]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/coq-contribs/SUBSETS/tbs_base.v
reorganization continues ...
[helm.git] / helm / coq-contribs / SUBSETS / tbs_base.v
1 (** This module (Toolbox - subsets: basics) defines:
2     - subset membership:               [Eps]  (epsilon)
3     - empty subset:                    [SBot] (subset bottom)
4     - full subset:                     [STop] (subset top)
5     - singleton:                       [Sing] (singleton)
6     - relative universal quantifier:   [RAll] (relative all)
7     - relative existential quantifier: [REx]  (relative exists)
8     
9     and provides:
10     - introduction and elimination rules for the defined constants
11     - epsilon conditions: [eps_1], [eps_2]
12     - alternative form of epsilon with sigma: [eps2]
13
14 % \hrule %
15
16  We require the support for finite sets and finite domain functions ([xt_fin])
17  that includes the basic type theory (the [st] package).
18  
19  *)
20 Require Export xt_fin.
21
22 Section Subset_Definitions.
23
24    Section subset_membership.
25    
26 (** Epsilon: [(Eps S a U)] corresponds to $ a \e_S U $. *) 
27       Definition Eps: (S:Set) S -> (S -> Set) -> Set.
28       Intros S a U.
29       Exact (LAnd (U a) (Id S a a)).
30       Defined.
31
32    End subset_membership.
33
34    Section subset_constants.
35
36 (** Subset bottom: [(SBot S)] corresponds to $ \sbot_S $. *) 
37       Definition SBot: (S:Set) S -> Set.
38       Intros.
39       Exact LBot.
40       Defined.
41
42 (** Subset top: [(STop S)] corresponds to $ \stop_S $, %{\ie}% to $S$ as a subset of itself. *) 
43       Definition STop: (S:Set) S -> Set.
44       Intros.
45       Exact LTop.
46       Defined.
47
48 (** Singleton: [(Sing S a)] corresponds to $ \subset{a} $. *) 
49       Definition Sing: (S:Set) S -> (S -> Set).
50       Intros S a b.
51       Exact (Id S a b).
52       Defined.
53
54    End subset_constants.
55
56    Section relative_quantification.
57
58 (** Relative all: [(RAll S U P)] corresponds to $ (\lall x \e U) P(x) $. *) 
59       Definition RAll: (S:Set) (S -> Set) -> (S -> Set) -> Set.
60       Intros S U P.
61       Exact (a:S) (Eps S a U) -> (P a).
62       Defined.
63
64 (** Relative exists: [(REx S U P)] corresponds to $ (\lex x \e U) P(x) $. *) 
65       Definition REx: (S:Set) (S -> Set) -> (S -> Set) -> Set.
66       Intros S U P.
67       Exact (LEx S [a](LAnd (Eps S a U) (P a))).
68       Defined.
69    
70    End relative_quantification.
71
72 End Subset_Definitions.
73
74 Section Subset_Results.
75
76    Section epsilon_conditions.
77
78 (** Epsilon elimination: $ a \e U \limp U(a) $. *)  
79       Theorem eps_e: (S:Set; a:S; U:S->Set) (Eps S a U) -> (U a).
80       Unfold Eps.
81       Intros.
82       MApply '(land_e2 (Id S a a)).
83       Qed.
84
85 (** Epsilon introduction: $ U(a) \limp a \e U $. *)  
86       Theorem eps_i: (S:Set; a:S; U:S->Set) (U a) -> (Eps S a U).
87       Unfold Eps.
88       Intros.
89       MApply 'land_i.
90       Qed.
91
92 (** Epsilon condition 1: $ a \e U \liff U(a) $. *)
93       Theorem eps_1: (S:Set; U:(S -> Set)) (a:S)(LIff (Eps S a U) (U a)).
94       Intros.
95       MApply 'liff_i.
96       MApply '(eps_e S a).
97       MApply 'eps_i.
98       Qed.
99
100 (** Epsilon condition 2: $ a \e_S U \limp a \in S $. *)
