helm/matita/library/algebra/groups.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/algebra/groups/".
  16
  17 include "algebra/monoids.ma".
  18 include "nat/le_arith.ma".
  19 include "datatypes/bool.ma".
  20 include "nat/compare.ma".
  21
  22 record PreGroup : Type ≝
  23  { premonoid:> PreMonoid;
  24    opp: premonoid -> premonoid
  25  }.
  26
  27 record isGroup (G:PreGroup) : Prop ≝
  28  { is_monoid: isMonoid G;
  29    opp_is_left_inverse: is_left_inverse (mk_Monoid ? is_monoid) (opp G);
  30    opp_is_right_inverse: is_right_inverse (mk_Monoid ? is_monoid) (opp G)
  31  }.
  32
  33 record Group : Type ≝
  34  { pregroup:> PreGroup;
  35    group_properties:> isGroup pregroup
  36  }.
  37
  38 (*notation < "G"
  39 for @{ 'monoid $G }.
  40
  41 interpretation "Monoid coercion" 'monoid G =
  42  (cic:/matita/algebra/groups/monoid.con G).*)
  43
  44 notation < "G"
  45 for @{ 'type_of_group $G }.
  46
  47 interpretation "Type_of_group coercion" 'type_of_group G =
  48  (cic:/matita/algebra/groups/Type_of_Group.con G).
  49
  50 notation < "G"
  51 for @{ 'magma_of_group $G }.
  52
  53 interpretation "magma_of_group coercion" 'magma_of_group G =
  54  (cic:/matita/algebra/groups/Magma_of_Group.con G).
  55
  56 notation "hvbox(x \sup (-1))" with precedence 89
  57 for @{ 'gopp $x }.
  58
  59 interpretation "Group inverse" 'gopp x =
  60  (cic:/matita/algebra/groups/opp.con _ x).
  61
  62 definition left_cancellable ≝
  63  λT:Type. λop: T -> T -> T.
  64   ∀x. injective ? ? (op x).
  65
  66 definition right_cancellable ≝
  67  λT:Type. λop: T -> T -> T.
  68   ∀x. injective ? ? (λz.op z x).
  69
  70 theorem eq_op_x_y_op_x_z_to_eq:
  71  ∀G:Group. left_cancellable G (op G).
  72 intros;
  73 unfold left_cancellable;
  74 unfold injective;
  75 intros (x y z);
  76 rewrite < (e_is_left_unit ? (is_monoid ? (group_properties G)));
  77 rewrite < (e_is_left_unit ? (is_monoid ? (group_properties G)) z);
  78 rewrite < (opp_is_left_inverse ? (group_properties G) x);
  79 rewrite > (associative ? (is_semi_group ? (is_monoid ? (group_properties G))));
  80 rewrite > (associative ? (is_semi_group ? (is_monoid ? (group_properties G))));
  81 apply eq_f;
  82 assumption.
  83 qed.
  84
  85
  86 theorem eq_op_x_y_op_z_y_to_eq:
  87  ∀G:Group. right_cancellable G (op G).
  88 intros;
  89 unfold right_cancellable;
  90 unfold injective;
  91 simplify;fold simplify (op G);
  92 intros (x y z);
  93 rewrite < (e_is_right_unit ? (is_monoid ? (group_properties G)));
  94 rewrite < (e_is_right_unit ? (is_monoid ? (group_properties G)) z);
  95 rewrite < (opp_is_right_inverse ? (group_properties G) x);
  96 rewrite < (associative ? (is_semi_group ? (is_monoid ? (group_properties G))));
  97 rewrite < (associative ? (is_semi_group ? (is_monoid ? (group_properties G))));
  98 rewrite > H;
  99 reflexivity.
 100 qed.
