helm/matita/library/nat/primes.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/primes".
  16
  17 include "nat/div_and_mod.ma".
  18 include "nat/minimization.ma".
  19 include "nat/sigma_and_pi.ma".
  20 include "nat/factorial.ma".
  21
  22 inductive divides (n,m:nat) : Prop \def
  23 witness : \forall p:nat.m = times n p \to divides n m.
  24
  25 interpretation "divides" 'divides n m = (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m).
  26 interpretation "not divides" 'ndivides n m =
  27  (cic:/matita/logic/connectives/Not.con (cic:/matita/nat/primes/divides.ind#xpointer(1/1) n m)).
  28
  29 theorem reflexive_divides : reflexive nat divides.
  30 unfold reflexive.
  31 intros.
  32 exact (witness x x (S O) (times_n_SO x)).
  33 qed.
  34
  35 theorem divides_to_div_mod_spec :
  36 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to div_mod_spec m n (m / n) O.
  37 intros.elim H1.rewrite > H2.
  38 constructor 1.assumption.
  39 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
  40 rewrite < plus_n_O.
  41 rewrite > div_times.apply sym_times.
  42 qed.
  43
  44 theorem div_mod_spec_to_divides :
  45 \forall n,m,p. div_mod_spec m n p O \to n \divides m.
  46 intros.elim H.
  47 apply (witness n m p).
  48 rewrite < sym_times.
  49 rewrite > (plus_n_O (p*n)).assumption.
  50 qed.
  51
  52 theorem divides_to_mod_O:
  53 \forall n,m. O < n \to n \divides m \to (m \mod n) = O.
  54 intros.apply (div_mod_spec_to_eq2 m n (m / n) (m \mod n) (m / n) O).
  55 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
  56 apply divides_to_div_mod_spec.assumption.assumption.
  57 qed.
  58
  59 theorem mod_O_to_divides:
  60 \forall n,m. O< n \to (m \mod n) = O \to  n \divides m.
  61 intros.
  62 apply (witness n m (m / n)).
  63 rewrite > (plus_n_O (n * (m / n))).
  64 rewrite < H1.
  65 rewrite < sym_times.
  66 (* Andrea: perche' hint non lo trova ?*)
  67 apply div_mod.
  68 assumption.
  69 qed.
  70
  71 theorem divides_n_O: \forall n:nat. n \divides O.
  72 intro. apply (witness n O O).apply times_n_O.
  73 qed.
  74
  75 theorem divides_n_n: \forall n:nat. n \divides n.
  76 intro. apply (witness n n (S O)).apply times_n_SO.
  77 qed.
  78
  79 theorem divides_SO_n: \forall n:nat. (S O) \divides n.
  80 intro. apply (witness (S O) n n). simplify.apply plus_n_O.
  81 qed.
  82
  83 theorem divides_plus: \forall n,p,q:nat.
  84 n \divides p \to n \divides q \to n \divides p+q.
  85 intros.
  86 elim H.elim H1. apply (witness n (p+q) (n2+n1)).
  87 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_plus.
  88 qed.
  89
  90 theorem divides_minus: \forall n,p,q:nat.
  91 divides n p \to divides n q \to divides n (p-q).
  92 intros.
  93 elim H.elim H1. apply (witness n (p-q) (n2-n1)).
  94 rewrite > H2.rewrite > H3.apply sym_eq.apply distr_times_minus.
  95 qed.
  96
  97 theorem divides_times: \forall n,m,p,q:nat.
  98 n \divides p \to m \divides q \to n*m \divides p*q.
  99 intros.
 100 elim H.elim H1. apply (witness (n*m) (p*q) (n2*n1)).
 101 rewrite > H2.rewrite > H3.
 102 apply (trans_eq nat ? (n*(m*(n2*n1)))).
 103 apply (trans_eq nat ? (n*(n2*(m*n1)))).
 104 apply assoc_times.
 105 apply eq_f.
 106 apply (trans_eq nat ? ((n2*m)*n1)).
 107 apply sym_eq. apply assoc_times.
 108 rewrite > (sym_times n2 m).apply assoc_times.
