helm/matita/library/algebra/groups.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/algebra/groups/".
  16
  17 include "algebra/monoids.ma".
  18 include "nat/le_arith.ma".
  19
  20 record isGroup (M:Monoid) (opp: M -> M) : Prop ≝
  21  { opp_is_left_inverse: is_left_inverse M opp;
  22    opp_is_right_inverse: is_right_inverse M opp
  23  }.
  24
  25 record Group : Type ≝
  26  { monoid: Monoid;
  27    opp: monoid -> monoid;
  28    group_properties: isGroup ? opp
  29  }.
  30
  31 coercion cic:/matita/algebra/groups/monoid.con.
  32
  33 notation < "G"
  34 for @{ 'monoid $G }.
  35
  36 interpretation "Monoid coercion" 'monoid G =
  37  (cic:/matita/algebra/groups/monoid.con G).
  38
  39 notation < "G"
  40 for @{ 'type_of_group $G }.
  41
  42 interpretation "Type_of_group coercion" 'type_of_group G =
  43  (cic:/matita/algebra/groups/Type_of_Group.con G).
  44
  45 notation < "G"
  46 for @{ 'semigroup_of_group $G }.
  47
  48 interpretation "Semigroup_of_group coercion" 'semigroup_of_group G =
  49  (cic:/matita/algebra/groups/SemiGroup_of_Group.con G).
  50
  51 notation "hvbox(x \sup (-1))" with precedence 89
  52 for @{ 'gopp $x }.
  53
  54 interpretation "Group inverse" 'gopp x =
  55  (cic:/matita/algebra/groups/opp.con _ x).
  56
  57 definition left_cancellable ≝
  58  λT:Type. λop: T -> T -> T.
  59   ∀x. injective ? ? (op x).
  60
  61 definition right_cancellable ≝
  62  λT:Type. λop: T -> T -> T.
  63   ∀x. injective ? ? (λz.op z x).
  64
  65 theorem eq_op_x_y_op_x_z_to_eq:
  66  ∀G:Group. left_cancellable G (op G).
  67 intros;
  68 unfold left_cancellable;
  69 unfold injective;
  70 intros (x y z);
  71 rewrite < (e_is_left_unit ? ? (monoid_properties G));
  72 rewrite < (e_is_left_unit ? ? (monoid_properties G) z);
  73 rewrite < (opp_is_left_inverse ? ? (group_properties G) x);
  74 rewrite > (semigroup_properties G);
  75 rewrite > (semigroup_properties G);
  76 apply eq_f;
  77 assumption.
  78 qed.
  79
  80
  81 theorem eq_op_x_y_op_z_y_to_eq:
  82  ∀G:Group. right_cancellable G (op G).
  83 intros;
  84 unfold right_cancellable;
  85 unfold injective;
  86 simplify;fold simplify (op G);
  87 intros (x y z);
  88 rewrite < (e_is_right_unit ? ? (monoid_properties G));
  89 rewrite < (e_is_right_unit ? ? (monoid_properties G) z);
  90 rewrite < (opp_is_right_inverse ? ? (group_properties G) x);
  91 rewrite < (semigroup_properties G);
  92 rewrite < (semigroup_properties G);
  93 rewrite > H;
  94 reflexivity.
  95 qed.
  96
  97
  98 record finite_enumerable (T:Type) : Type ≝
  99  { order: nat;
 100    repr: nat → T;
 101    index_of: T → nat;
 102    index_of_sur: ∀x.index_of x ≤ order;
 103    index_of_repr: ∀n. n≤order → index_of (repr n) = n;
 104    repr_index_of: ∀x. repr (index_of x) = x
 105  }.
 106
 107 notation "hvbox(C \sub i)" with precedence 89
 108 for @{ 'repr $C $i }.
 109
 110 (* CSC: multiple interpretations in the same file are not considered in the
 111  right order
 112 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr C i =
 113  (cic:/matita/algebra/groups/repr.con C _ i).*)
 114
 115 notation "hvbox(|C|)" with precedence 89
 116 for @{ 'card $C }.