 101
 102
 103 record finite_enumerable (T:Type) : Type ≝
 104  { order: nat;
 105    repr: nat → T;
 106    index_of: T → nat;
 107    index_of_sur: ∀x.index_of x ≤ order;
 108    index_of_repr: ∀n. n≤order → index_of (repr n) = n;
 109    repr_index_of: ∀x. repr (index_of x) = x
 110  }.
 111
 112 notation "hvbox(C \sub i)" with precedence 89
 113 for @{ 'repr $C $i }.
 114
 115 (* CSC: multiple interpretations in the same file are not considered in the
 116  right order
 117 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr C i =
 118  (cic:/matita/algebra/groups/repr.con C _ i).*)
 119
 120 notation < "hvbox(|C|)" with precedence 89
 121 for @{ 'card $C }.
 122
 123 interpretation "Finite_enumerable order" 'card C =
 124  (cic:/matita/algebra/groups/order.con C _).
 125
 126 record finite_enumerable_SemiGroup : Type ≝
 127  { semigroup:> SemiGroup;
 128    is_finite_enumerable:> finite_enumerable semigroup
 129  }.
 130
 131 notation < "S"
 132 for @{ 'semigroup_of_finite_enumerable_semigroup $S }.
 133
 134 interpretation "Semigroup_of_finite_enumerable_semigroup"
 135  'semigroup_of_finite_enumerable_semigroup S
 136 =
 137  (cic:/matita/algebra/groups/semigroup.con S).
 138
 139 notation < "S"
 140 for @{ 'magma_of_finite_enumerable_semigroup $S }.
 141
 142 interpretation "Magma_of_finite_enumerable_semigroup"
 143  'magma_of_finite_enumerable_semigroup S
 144 =
 145  (cic:/matita/algebra/groups/Magma_of_finite_enumerable_SemiGroup.con S).
 146
 147 notation < "S"
 148 for @{ 'type_of_finite_enumerable_semigroup $S }.
 149
 150 interpretation "Type_of_finite_enumerable_semigroup"
 151  'type_of_finite_enumerable_semigroup S
 152 =
 153  (cic:/matita/algebra/groups/Type_of_finite_enumerable_SemiGroup.con S).
 154
 155 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr S i =
 156  (cic:/matita/algebra/groups/repr.con S
 157   (cic:/matita/algebra/groups/is_finite_enumerable.con S) i).
 158
 159 notation "hvbox(ι e)" with precedence 60
 160 for @{ 'index_of_finite_enumerable_semigroup $e }.
 161
 162 interpretation "Index_of_finite_enumerable representation"
 163  'index_of_finite_enumerable_semigroup e
 164 =
 165  (cic:/matita/algebra/groups/index_of.con _
 166   (cic:/matita/algebra/groups/is_finite_enumerable.con _) e).
 167
 168
 169 (* several definitions/theorems to be moved somewhere else *)
 170
 171 definition ltb ≝ λn,m. leb n m ∧ notb (eqb n m).
 172
 173 theorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 174 intros;
 175 elim (le_to_or_lt_eq ? ? H1);
 176 [ assumption
 177 | elim (H H2)
 178 ].
 179 qed.
 180
 181 theorem ltb_to_Prop :
 182  ∀n,m.
 183   match ltb n m with
 184   [ true ⇒ n < m
 185   | false ⇒ n ≮ m
 186   ].
 187 intros;
 188 unfold ltb;
 189 apply leb_elim;
 190 apply eqb_elim;
 191 intros;
 192 simplify;
 193 [ rewrite < H;
 194   apply le_to_not_lt;
 195   constructor 1
 196 | apply (not_eq_to_le_to_lt ? ? H H1)
 197 | rewrite < H;
 198   apply le_to_not_lt;
 199   constructor 1
 200 | apply le_to_not_lt;
 201   generalize in match (not_le_to_lt ? ? H1);
 202   clear H1;
 203   intro;
 204   apply lt_to_le;
 205   assumption
 206 ].
 207 qed.
 208
 209 theorem ltb_elim: \forall n,m:nat. \forall P:bool \to Prop.
