547 suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
548 the thesis becomes (F ≡ G).
549 the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
552 by sem_le_1 we proved ([[F]]_v ≤ 1) (H1).
553 by (*BEGIN*)sem_le_1(*END*) we proved ([[G]]_v ≤ 1) (H2).
554 by min_1_1, H1 we proved (1 - (1 - [[F]]_v) = [[F]]_v) (H3).
555 by (*BEGIN*)min_1_1, H2(*END*) we proved ((*BEGIN*)1 - (1 - [[G]]_v)(*END*) = [[G]]_v) (H4).
558 = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (*BEGIN*)H3(*END*).
559 = (1 - [[(*BEGIN*)FNot F(*END*)]]_v).
560 = (1 - [[ FNot G]]_v) by H.
561 = (1 - (*BEGIN*)(1 - [[G]]_v)(*END*)).
562 = [[G]]_v by (*BEGIN*)H4(*END*).
568 La prova del teorema di dualità
569 ===============================
571 Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
572 `F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
574 ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
576 Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
578 1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
581 ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
583 2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
585 ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
587 2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
588 utilizzando `max_min` e `min_max`
590 ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
592 4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
594 ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
596 Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
597 procede come di seguito:
603 2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
605 negate F1 ≡ negate F2
607 3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
608 `equiv_rewrite` ottiene
610 FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
612 4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
614 dualize F1 ≡ dualize F2
621 Dimostrare il teorema di dualità
623 theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
626 suppose (F1 ≡ F2) (H).
627 the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
628 by (*BEGIN*)negate_fun(*END*), H we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
629 by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
630 by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2, equiv_sym we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
631 by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).