 109 apply sym_eq. apply assoc_times.
 110 qed.
 111
 112 theorem transitive_divides: transitive ? divides.
 113 unfold.
 114 intros.
 115 elim H.elim H1. apply (witness x z (n2*n)).
 116 rewrite > H3.rewrite > H2.
 117 apply assoc_times.
 118 qed.
 119
 120 variant trans_divides: \forall n,m,p.
 121  n \divides m \to m \divides p \to n \divides p \def transitive_divides.
 122
 123 theorem eq_mod_to_divides:\forall n,m,p. O< p \to
 124 mod n p = mod m p \to divides p (n-m).
 125 intros.
 126 cut (n \le m \or \not n \le m).
 127 elim Hcut.
 128 cut (n-m=O).
 129 rewrite > Hcut1.
 130 apply (witness p O O).
 131 apply times_n_O.
 132 apply eq_minus_n_m_O.
 133 assumption.
 134 apply (witness p (n-m) ((div n p)-(div m p))).
 135 rewrite > distr_times_minus.
 136 rewrite > sym_times.
 137 rewrite > (sym_times p).
 138 cut ((div n p)*p = n - (mod n p)).
 139 rewrite > Hcut1.
 140 rewrite > eq_minus_minus_minus_plus.
 141 rewrite > sym_plus.
 142 rewrite > H1.
 143 rewrite < div_mod.reflexivity.
 144 assumption.
 145 apply sym_eq.
 146 apply plus_to_minus.
 147 rewrite > sym_plus.
 148 apply div_mod.
 149 assumption.
 150 apply (decidable_le n m).
 151 qed.
 152
 153 theorem antisymmetric_divides: antisymmetric nat divides.
 154 unfold antisymmetric.intros.elim H. elim H1.
 155 apply (nat_case1 n2).intro.
 156 rewrite > H3.rewrite > H2.rewrite > H4.
 157 rewrite < times_n_O.reflexivity.
 158 intros.
 159 apply (nat_case1 n).intro.
 160 rewrite > H2.rewrite > H3.rewrite > H5.
 161 rewrite < times_n_O.reflexivity.
 162 intros.
 163 apply antisymmetric_le.
 164 rewrite > H2.rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 165 apply le_times_r.rewrite > H4.apply le_S_S.apply le_O_n.
 166 rewrite > H3.rewrite > times_n_SO in \vdash (? % ?).
 167 apply le_times_r.rewrite > H5.apply le_S_S.apply le_O_n.
 168 qed.
 169
 170 (* divides le *)
 171 theorem divides_to_le : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to n \le m.
 172 intros. elim H1.rewrite > H2.cut (O < n2).
 173 apply (lt_O_n_elim n2 Hcut).intro.rewrite < sym_times.
 174 simplify.rewrite < sym_plus.
 175 apply le_plus_n.
 176 elim (le_to_or_lt_eq O n2).
 177 assumption.
 178 absurd (O<m).assumption.
 179 rewrite > H2.rewrite < H3.rewrite < times_n_O.
 180 apply (not_le_Sn_n O).
 181 apply le_O_n.
 182 qed.
 183
 184 theorem divides_to_lt_O : \forall n,m. O < m \to n \divides m \to O < n.
 185 intros.elim H1.
 186 elim (le_to_or_lt_eq O n (le_O_n n)).
 187 assumption.
 188 rewrite < H3.absurd (O < m).assumption.
 189 rewrite > H2.rewrite < H3.
 190 simplify.exact (not_le_Sn_n O).
 191 qed.
 192
 193 (* boolean divides *)
 194 definition divides_b : nat \to nat \to bool \def
 195 \lambda n,m :nat. (eqb (m \mod n) O).
 196
 197 theorem divides_b_to_Prop :
 198 \forall n,m:nat. O < n \to
 199 match divides_b n m with
 200 [ true \Rightarrow n \divides m
 201 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 202 intros.
 203 change with
 204 match eqb (m \mod n) O with
 205 [ true \Rightarrow n \divides m
 206 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 207 apply eqb_elim.