101       Theorem eps_2: (S:Set; a:S; U:(S -> Set)) (Eps S a U) -> S.
102       Intros.
103       Exact a.
104       Qed.
105
106 (** Epsilon in sigma form: $ a \e_S U \liff (\lex z \in (\Sigma x \in S) U) Id(S, p(z), a) $. *)
107       Theorem eps2: (S:Set; a:S; U:(S -> Set)) (LIff (Eps S a U) (LEx (Sigma S U) [z](Id S (sp S U z) a))).
108       Intros.
109       MApply 'liff_i.
110       MCut '(U a).
111       MApply 'eps_e.
112       MApply '(lex_i (Sigma S U) (pair S U a H0)).
113       MApply 'eps_i.
114       MElim 'H 'lex_e.
115       MApply '(id_repl ? a (sp S U a0)).
116       MElim 'a0 psplit.
117       Qed.
118
119    End epsilon_conditions.
120
121    Section subset_top_bottom.
122
123 (** Subset top, epsilon introduction: $ a \e \stop $. *)    
124       Theorem stop_eps_i: (S:Set; a:S) (Eps S a (STop S)).
125       Intros.
126       MApply 'eps_i.
127       Unfold STop.
128       MApply 'LTop_red.
129       Qed.
130    
131 (** Subset bottom, epsilon elimination: $ a \e \sbot \limp \lbot $. *)   
132       Theorem sbot_eps_e: (S:Set; a:S) (Eps S a (SBot S)) -> LBot.
133       Intros.
134       MApply '(eps_e S a).
135       Qed.
136    
137    End subset_top_bottom.
138
139    Section singleton.
140
141 (** Singleton, epsilon introduction: $ Id(S, a, b) \limp b \e \subset{a} $. *)    
142       Theorem sing_eps_i: (S:Set; b,a:S) (Id S a b) -> (Eps S b (Sing S a)).
143       Intros.
144       MApply 'eps_i.
145       Qed.
146
147 (** Singleton, epsilon elimination: $ b \e \subset{a} \limp Id(S, a, b) $. *)    
148       Theorem sing_eps_e: (S:Set; a,b:S) (Eps S b (Sing S a)) -> (Id S a b).
149       Intros.
150       MApply 'eps_e.
151       Qed.
152
153    End singleton.
154
155    Section relative_universal.
156
157 (** Relative all introduction: $ ((\lall a \in S)\ a \e U \limp P(a)) \limp (\lall x \e U) P(x) $. *)
158       Theorem rall_i: (S:Set; U:S->Set; P:S->Set) ((a:S) (Eps S a U) -> (P a)) -> (RAll S U P).
159       Unfold RAll.
160       Intros.
161       MApply '(H a).
162       Qed.
163
164 (** Relative all elimination: $ a \e U \limp (\lall x \e U) P(x) \limp P(a) $. *)
165       Theorem rall_e: (S:Set; a:S; U:S->Set; P:S->Set) (Eps S a U) -> (RAll S U P) -> (P a).
166       Intros.
167       Unfold RAll in H0.
168       MApply '(H0 a).
169       Qed.
170
171    End relative_universal.
172
173    Section relative_existential.
174
175 (** Relative exists introduction: $ a \e U \limp P(a) \limp (\lex x \e U) P(x) $. *)
176       Theorem rex_i: (S:Set; a:S; U:S->Set; P:S->Set) (Eps S a U) -> (P a) -> (REx S U P).
177       Intros.
178       Unfold REx.
179       MApply '(lex_i S a).
180       MApply 'land_i.
181       Qed.
182
183 (** Relative exists elimination: $ ((\lall a \in S)\ a \e U \limp P(a) \limp T) \limp (\lex x \e U) P(x) \limp T $. *)
184       Theorem rex_e: (S:Set; U:S->Set; P:S->Set; T:Set) ((a:S) (Eps S a U) -> (P a) -> T) -> (REx S U P) -> T.
185       Intros.
186       Unfold REx in H0.
187       MElim 'H0 'lex_e.
188       MApply '(H a).
189       MApply '(land_e2 (P a)).
190       MApply '(land_e1 (Eps S a U)).
191       Qed.
192
193    End relative_existential.
194
195 End Subset_Results.