 210 (n < m \to (P true)) \to (n ≮ m \to (P false)) \to
 211 P (ltb n m).
 212 intros.
 213 cut
 214 (match (ltb n m) with
 215 [ true  \Rightarrow n < m
 216 | false \Rightarrow n ≮ m] \to (P (ltb n m))).
 217 apply Hcut.apply ltb_to_Prop.
 218 elim (ltb n m).
 219 apply ((H H2)).
 220 apply ((H1 H2)).
 221 qed.
 222
 223 theorem Not_lt_n_n: ∀n. n ≮ n.
 224 intro;
 225 unfold Not;
 226 intro;
 227 unfold lt in H;
 228 apply (not_le_Sn_n ? H).
 229 qed.
 230
 231 theorem eq_pred_to_eq:
 232  ∀n,m. O < n → O < m → pred n = pred m → n = m.
 233 intros 2;
 234 elim n;
 235 [ elim (Not_lt_n_n ? H)
 236 | generalize in match H3;
 237   clear H3;
 238   generalize in match H2;
 239   clear H2;
 240   elim m;
 241   [ elim (Not_lt_n_n ? H2)
 242   | simplify in H4;
 243     apply (eq_f ? ? S);
 244     assumption
 245   ]
 246 ].
 247 qed.
 248
 249 theorem le_pred_to_le:
 250  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m \to n ≤ m.
 251 intros 2;
 252 elim n;
 253 [ apply le_O_n
 254 | simplify in H2;
 255   rewrite > (S_pred m);
 256   [ apply le_S_S;
 257     assumption
 258   | assumption
 259   ]
 260 ].
 261 qed.
 262
 263 theorem le_to_le_pred:
 264  ∀n,m. n ≤ m → pred n ≤ pred m.
 265 intros 2;
 266 elim n;
 267 [ simplify;
 268   apply le_O_n
 269 | simplify;
 270   generalize in match H1;
 271   clear H1;
 272   elim m;
 273   [ elim (not_le_Sn_O ? H1)
 274   | simplify;
 275     apply le_S_S_to_le;
 276     assumption
 277   ]
 278 ].
 279 qed.
 280
 281
 282 theorem pigeonhole:
 283  ∀n:nat.∀f:nat→nat.
 284   (∀x,y.x≤n → y≤n → f x = f y → x=y) →
 285   (∀m. m ≤ n → f m ≤ n) →
 286    ∀x. x≤n \to ∃y.f y = x ∧ y ≤ n.
 287 intro;
 288 elim n;
 289 [ apply (ex_intro ? ? O);
 290   split;
 291   [ rewrite < (le_n_O_to_eq ? H2);
 292     rewrite < (le_n_O_to_eq ? (H1 O ?));
 293     [ reflexivity
 294     | apply le_n
 295     ]
 296   | apply le_n
 297   ]
 298 | clear n;
 299   apply (nat_compare_elim (f (S n1)) x);
 300   [ (* TODO: caso complicato, ma simile al terzo *)
 301   | intros;
 302     apply (ex_intro ? ? (S n1));
 303     split;
 304     [ assumption
 305     | constructor 1
 306     ]
 307   | intro;
 308     letin f' ≝
 309      (λx.