 208 intro.simplify.apply mod_O_to_divides.assumption.assumption.
 209 intro.simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply divides_to_mod_O.assumption.assumption.
 210 qed.
 211
 212 theorem divides_b_true_to_divides :
 213 \forall n,m:nat. O < n \to
 214 (divides_b n m = true ) \to n \divides m.
 215 intros.
 216 change with
 217 match true with
 218 [ true \Rightarrow n \divides m
 219 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 220 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 221 assumption.
 222 qed.
 223
 224 theorem divides_b_false_to_not_divides :
 225 \forall n,m:nat. O < n \to
 226 (divides_b n m = false ) \to n \ndivides m.
 227 intros.
 228 change with
 229 match false with
 230 [ true \Rightarrow n \divides m
 231 | false \Rightarrow n \ndivides m].
 232 rewrite < H1.apply divides_b_to_Prop.
 233 assumption.
 234 qed.
 235
 236 theorem decidable_divides: \forall n,m:nat.O < n \to
 237 decidable (n \divides m).
 238 intros.change with ((n \divides m) \lor n \ndivides m).
 239 cut
 240 (match divides_b n m with
 241 [ true \Rightarrow n \divides m
 242 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to n \divides m \lor n \ndivides m).
 243 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 244 elim (divides_b n m).left.apply H1.right.apply H1.
 245 qed.
 246
 247 theorem divides_to_divides_b_true : \forall n,m:nat. O < n \to
 248 n \divides m \to divides_b n m = true.
 249 intros.
 250 cut (match (divides_b n m) with
 251 [ true \Rightarrow n \divides m
 252 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = true)).
 253 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 254 elim (divides_b n m).reflexivity.
 255 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 256 qed.
 257
 258 theorem not_divides_to_divides_b_false: \forall n,m:nat. O < n \to
 259 \lnot(n \divides m) \to (divides_b n m) = false.
 260 intros.
 261 cut (match (divides_b n m) with
 262 [ true \Rightarrow n \divides m
 263 | false \Rightarrow n \ndivides m] \to ((divides_b n m) = false)).
 264 apply Hcut.apply divides_b_to_Prop.assumption.
 265 elim (divides_b n m).
 266 absurd (n \divides m).assumption.assumption.
 267 reflexivity.
 268 qed.
 269
 270 (* divides and pi *)
 271 theorem divides_f_pi_f : \forall f:nat \to nat.\forall n,m,i:nat.
 272 m \le i \to i \le n+m \to f i \divides pi n f m.
 273 intros 5.elim n.simplify.
 274 cut (i = m).rewrite < Hcut.apply divides_n_n.
 275 apply antisymmetric_le.assumption.assumption.
 276 simplify.
 277 cut (i < S n1+m \lor i = S n1 + m).
 278 elim Hcut.
 279 apply (transitive_divides ? (pi n1 f m)).
 280 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 281 apply (witness ? ? (f (S n1+m))).apply sym_times.
 282 rewrite > H3.
 283 apply (witness ? ? (pi n1 f m)).reflexivity.
 284 apply le_to_or_lt_eq.assumption.
 285 qed.
 286
 287 (*
 288 theorem mod_S_pi: \forall f:nat \to nat.\forall n,i:nat.
 289 i < n \to (S O) < (f i) \to (S (pi n f)) \mod (f i) = (S O).
 290 intros.cut (pi n f) \mod (f i) = O.
 291 rewrite < Hcut.
 292 apply mod_S.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 293 rewrite > Hcut.assumption.
 294 apply divides_to_mod_O.apply trans_lt O (S O).apply le_n (S O).assumption.
 295 apply divides_f_pi_f.assumption.
 296 qed.
 297 *)
 298
 299 (* divides and fact *)
 300 theorem divides_fact : \forall n,i:nat.
 301 O < i \to i \le n \to i \divides n!.
 302 intros 3.elim n.absurd (O<i).assumption.apply (le_n_O_elim i H1).
 303 apply (not_le_Sn_O O).
 304 change with (i \divides (S n1)*n1!).
