helm/matita/library/nat/minimization.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/minimization".
  16
  17 include "nat/minus.ma".
  18
  19 let rec max i f \def
  20   match (f i) with
  21   [ true \Rightarrow i
  22   | false \Rightarrow
  23       match i with
  24       [ O \Rightarrow O
  25       | (S j) \Rightarrow max j f ]].
  26
  27 theorem max_O_f : \forall f: nat \to bool. max O f = O.
  28 intro. simplify.
  29 elim (f O).
  30 simplify.reflexivity.
  31 simplify.reflexivity.
  32 qed.
  33
  34 theorem max_S_max : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  35 (f (S n) = true \land max (S n) f = (S n)) \lor
  36 (f (S n) = false \land max (S n) f = max n f).
  37 intros.simplify.elim (f (S n)).
  38 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
  39 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
  40 qed.
  41
  42 theorem le_max_n : \forall f: nat \to bool. \forall n:nat.
  43 max n f \le n.
  44 intros.elim n.rewrite > max_O_f.apply le_n.
  45 simplify.elim (f (S n1)).simplify.apply le_n.
  46 simplify.apply le_S.assumption.
  47 qed.
  48
  49 theorem le_to_le_max : \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  50 n\le m  \to max n f \le max m f.
  51 intros.elim H.
  52 apply le_n.
  53 apply (trans_le ? (max n1 f)).apply H2.
  54 cut ((f (S n1) = true \land max (S n1) f = (S n1)) \lor
  55 (f (S n1) = false \land max (S n1) f = max n1 f)).
  56 elim Hcut.elim H3.
  57 rewrite > H5.
  58 apply le_S.apply le_max_n.
  59 elim H3.rewrite > H5.apply le_n.
  60 apply max_S_max.
  61 qed.
  62
  63 theorem f_m_to_le_max: \forall f: nat \to bool. \forall n,m:nat.
  64 m\le n \to f m = true \to m \le max n f.
  65 intros 3.elim n.apply (le_n_O_elim m H).
  66 apply le_O_n.
  67 apply (le_n_Sm_elim m n1 H1).
  68 intro.apply (trans_le ? (max n1 f)).
  69 apply H.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  70 apply le_to_le_max.apply le_n_Sn.
  71 intro.simplify.rewrite < H3.
  72 rewrite > H2.simplify.apply le_n.
  73 qed.
  74
  75
  76 definition max_spec \def \lambda f:nat \to bool.\lambda n: nat.
  77 \exists i. (le i n) \land (f i = true) \to
  78 (f n) = true \land (\forall i. i < n \to (f i = false)).
  79
  80 theorem f_max_true : \forall f:nat \to bool. \forall n:nat.
  81 (\exists i:nat. le i n \land f i = true) \to f (max n f) = true.
  82 intros 2.
  83 elim n.elim H.elim H1.generalize in match H3.
  84 apply (le_n_O_elim a H2).intro.simplify.rewrite > H4.
  85 simplify.assumption.
  86 simplify.
  87 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
  88 (f (S n1) = b) \to (f (match b in bool with
  89 [ true \Rightarrow (S n1)
  90 | false  \Rightarrow (max n1 f)])) = true)).
  91 simplify.intro.assumption.
  92 simplify.intro.apply H.
  93 elim H1.elim H3.generalize in match H5.
  94 apply (le_n_Sm_elim a n1 H4).
  95 intros.
  96 apply (ex_intro nat ? a).
  97 split.apply le_S_S_to_le.assumption.assumption.
  98 intros.apply False_ind.apply not_eq_true_false.
  99 rewrite < H2.rewrite < H7.rewrite > H6. reflexivity.
 100 reflexivity.
 101 qed.
 102
 103 theorem lt_max_to_false : \forall f:nat \to bool.
 104 \forall n,m:nat. (max n f) < m \to m \leq n \to f m = false.
 105 intros 2.
 106 elim n.absurd (le m O).assumption.
 107 cut (O < m).apply (lt_O_n_elim m Hcut).exact not_le_Sn_O.
 108 rewrite < (max_O_f f).assumption.
 109 generalize in match H1.
 110 elim (max_S_max f n1).
 111 elim H3.
 112 absurd (m \le S n1).assumption.
 113 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 114 elim H3.
 115 apply (le_n_Sm_elim m n1 H2).
 116 intro.
 117 apply H.rewrite < H6.assumption.
 118 apply le_S_S_to_le.assumption.
 119 intro.rewrite > H7.assumption.
 120 qed.
