helm/matita/library/nat/orders_op.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/orders_op.ma".
  16
  17 include "higher_order_defs/functions.ma".
  18 include "nat/times.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20
  21 (* plus *)
  22 theorem monotonic_le_plus_r:
  23 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.plus n m).
  24 simplify.intros.elim n.
  25 simplify.assumption.
  26 simplify.apply le_S_S.assumption.
  27 qed.
  28
  29 theorem le_plus_r: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (plus p n) (plus p m)
  30 \def monotonic_le_plus_r.
  31
  32 theorem monotonic_le_plus_l:
  33 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.plus n m).
  34 simplify.intros.
  35 rewrite < sym_plus.rewrite < sym_plus m.
  36 apply le_plus_r.assumption.
  37 qed.
  38
  39 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (plus n p) (plus m p)
  40 \def monotonic_le_plus_l.
  41
  42 theorem le_plus: \forall n1,n2,m1,m2:nat. le n1 n2  \to le m1 m2
  43 \to le (plus n1 m1) (plus n2 m2).
  44 intros.
  45 apply trans_le ? (plus n2 m1).
  46 apply le_plus_l.assumption.
  47 apply le_plus_r.assumption.
  48 qed.
  49
  50 theorem le_plus_n :\forall n,m:nat. le m (plus n m).
  51 intros.change with le (plus O m) (plus n m).
  52 apply le_plus_l.apply le_O_n.
  53 qed.
  54
  55 theorem eq_plus_to_le: \forall n,m,p:nat.eq nat n (plus m p)
  56 \to le m n.
  57 intros.rewrite > H.
  58 rewrite < sym_plus.
  59 apply le_plus_n.
  60 qed.
  61
  62 (* times *)
  63 theorem monotonic_le_times_r:
  64 \forall n:nat.monotonic nat le (\lambda m.times n m).
  65 simplify.intros.elim n.
  66 simplify.apply le_O_n.
  67 simplify.apply le_plus.
  68 assumption.
  69 assumption.
  70 qed.
  71
  72 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (times p n) (times p m)
  73 \def monotonic_le_times_r.
  74
  75 theorem monotonic_le_times_l:
  76 \forall m:nat.monotonic nat le (\lambda n.times n m).
  77 simplify.intros.
  78 rewrite < sym_times.rewrite < sym_times m.
  79 apply le_times_r.assumption.
  80 qed.
  81
  82 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. le n m \to le (times n p) (times m p)
  83 \def monotonic_le_times_l.
  84
  85 theorem le_times: \forall n1,n2,m1,m2:nat. le n1 n2  \to le m1 m2
  86 \to le (times n1 m1) (times n2 m2).
  87 intros.
  88 apply trans_le ? (times n2 m1).
  89 apply le_times_l.assumption.
  90 apply le_times_r.assumption.
  91 qed.
  92
  93 theorem le_n_nm: \forall n,m:nat.le (S O) n \to le m (times n m).
  94 intros.elim H.simplify.
  95 elim (plus_n_O ?).apply le_n.
  96 simplify.rewrite < sym_plus.apply le_plus_n.
  97 qed.
  98
  99