 305 apply (le_n_Sm_elim i n1 H2).
 306 intro.
 307 apply (transitive_divides ? n1!).
 308 apply H1.apply le_S_S_to_le. assumption.
 309 apply (witness ? ? (S n1)).apply sym_times.
 310 intro.
 311 rewrite > H3.
 312 apply (witness ? ? n1!).reflexivity.
 313 qed.
 314
 315 theorem mod_S_fact: \forall n,i:nat.
 316 (S O) < i \to i \le n \to (S n!) \mod i = (S O).
 317 intros.cut (n! \mod i = O).
 318 rewrite < Hcut.
 319 apply mod_S.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 320 rewrite > Hcut.assumption.
 321 apply divides_to_mod_O.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 322 apply divides_fact.apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 323 assumption.
 324 qed.
 325
 326 theorem not_divides_S_fact: \forall n,i:nat.
 327 (S O) < i \to i \le n \to i \ndivides S n!.
 328 intros.
 329 apply divides_b_false_to_not_divides.
 330 apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 331 change with ((eqb ((S n!) \mod i) O) = false).
 332 rewrite > mod_S_fact.simplify.reflexivity.
 333 assumption.assumption.
 334 qed.
 335
 336 (* prime *)
 337 definition prime : nat \to  Prop \def
 338 \lambda n:nat. (S O) < n \land
 339 (\forall m:nat. m \divides n \to (S O) < m \to  m = n).
 340
 341 theorem not_prime_O: \lnot (prime O).
 342 unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_O (S O) H1).
 343 qed.
 344
 345 theorem not_prime_SO: \lnot (prime (S O)).
 346 unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_n (S O) H1).
 347 qed.
 348
 349 (* smallest factor *)
 350 definition smallest_factor : nat \to nat \def
 351 \lambda n:nat.
 352 match n with
 353 [ O \Rightarrow O
 354 | (S p) \Rightarrow
 355   match p with
 356   [ O \Rightarrow (S O)
 357   | (S q) \Rightarrow min_aux q (S(S q)) (\lambda m.(eqb ((S(S q)) \mod m) O))]].
 358
 359 (* it works !
 360 theorem example1 : smallest_prime_factor (S(S(S O))) = (S(S(S O))).
 361 normalize.reflexivity.
 362 qed.
 363
 364 theorem example2: smallest_prime_factor (S(S(S(S O)))) = (S(S O)).
 365 normalize.reflexivity.
 366 qed.
 367
 368 theorem example3 : smallest_prime_factor (S(S(S(S(S(S(S O))))))) = (S(S(S(S(S(S(S O))))))).
 369 simplify.reflexivity.
 370 qed. *)
 371
 372 theorem lt_SO_smallest_factor:
 373 \forall n:nat. (S O) < n \to (S O) < (smallest_factor n).
 374 intro.
 375 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
 376 intro.apply (nat_case m).intro. apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (S O) H).
 377 intros.
 378 change with
 379 (S O < min_aux m1 (S(S m1)) (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O))).
 380 apply (lt_to_le_to_lt ? (S (S O))).
 381 apply (le_n (S(S O))).
 382 cut ((S(S O)) = (S(S m1)) - m1).
 383 rewrite > Hcut.
 384 apply le_min_aux.
 385 apply sym_eq.apply plus_to_minus.
 386 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 387 qed.
 388
 389 theorem lt_O_smallest_factor: \forall n:nat. O < n \to O < (smallest_factor n).
 390 intro.
 391 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_n O H).
 392 intro.apply (nat_case m).intro.
 393 simplify.unfold lt.apply le_n.
 394 intros.apply (trans_lt ? (S O)).
 395 unfold lt.apply le_n.
 396 apply lt_SO_smallest_factor.unfold lt. apply le_S_S.
 397 apply le_S_S.apply le_O_n.
 398 qed.
 399
 400 theorem divides_smallest_factor_n :
 401 \forall n:nat. O < n \to smallest_factor n \divides n.
 402 intro.
 403 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O O H).
 404 intro.apply (nat_case m).intro. simplify.