 310        let fSn1 ≝ f (S n1) in
 311        let fx ≝ f x in
 312         match ltb fSn1 fx with
 313         [ true ⇒ pred fx
 314         | false ⇒ fx
 315         ]);
 316     cut (∀x,y. x ≤ n1 → y ≤ n1 → f' x = f' y → x=y);
 317     [ cut (∀x. x ≤ n1 → f' x ≤ n1);
 318       [ elim (H f' ? ? x);
 319         [ simplify in H5;
 320           clear Hcut;
 321           clear Hcut1;
 322           clear f';
 323           elim H5;
 324           clear H5;
 325           apply (ex_intro ? ? a);
 326           split;
 327           [ generalize in match H4;
 328             clear H4;
 329             rewrite < H6;
 330             clear H6;
 331             apply (ltb_elim (f (S n1)) (f a));
 332             [ (* TODO: caso impossibile (uso l'iniettivita') *)
 333               simplify;
 334             | simplify;
 335               intros;
 336               reflexivity
 337             ]
 338           | apply le_S;
 339             assumption
 340           ]
 341         | apply Hcut
 342         | apply Hcut1
 343         | rewrite > (pred_Sn n1);
 344           simplify;
 345           generalize in match (H2 (S n1));
 346           intro;
 347           generalize in match (lt_to_le_to_lt ? ? ? H4 (H5 (le_n ?)));
 348           intro;
 349           unfold lt in H6;
 350           apply le_S_S_to_le;
 351           assumption
 352         ]
 353       | unfold f';
 354         simplify;
 355         intro;
 356         apply (ltb_elim (f (S n1)) (f x1));
 357         simplify;
 358         intros;
 359         [ generalize in match (H2 x1);
 360           intro;
 361           change in match n1 with (pred (S n1));
 362           apply le_to_le_pred;
 363           apply H7;
 364           apply le_S;
 365           assumption
 366         | generalize in match (H2 (S n1) (le_n ?));
 367           intro;
 368           generalize in match (not_lt_to_le ? ? H5);
 369           intro;
 370           generalize in match (transitive_le ? ? ? H8 H7);
 371           intro;
 372           cut (f x1 ≠ f (S n1));
 373           [ generalize in match (not_eq_to_le_to_lt ? ? Hcut1 H8);
 374             intro;
 375             unfold lt in H10;
 376             generalize in match (transitive_le ? ? ? H10 H7);
 377             intro;
 378             apply le_S_S_to_le;
 379             assumption
 380           | unfold Not;
 381             intro;
 382             generalize in match (H1 ? ? ? ? H10);
 383             [ intro;
 384               rewrite > H11 in H6;
 385               apply (not_le_Sn_n ? H6)
 386             | apply le_S;
 387               assumption
 388             | apply le_n
 389             ]
 390           ]
 391         ]
 392       ]
 393     | intros 4;
 394       unfold f';
 395       simplify;
 396       apply (ltb_elim (f (S n1)) (f x1));
 397       simplify;
 398       apply (ltb_elim (f (S n1)) (f y));
 399       simplify;
 400       intros;
 401       [ cut (f x1 = f y);
 402         [ apply (H1 ? ? ? ? Hcut);
 403           apply le_S;
 404           assumption
 405         | apply eq_pred_to_eq;
 406           [ apply (ltn_to_ltO ? ? H8)
 407           | apply (ltn_to_ltO ? ? H7)
 408           | assumption
 409           ]
 410         ]
 411       | (* pred (f x1) = f y absurd since y ≠ S n1 and thus f y ≠ f (S n1)
 412            so that f y < f (S n1) < f x1; hence pred (f x1) = f y is absurd *)
 413          cut (y < S n1);
 414          [ generalize in match (lt_to_not_eq ? ? Hcut);
 415            intro;
 416            cut (f y ≠ f (S n1));
 417            [ cut (f y < f (S n1));
 418              [ rewrite < H9 in Hcut2;
 419                unfold lt in Hcut2;
 420                unfold lt in H8;
 421                generalize in match (le_S_S ? ? Hcut2);
