helm/matita/library/algebra/groups.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/algebra/groups/".
  16
  17 include "algebra/monoids.ma".
  18 include "nat/le_arith.ma".
  19
  20 record isGroup (M:Monoid) (opp: M -> M) : Prop ≝
  21  { opp_is_left_inverse: is_left_inverse M opp;
  22    opp_is_right_inverse: is_right_inverse M opp
  23  }.
  24
  25 record Group : Type ≝
  26  { monoid: Monoid;
  27    opp: monoid -> monoid;
  28    group_properties: isGroup ? opp
  29  }.
  30
  31 coercion cic:/matita/algebra/groups/monoid.con.
  32
  33 notation < "G"
  34 for @{ 'monoid $G }.
  35
  36 interpretation "Monoid coercion" 'monoid G =
  37  (cic:/matita/algebra/groups/monoid.con G).
  38
  39 notation < "G"
  40 for @{ 'type_of_group $G }.
  41
  42 interpretation "Type_of_group coercion" 'type_of_group G =
  43  (cic:/matita/algebra/groups/Type_of_Group.con G).
  44
  45 notation < "G"
  46 for @{ 'semigroup_of_group $G }.
  47
  48 interpretation "Semigroup_of_group coercion" 'semigroup_of_group G =
  49  (cic:/matita/algebra/groups/SemiGroup_of_Group.con G).
  50
  51 notation "hvbox(x \sup (-1))" with precedence 89
  52 for @{ 'gopp $x }.
  53
  54 interpretation "Group inverse" 'gopp x =
  55  (cic:/matita/algebra/groups/opp.con _ x).
  56
  57 definition left_cancellable ≝
  58  λT:Type. λop: T -> T -> T.
  59   ∀x. injective ? ? (op x).
  60
  61 definition right_cancellable ≝
  62  λT:Type. λop: T -> T -> T.
  63   ∀x. injective ? ? (λz.op z x).
  64
  65 theorem eq_op_x_y_op_x_z_to_eq:
  66  ∀G:Group. left_cancellable G (op G).
  67 intros;
  68 unfold left_cancellable;
  69 unfold injective;
  70 intros (x y z);
  71 rewrite < (e_is_left_unit ? ? (monoid_properties G));
  72 rewrite < (e_is_left_unit ? ? (monoid_properties G) z);
  73 rewrite < (opp_is_left_inverse ? ? (group_properties G) x);
  74 rewrite > (semigroup_properties G);
  75 rewrite > (semigroup_properties G);
  76 apply eq_f;
  77 assumption.
  78 qed.
  79
  80
  81 theorem eq_op_x_y_op_z_y_to_eq:
  82  ∀G:Group. right_cancellable G (op G).
  83 intros;
  84 unfold right_cancellable;
  85 unfold injective;
  86 simplify;fold simplify (op G);
  87 intros (x y z);
  88 rewrite < (e_is_right_unit ? ? (monoid_properties G));
  89 rewrite < (e_is_right_unit ? ? (monoid_properties G) z);
  90 rewrite < (opp_is_right_inverse ? ? (group_properties G) x);
  91 rewrite < (semigroup_properties G);
  92 rewrite < (semigroup_properties G);
  93 rewrite > H;
  94 reflexivity.
  95 qed.
  96
  97
  98 record finite_enumerable (T:Type) : Type ≝
  99  { order: nat;
 100    repr: nat → T;
 101    index_of: T → nat;
 102    index_of_sur: ∀x.index_of x ≤ order;
 103    index_of_repr: ∀n. n≤order → index_of (repr n) = n;
 104    repr_index_of: ∀x. repr (index_of x) = x
 105  }.
 106
 107 notation < "hvbox(C \sub i)" with precedence 89
 108 for @{ 'repr $C $i }.
 109
 110 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr C i =
 111  (cic:/matita/algebra/groups/repr.con C _ i).
 112
 113 notation < "hvbox(|C|)" with precedence 89
 114 for @{ 'card $C }.
 115
 116 interpretation "Finite_enumerable order" 'card C =
 117  (cic:/matita/algebra/groups/order.con C _).
 118
 119 theorem repr_inj:
 120  ∀T:Type. ∀H:finite_enumerable T.
 121   ∀n,n'. n ≤ order ? H → n' ≤ order ? H →
 122    repr ? H n = repr ? H n' → n=n'.
 123 intros;
 124 rewrite < (index_of_repr ? ? ? H1);
 125 rewrite > H3;
 126 apply index_of_repr;
 127 assumption.
 128 qed.
 129
 130 theorem foo:
 131  ∀G:SemiGroup.
 132   finite_enumerable (carrier G) →
 133    left_cancellable (carrier G) (op G) →
 134     right_cancellable (carrier G) (op G) →
 135      ∃e:G. isMonoid ? e.
 136 intros (G H);
 137 letin f ≝ (λn.index_of ? H ((repr ? H O)·(repr ? H n)));
 138 cut (∀n.n ≤ order ? H → ∃m.f m = n);
 139 [ letin EX ≝ (Hcut O ?);
 140   [ apply le_O_n
 141   | clearbody EX;
 142     clear Hcut;
 143     unfold f in EX;
 144     elim EX;
 145     letin HH ≝ (eq_f ? ? (repr ? H) ? ? H3);
 146     clearbody HH;
 147     rewrite > (repr_index_of ? H) in HH;
 148     apply (ex_intro ? ? (repr ? H a));
 149     letin GOGO ≝ (refl_eq ? (repr ? H O));
 150     clearbody GOGO;
 151     rewrite < HH in GOGO;
 152     rewrite < HH in GOGO:(? ? % ?);
 153     rewrite > (semigroup_properties G) in GOGO;
 154     letin GaGa ≝ (H1 ? ? ? GOGO);
 155     clearbody GaGa;
 156     clear GOGO;
 157     constructor 1;
 158     [ unfold is_left_unit; intro;
 159       letin GaxGax ≝ (refl_eq ? ((repr ? H a)·x));
 160       clearbody GaxGax;
 161       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
 162       rewrite > (semigroup_properties G) in GaxGax;
 163       apply (H1 ? ? ? GaxGax)
 164     | unfold is_right_unit; intro;
 165       letin GaxGax ≝ (refl_eq ? (x·(repr ? H a)));
 166       clearbody GaxGax;
 167       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
 168       rewrite < (semigroup_properties G) in GaxGax;
 169       apply (H2 ? ? ? GaxGax)
 170   ]
 171 |
 172 ].