fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1/subst1/defs.ma".
  18
  19 include "basic_1/subst0/fwd.ma".
  20
  21 implied lemma subst1_ind:
  22  \forall (i: nat).(\forall (v: T).(\forall (t1: T).(\forall (P: ((T \to
  23 Prop))).((P t1) \to (((\forall (t2: T).((subst0 i v t1 t2) \to (P t2)))) \to
  24 (\forall (t: T).((subst1 i v t1 t) \to (P t))))))))
  25 \def
  26  \lambda (i: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (P: ((T \to
  27 Prop))).(\lambda (f: (P t1)).(\lambda (f0: ((\forall (t2: T).((subst0 i v t1
  28 t2) \to (P t2))))).(\lambda (t: T).(\lambda (s0: (subst1 i v t1 t)).(match s0
  29 with [subst1_refl \Rightarrow f | (subst1_single x x0) \Rightarrow (f0 x
  30 x0)])))))))).
  31
  32 lemma subst1_gen_sort:
  33  \forall (v: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall (n: nat).((subst1
  34 i v (TSort n) x) \to (eq T x (TSort n))))))
  35 \def
  36  \lambda (v: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda
  37 (H: (subst1 i v (TSort n) x)).(subst1_ind i v (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
  38 t (TSort n))) (refl_equal T (TSort n)) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (subst0
  39 i v (TSort n) t2)).(subst0_gen_sort v t2 i n H0 (eq T t2 (TSort n))))) x
  40 H))))).
  41
  42 lemma subst1_gen_lref:
  43  \forall (v: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall (n: nat).((subst1
  44 i v (TLRef n) x) \to (or (eq T x (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T x (lift
  45 (S n) O v))))))))
  46 \def
  47  \lambda (v: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda
  48 (H: (subst1 i v (TLRef n) x)).(subst1_ind i v (TLRef n) (\lambda (t: T).(or
  49 (eq T t (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T t (lift (S n) O v))))) (or_introl
  50 (eq T (TLRef n) (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T (TLRef n) (lift (S n) O
  51 v))) (refl_equal T (TLRef n))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (subst0 i v
  52 (TLRef n) t2)).(land_ind (eq nat n i) (eq T t2 (lift (S n) O v)) (or (eq T t2
  53 (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T t2 (lift (S n) O v)))) (\lambda (H1: (eq
  54 nat n i)).(\lambda (H2: (eq T t2 (lift (S n) O v))).(or_intror (eq T t2
  55 (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T t2 (lift (S n) O v))) (conj (eq nat n i)
  56 (eq T t2 (lift (S n) O v)) H1 H2)))) (subst0_gen_lref v t2 i n H0)))) x
  57 H))))).
  58
  59 lemma subst1_gen_head:
  60  \forall (k: K).(\forall (v: T).(\forall (u1: T).(\forall (t1: T).(\forall
  61 (x: T).(\forall (i: nat).((subst1 i v (THead k u1 t1) x) \to (ex3_2 T T
  62 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T x (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2:
  63 T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2:
  64 T).(subst1 (s k i) v t1 t2))))))))))
  65 \def
  66  \lambda (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda
  67 (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (subst1 i v (THead k u1 t1)
  68 x)).(subst1_ind i v (THead k u1 t1) (\lambda (t: T).(ex3_2 T T (\lambda (u2:
  69 T).(\lambda (t2: T).(eq T t (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  70 T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst1 (s k i) v t1
  71 t2))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k u1
  72 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2)))
  73 (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst1 (s k i) v t1 t2))) u1 t1 (refl_equal
  74 T (THead k u1 t1)) (subst1_refl i v u1) (subst1_refl (s k i) v t1)) (\lambda
  75 (t2: T).(\lambda (H0: (subst0 i v (THead k u1 t1) t2)).(or3_ind (ex2 T
  76 (\lambda (u2: T).(eq T t2 (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 i v u1
  77 u2))) (ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u1 t3))) (\lambda (t3:
  78 T).(subst0 (s k i) v t1 t3))) (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3:
  79 T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 i v
  80 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst0 (s k i) v t1 t3)))) (ex3_2
  81 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda
  82 (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
  83 T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (H1: (ex2 T (\lambda (u2: T).(eq T t2
  84 (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 i v u1 u2)))).(ex2_ind T (\lambda
  85 (u2: T).(eq T t2 (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 i v u1 u2))
  86 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3))))
  87 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_:
  88 T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (x0: T).(\lambda
  89 (H2: (eq T t2 (THead k x0 t1))).(\lambda (H3: (subst0 i v u1
  90 x0)).(ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2
  91 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_:
  92 T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3))) x0 t1 H2 (subst1_single i v u1
  93 x0 H3) (subst1_refl (s k i) v t1))))) H1)) (\lambda (H1: (ex2 T (\lambda (t3:
  94 T).(eq T t2 (THead k u1 t3))) (\lambda (t3: T).(subst0 (s k i) v t1
  95 t3)))).(ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u1 t3))) (\lambda (t3:
  96 T).(subst0 (s k i) v t1 t3)) (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq
  97 T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2)))
  98 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (x0:
  99 T).(\lambda (H2: (eq T t2 (THead k u1 x0))).(\lambda (H3: (subst0 (s k i) v
 100 t1 x0)).(ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k
 101 u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_:
 102 T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3))) u1 x0 H2 (subst1_refl i v u1)
 103 (subst1_single (s k i) v t1 x0 H3))))) H1)) (\lambda (H1: (ex3_2 T T (\lambda
 104 (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2:
 105 T).(\lambda (_: T).(subst0 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
 106 T).(subst0 (s k i) v t1 t3))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3:
 107 T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 i v
 108 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst0 (s k i) v t1 t3))) (ex3_2 T
 109 T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2:
 110 T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
 111 T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 112 (H2: (eq T t2 (THead k x0 x1))).(\lambda (H3: (subst0 i v u1 x0)).(\lambda
 113 (H4: (subst0 (s k i) v t1 x1)).(ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda
 114 (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1
 115 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3))) x0
 116 x1 H2 (subst1_single i v u1 x0 H3) (subst1_single (s k i) v t1 x1 H4)))))))