 121
 122 let rec min_aux off n f \def
 123   match f (n-off) with
 124   [ true \Rightarrow (n-off)
 125   | false \Rightarrow
 126       match off with
 127       [ O \Rightarrow n
 128       | (S p) \Rightarrow min_aux p n f]].
 129
 130 definition min : nat \to (nat \to bool) \to nat \def
 131 \lambda n.\lambda f. min_aux n n f.
 132
 133 theorem min_aux_O_f: \forall f:nat \to bool. \forall i :nat.
 134 min_aux O i f = i.
 135 intros.simplify.rewrite < minus_n_O.
 136 elim (f i).reflexivity.
 137 simplify.reflexivity.
 138 qed.
 139
 140 theorem min_O_f : \forall f:nat \to bool.
 141 min O f = O.
 142 intro.apply (min_aux_O_f f O).
 143 qed.
 144
 145 theorem min_aux_S : \forall f: nat \to bool. \forall i,n:nat.
 146 (f (n -(S i)) = true \land min_aux (S i) n f = (n - (S i))) \lor
 147 (f (n -(S i)) = false \land min_aux (S i) n f = min_aux i n f).
 148 intros.simplify.elim (f (n - (S i))).
 149 simplify.left.split.reflexivity.reflexivity.
 150 simplify.right.split.reflexivity.reflexivity.
 151 qed.
 152
 153 theorem f_min_aux_true: \forall f:nat \to bool. \forall off,m:nat.
 154 (\exists i. le (m-off) i \land le i m \land f i = true) \to
 155 f (min_aux off m f) = true.
 156 intros 2.
 157 elim off.elim H.elim H1.elim H2.
 158 cut (a = m).
 159 rewrite > (min_aux_O_f f).rewrite < Hcut.assumption.
 160 apply (antisym_le a m).assumption.rewrite > (minus_n_O m).assumption.
 161 simplify.
 162 apply (bool_ind (\lambda b:bool.
 163 (f (m-(S n)) = b) \to (f (match b in bool with
 164 [ true \Rightarrow m-(S n)
 165 | false  \Rightarrow (min_aux n m f)])) = true)).
 166 simplify.intro.assumption.
 167 simplify.intro.apply H.
 168 elim H1.elim H3.elim H4.
 169 elim (le_to_or_lt_eq (m-(S n)) a H6).
 170 apply (ex_intro nat ? a).
 171 split.split.
 172 apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 173 assumption.assumption.
 174 absurd (f a = false).rewrite < H8.assumption.
 175 rewrite > H5.
 176 apply not_eq_true_false.
 177 reflexivity.
 178 qed.
 179
 180 theorem lt_min_aux_to_false : \forall f:nat \to bool.
 181 \forall n,off,m:nat. (n-off) \leq m \to m < (min_aux off n f) \to f m = false.
 182 intros 3.
 183 elim off.absurd (le n m).rewrite > minus_n_O.assumption.
 184 apply lt_to_not_le.rewrite < (min_aux_O_f f n).assumption.
 185 generalize in match H1.
 186 elim (min_aux_S f n1 n).
 187 elim H3.
 188 absurd (n - S n1 \le m).assumption.
 189 apply lt_to_not_le.rewrite < H6.assumption.
 190 elim H3.
 191 elim (le_to_or_lt_eq (n -(S n1)) m).
 192 apply H.apply lt_minus_S_n_to_le_minus_n.assumption.
 193 rewrite < H6.assumption.
 194 rewrite < H7.assumption.
 195 assumption.
 196 qed.
 197
 198 theorem le_min_aux : \forall f:nat \to bool.
 199 \forall n,off:nat. (n-off) \leq (min_aux off n f).
 200 intros 3.
 201 elim off.rewrite < minus_n_O.
 202 rewrite > (min_aux_O_f f n).apply le_n.
 203 elim (min_aux_S f n1 n).
 204 elim H1.rewrite > H3.apply le_n.
 205 elim H1.rewrite > H3.
 206 apply (trans_le (n-(S n1)) (n-n1)).
 207 apply monotonic_le_minus_r.
 208 apply le_n_Sn.
 209 assumption.
 210 qed.
 211
 212 theorem le_min_aux_r : \forall f:nat \to bool.
 213 \forall n,off:nat. (min_aux off n f) \le n.
 214 intros.
 215 elim off.simplify.rewrite < minus_n_O.
 216 elim (f n).simplify.apply le_n.
 217 simplify.apply le_n.
 218 simplify.elim (f (n -(S n1))).
 219 simplify.apply le_plus_to_minus.
 220 rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
 221 simplify.assumption.
 222 qed.