 422                intro;
 423                generalize in match (transitive_le ? ? ? H11 H8);
 424                intros;
 425                rewrite < (S_pred (f x1)) in H12;
 426                 [ elim (not_le_Sn_n ? H12)
 427                 | fold simplify ((f (S n1)) < (f x1)) in H8;
 428                  apply (ltn_to_ltO ? ? H8)
 429                 ]
 430              | apply not_eq_to_le_to_lt;
 431                [ assumption
 432                | apply not_lt_to_le;
 433                  assumption
 434                ]
 435              ]
 436            | unfold Not;
 437              intro;
 438              apply H10;
 439              apply (H1 ? ? ? ? H11);
 440              [ apply lt_to_le;
 441                assumption
 442              | constructor 1
 443              ]
 444            ]
 445          | unfold lt;
 446            apply le_S_S;
 447            assumption
 448          ]
 449       | (* f x1 = pred (f y) absurd since it implies S (f x1) = f y and
 450            f x1 ≤ f (S n1) < f y = S (f x1) so that f x1 = f (S n1); by
 451            injectivity x1 = S n1 that is absurd since x1 ≤ n1 *)
 452          generalize in match (eq_f ? ? S ? ? H9);
 453          intro;
 454          rewrite < S_pred in H10;
 455          [ rewrite < H10 in H7;
 456            generalize in match (not_lt_to_le ? ? H8);
 457            intro;
 458            unfold lt in H7;
 459            generalize in match (le_S_S ? ? H11);
 460            intro;
 461            generalize in match (antisym_le ? ? H12 H7);
 462            intro;
 463            generalize in match (inj_S ? ? H13);
 464            intro;
 465            generalize in match (H1 ? ? ? ? H14);
 466            [ intro;
 467              rewrite > H15 in H5;
 468              elim (not_le_Sn_n ? H5)
 469            | apply le_S;
 470              assumption
 471            | apply le_n
 472            ]
 473          | apply (ltn_to_ltO ?? H7)
 474          ]
 475       | apply (H1 ? ? ? ? H9);
 476         apply le_S;
 477         assumption
 478       ]
 479     ]
 480   ]
 481 ].
 482 qed.
 483
 484 theorem foo:
 485  ∀G:finite_enumerable_SemiGroup.
 486   left_cancellable ? (op G) →
 487   right_cancellable ? (op G) →
 488    ∃e:G. isMonoid (mk_PreMonoid G e).
 489 intros;
 490 letin f ≝ (λn.ι(G \sub O · G \sub n));
 491 cut (∀n.n ≤ order ? (is_finite_enumerable G) → ∃m.f m = n);
 492 [ letin EX ≝ (Hcut O ?);
 493   [ apply le_O_n
 494   | clearbody EX;
 495     clear Hcut;
 496     unfold f in EX;
 497     elim EX;
 498     clear EX;
 499     letin HH ≝ (eq_f ? ? (repr ? (is_finite_enumerable G)) ? ? H2);
 500     clearbody HH;
 501     rewrite > (repr_index_of ? (is_finite_enumerable G)) in HH;
 502     apply (ex_intro ? ? (G \sub a));
 503     letin GOGO ≝ (refl_eq ? (repr ? (is_finite_enumerable G) O));
 504     clearbody GOGO;
 505     rewrite < HH in GOGO;
 506     rewrite < HH in GOGO:(? ? % ?);
 507     rewrite > (associative ? G) in GOGO;
 508     letin GaGa ≝ (H ? ? ? GOGO);
 509     clearbody GaGa;
 510     clear GOGO;
 511     constructor 1;
 512     [ simplify;
 513       apply (semigroup_properties G)
 514     | unfold is_left_unit; intro;
 515       letin GaxGax ≝ (refl_eq ? (G \sub a ·x));
 516       clearbody GaxGax;
 517       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
 518       rewrite > (associative ? (semigroup_properties G)) in GaxGax;
 519       apply (H ? ? ? GaxGax)
 520     | unfold is_right_unit; intro;
 521       letin GaxGax ≝ (refl_eq ? (x·G \sub a));
 522       clearbody GaxGax;
 523       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
 524       rewrite < (associative ? (semigroup_properties G)) in GaxGax;
 525       apply (H1 ? ? ? GaxGax)
 526     ]
 527   ]
 528 | apply pigeonhole
 529 ].