 117 H1)) (subst0_gen_head k v u1 t1 t2 i H0)))) x H))))))).
 118
 119 lemma subst1_gen_lift_lt:
 120  \forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall
 121 (h: nat).(\forall (d: nat).((subst1 i (lift h d u) (lift h (S (plus i d)) t1)
 122 x) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h (S (plus i d)) t2))) (\lambda
 123 (t2: T).(subst1 i u t1 t2)))))))))
 124 \def
 125  \lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 126 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst1 i (lift h d u) (lift h (S
 127 (plus i d)) t1) x)).(subst1_ind i (lift h d u) (lift h (S (plus i d)) t1)
 128 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h (S (plus i d)) t2)))
 129 (\lambda (t2: T).(subst1 i u t1 t2)))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 130 (lift h (S (plus i d)) t1) (lift h (S (plus i d)) t2))) (\lambda (t2:
 131 T).(subst1 i u t1 t2)) t1 (refl_equal T (lift h (S (plus i d)) t1))
 132 (subst1_refl i u t1)) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (subst0 i (lift h d u)
 133 (lift h (S (plus i d)) t1) t2)).(ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h
 134 (S (plus i d)) t3))) (\lambda (t3: T).(subst0 i u t1 t3)) (ex2 T (\lambda
 135 (t3: T).(eq T t2 (lift h (S (plus i d)) t3))) (\lambda (t3: T).(subst1 i u t1
 136 t3))) (\lambda (x0: T).(\lambda (H1: (eq T t2 (lift h (S (plus i d))
 137 x0))).(\lambda (H2: (subst0 i u t1 x0)).(ex_intro2 T (\lambda (t3: T).(eq T
 138 t2 (lift h (S (plus i d)) t3))) (\lambda (t3: T).(subst1 i u t1 t3)) x0 H1
 139 (subst1_single i u t1 x0 H2))))) (subst0_gen_lift_lt u t1 t2 i h d H0)))) x
 140 H))))))).
 141
 142 lemma subst1_gen_lift_eq:
 143  \forall (t: T).(\forall (u: T).(\forall (x: T).(\forall (h: nat).(\forall
 144 (d: nat).(\forall (i: nat).((le d i) \to ((lt i (plus d h)) \to ((subst1 i u
 145 (lift h d t) x) \to (eq T x (lift h d t))))))))))
 146 \def
 147  \lambda (t: T).(\lambda (u: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
 148 (d: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (le d i)).(\lambda (H0: (lt i (plus d
 149 h))).(\lambda (H1: (subst1 i u (lift h d t) x)).(subst1_ind i u (lift h d t)
 150 (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) (refl_equal T (lift h d t)) (\lambda
 151 (t2: T).(\lambda (H2: (subst0 i u (lift h d t) t2)).(subst0_gen_lift_false t
 152 u t2 h d i H H0 H2 (eq T t2 (lift h d t))))) x H1))))))))).
 153
 154 lemma subst1_gen_lift_ge:
 155  \forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall
 156 (h: nat).(\forall (d: nat).((subst1 i u (lift h d t1) x) \to ((le (plus d h)
 157 i) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h d t2))) (\lambda (t2:
 158 T).(subst1 (minus i h) u t1 t2))))))))))
 159 \def
 160  \lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 161 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst1 i u (lift h d t1)
 162 x)).(\lambda (H0: (le (plus d h) i)).(subst1_ind i u (lift h d t1) (\lambda
 163 (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h d t2))) (\lambda (t2:
 164 T).(subst1 (minus i h) u t1 t2)))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (lift
 165 h d t1) (lift h d t2))) (\lambda (t2: T).(subst1 (minus i h) u t1 t2)) t1
 166 (refl_equal T (lift h d t1)) (subst1_refl (minus i h) u t1)) (\lambda (t2:
 167 T).(\lambda (H1: (subst0 i u (lift h d t1) t2)).(ex2_ind T (\lambda (t3:
 168 T).(eq T t2 (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(subst0 (minus i h) u t1 t3))
 169 (ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(subst1
 170 (minus i h) u t1 t3))) (\lambda (x0: T).(\lambda (H2: (eq T t2 (lift h d
 171 x0))).(\lambda (H3: (subst0 (minus i h) u t1 x0)).(ex_intro2 T (\lambda (t3:
 172 T).(eq T t2 (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(subst1 (minus i h) u t1 t3)) x0
 173 H2 (subst1_single (minus i h) u t1 x0 H3))))) (subst0_gen_lift_ge u t1 t2 i h
 174 d H1 H0)))) x H)))))))).
 175