 117
 118 interpretation "Finite_enumerable order" 'card C =
 119  (cic:/matita/algebra/groups/order.con C _).
 120
 121 record finite_enumerable_SemiGroup : Type ≝
 122  { semigroup: SemiGroup;
 123    is_finite_enumerable: finite_enumerable semigroup
 124  }.
 125
 126 coercion cic:/matita/algebra/groups/semigroup.con.
 127 coercion cic:/matita/algebra/groups/is_finite_enumerable.con.
 128
 129 notation < "S"
 130 for @{ 'semigroup_of_finite_enumerable_semigroup $S }.
 131
 132 interpretation "Semigroup_of_finite_enumerable_semigroup"
 133  'semigroup_of_finite_enumerable_semigroup S
 134 =
 135  (cic:/matita/algebra/groups/semigroup.con S).
 136
 137 notation < "S"
 138 for @{ 'type_of_finite_enumerable_semigroup $S }.
 139
 140 interpretation "Type_of_finite_enumerable_semigroup"
 141  'type_of_finite_enumerable_semigroup S
 142 =
 143  (cic:/matita/algebra/groups/Type_of_finite_enumerable_SemiGroup.con S).
 144
 145 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr S i =
 146  (cic:/matita/algebra/groups/repr.con S
 147   (cic:/matita/algebra/groups/is_finite_enumerable.con S) i).
 148
 149 notation "hvbox(ι e)" with precedence 60
 150 for @{ 'index_of_finite_enumerable_semigroup $e }.
 151
 152 interpretation "Index_of_finite_enumerable representation"
 153  'index_of_finite_enumerable_semigroup e
 154 =
 155  (cic:/matita/algebra/groups/index_of.con _
 156   (cic:/matita/algebra/groups/is_finite_enumerable.con _) e).
 157
 158 theorem foo:
 159  ∀G:finite_enumerable_SemiGroup.
 160   left_cancellable ? (op G) →
 161   right_cancellable ? (op G) →
 162    ∃e:G. isMonoid G e.
 163 intros;
 164 letin f ≝ (λn.ι(G \sub O · G \sub n));
 165 cut (∀n.n ≤ order ? (is_finite_enumerable G) → ∃m.f m = n);
 166 [ letin EX ≝ (Hcut O ?);
 167   [ apply le_O_n
 168   | clearbody EX;
 169     clear Hcut;
 170     unfold f in EX;
 171     elim EX;
 172     clear EX;
 173     letin HH ≝ (eq_f ? ? (repr ? (is_finite_enumerable G)) ? ? H2);
 174     clearbody HH;
 175     rewrite > (repr_index_of ? (is_finite_enumerable G)) in HH;
 176     apply (ex_intro ? ? (G \sub a));
 177     letin GOGO ≝ (refl_eq ? (repr ? (is_finite_enumerable G) O));
 178     clearbody GOGO;
 179     rewrite < HH in GOGO;
 180     rewrite < HH in GOGO:(? ? % ?);
 181     rewrite > (semigroup_properties G) in GOGO;
 182     letin GaGa ≝ (H ? ? ? GOGO);
 183     clearbody GaGa;
 184     clear GOGO;
 185     constructor 1;
 186     [ unfold is_left_unit; intro;
 187       letin GaxGax ≝ (refl_eq ? (G \sub a ·x));
 188       clearbody GaxGax;
 189       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
 190       rewrite > (semigroup_properties G) in GaxGax;
 191       apply (H ? ? ? GaxGax)
 192     | unfold is_right_unit; intro;
 193       letin GaxGax ≝ (refl_eq ? (x·G \sub a));
 194       clearbody GaxGax;
 195       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
 196       rewrite < (semigroup_properties G) in GaxGax;
 197       apply (H1 ? ? ? GaxGax)
 198   ]
 199 |
 200 ].