 405 apply (witness ? ? (S O)). simplify.reflexivity.
 406 intros.
 407 apply divides_b_true_to_divides.
 408 apply (lt_O_smallest_factor ? H).
 409 change with
 410 (eqb ((S(S m1)) \mod (min_aux m1 (S(S m1))
 411   (\lambda m.(eqb ((S(S m1)) \mod m) O)))) O = true).
 412 apply f_min_aux_true.
 413 apply (ex_intro nat ? (S(S m1))).
 414 split.split.
 415 apply le_minus_m.apply le_n.
 416 rewrite > mod_n_n.reflexivity.
 417 apply (trans_lt ? (S O)).apply (le_n (S O)).unfold lt.
 418 apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 419 qed.
 420
 421 theorem le_smallest_factor_n :
 422 \forall n:nat. smallest_factor n \le n.
 423 intro.apply (nat_case n).simplify.reflexivity.
 424 intro.apply (nat_case m).simplify.reflexivity.
 425 intro.apply divides_to_le.
 426 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 427 apply divides_smallest_factor_n.
 428 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 429 qed.
 430
 431 theorem lt_smallest_factor_to_not_divides: \forall n,i:nat.
 432 (S O) < n \to (S O) < i \to i < (smallest_factor n) \to i \ndivides n.
 433 intros 2.
 434 apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O (S O) H).
 435 intro.apply (nat_case m).intro. apply False_ind.apply (not_le_Sn_n (S O) H).
 436 intros.
 437 apply divides_b_false_to_not_divides.
 438 apply (trans_lt O (S O)).apply (le_n (S O)).assumption.
 439 change with ((eqb ((S(S m1)) \mod i) O) = false).
 440 apply (lt_min_aux_to_false
 441 (\lambda i:nat.eqb ((S(S m1)) \mod i) O) (S(S m1)) m1 i).
 442 cut ((S(S O)) = (S(S m1)-m1)).
 443 rewrite < Hcut.exact H1.
 444 apply sym_eq. apply plus_to_minus.
 445 rewrite < sym_plus.simplify.reflexivity.
 446 exact H2.
 447 qed.
 448
 449 theorem prime_smallest_factor_n :
 450 \forall n:nat. (S O) < n \to prime (smallest_factor n).
 451 intro. change with ((S(S O)) \le n \to (S O) < (smallest_factor n) \land
 452 (\forall m:nat. m \divides smallest_factor n \to (S O) < m \to  m = (smallest_factor n))).
 453 intro.split.
 454 apply lt_SO_smallest_factor.assumption.
 455 intros.
 456 cut (le m (smallest_factor n)).
 457 elim (le_to_or_lt_eq m (smallest_factor n) Hcut).
 458 absurd (m \divides n).
 459 apply (transitive_divides m (smallest_factor n)).
 460 assumption.
 461 apply divides_smallest_factor_n.
 462 apply (trans_lt ? (S O)). unfold lt. apply le_n. exact H.
 463 apply lt_smallest_factor_to_not_divides.
 464 exact H.assumption.assumption.assumption.
 465 apply divides_to_le.
 466 apply (trans_lt O (S O)).
 467 apply (le_n (S O)).
 468 apply lt_SO_smallest_factor.
 469 exact H.
 470 assumption.
 471 qed.
 472
 473 theorem prime_to_smallest_factor: \forall n. prime n \to
 474 smallest_factor n = n.
 475 intro.apply (nat_case n).intro.apply False_ind.apply (not_prime_O H).
 476 intro.apply (nat_case m).intro.apply False_ind.apply (not_prime_SO H).
 477 intro.
 478 change with
 479 ((S O) < (S(S m1)) \land
 480 (\forall m:nat. m \divides S(S m1) \to (S O) < m \to  m = (S(S m1))) \to
 481 smallest_factor (S(S m1)) = (S(S m1))).
 482 intro.elim H.apply H2.
 483 apply divides_smallest_factor_n.
 484 apply (trans_lt ? (S O)).unfold lt. apply le_n.assumption.
 485 apply lt_SO_smallest_factor.
 486 assumption.
 487 qed.
 488
 489 (* a number n > O is prime iff its smallest factor is n *)
 490 definition primeb \def \lambda n:nat.
 491 match n with
 492 [ O \Rightarrow false
 493 | (S p) \Rightarrow
 494   match p with
 495   [ O \Rightarrow false
 496   | (S q) \Rightarrow eqb (smallest_factor (S(S q))) (S(S q))]].
 497
 498 (* it works!
 499 theorem example4 : primeb (S(S(S O))) = true.
 500 normalize.reflexivity.
 501 qed.
 502
 503 theorem example5 : primeb (S(S(S(S(S(S O)))))) = false.
 504 normalize.reflexivity.
 505 qed.
 506
 507 theorem example6 : primeb (S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O)))))))))))) = true.
 508 normalize.reflexivity.
 509 qed.
 510
 511 theorem example7 : primeb (S(S(S(S(S(S((S(S(S(S((S(S(S(S(S(S(S O))))))))))))))))))) = true.
 512 normalize.reflexivity.
 513 qed. *)
 514
 515 theorem primeb_to_Prop: \forall n.
 516 match primeb n with
 517 [ true \Rightarrow prime n
 518 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 519 intro.
 520 apply (nat_case n).simplify.unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_O (S O) H1).
 521 intro.apply (nat_case m).simplify.unfold Not.unfold prime.intro.elim H.apply (not_le_Sn_n (S O) H1).
 522 intro.
 523 change with
 524 match eqb (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1)) with
 525 [ true \Rightarrow prime (S(S m1))
 526 | false \Rightarrow \lnot (prime (S(S m1)))].
 527 apply (eqb_elim (smallest_factor (S(S m1))) (S(S m1))).
 528 intro.change with (prime (S(S m1))).
 529 rewrite < H.
 530 apply prime_smallest_factor_n.
 531 unfold lt.apply le_S_S.apply le_S_S.apply le_O_n.
 532 intro.change with (\lnot (prime (S(S m1)))).
 533 change with (prime (S(S m1)) \to False).
 534 intro.apply H.
 535 apply prime_to_smallest_factor.
 536 assumption.
 537 qed.
 538
 539 theorem primeb_true_to_prime : \forall n:nat.
 540 primeb n = true \to prime n.
 541 intros.change with
 542 match true with
 543 [ true \Rightarrow prime n
 544 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 545 rewrite < H.
 546 apply primeb_to_Prop.
 547 qed.
 548
 549 theorem primeb_false_to_not_prime : \forall n:nat.
 550 primeb n = false \to \lnot (prime n).
 551 intros.change with
 552 match false with
 553 [ true \Rightarrow prime n
 554 | false \Rightarrow \lnot (prime n)].
 555 rewrite < H.
 556 apply primeb_to_Prop.
 557 qed.
 558
 559 theorem decidable_prime : \forall n:nat.decidable (prime n).
 560 intro.change with ((prime n) \lor \lnot (prime n)).
 561 cut
 562 (match primeb n with
 563 [ true \Rightarrow prime n
 564 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to (prime n) \lor \lnot (prime n)).
 565 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 566 elim (primeb n).left.apply H.right.apply H.
 567 qed.
 568
 569 theorem prime_to_primeb_true: \forall n:nat.
 570 prime n \to primeb n = true.
 571 intros.
 572 cut (match (primeb n) with
 573 [ true \Rightarrow prime n
 574 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = true)).
 575 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 576 elim (primeb n).reflexivity.
 577 absurd (prime n).assumption.assumption.
 578 qed.
 579
 580 theorem not_prime_to_primeb_false: \forall n:nat.
 581 \lnot(prime n) \to primeb n = false.
 582 intros.
 583 cut (match (primeb n) with
 584 [ true \Rightarrow prime n
 585 | false \Rightarrow \lnot (prime n)] \to ((primeb n) = false)).
 586 apply Hcut.apply primeb_to_Prop.
 587 elim (primeb n).
 588 absurd (prime n).assumption.assumption.
 589 reflexivity.
 590 qed.
 591