helm/matita/tests/match.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 inductive True: Prop \def
  17 I : True.
  18
  19 inductive False: Prop \def .
  20
  21 definition Not: Prop \to Prop \def
  22 \lambda A. (A \to False).
  23
  24 theorem absurd : \forall A,C:Prop. A \to Not A \to C.
  25 intros. elim (H1 H).
  26 qed.
  27
  28 inductive And (A,B:Prop) : Prop \def
  29     conj : A \to B \to (And A B).
  30
  31 theorem proj1: \forall A,B:Prop. (And A B) \to A.
  32 intros. elim H. assumption.
  33 qed.
  34
  35 theorem proj2: \forall A,B:Prop. (And A B) \to A.
  36 intros. elim H. assumption.
  37 qed.
  38
  39 inductive Or (A,B:Prop) : Prop \def
  40      or_introl : A \to (Or A B)
  41    | or_intror : B \to (Or A B).
  42
  43 inductive ex (A:Type) (P:A \to Prop) : Prop \def
  44     ex_intro: \forall x:A. P x \to ex A P.
  45
  46 inductive ex2 (A:Type) (P,Q:A \to Prop) : Prop \def
  47     ex_intro2: \forall x:A. P x \to Q x \to ex2 A P Q.
  48
  49 inductive eq (A:Type) (x:A) : A \to Prop \def
  50     refl_equal : eq A x x.
  51
  52 theorem sym_eq : \forall A:Type.\forall x,y:A. eq A x y  \to eq A y x.
  53 intros. elim H. apply refl_equal.
  54 qed.
  55
  56 theorem trans_eq : \forall A:Type.
  57 \forall x,y,z:A. eq A x y  \to eq A y z \to eq A x z.
  58 intros.elim H1.assumption.
  59 qed.
  60
  61 theorem f_equal: \forall  A,B:Type.\forall f:A\to B.
  62 \forall x,y:A. eq A x y \to eq B (f x) (f y).
  63 intros.elim H.apply refl_equal.
  64 qed.
  65
  66 theorem f_equal2: \forall  A,B,C:Type.\forall f:A\to B \to C.
  67 \forall x1,x2:A. \forall y1,y2:B.
  68 eq A x1 x2\to eq B y1 y2\to eq C (f x1 y1) (f x2 y2).
  69 intros.elim H1.elim H.apply refl_equal.
  70 qed.
  71
  72 inductive nat : Set \def
  73   | O : nat
  74   | S : nat \to nat.
  75
  76 definition pred: nat \to nat \def
  77 \lambda n:nat. match n with
  78 [ O \Rightarrow  O
  79 | (S u) \Rightarrow u ].
  80
  81 theorem pred_Sn : \forall n:nat.
  82 (eq nat n (pred (S n))).
  83 intros.apply refl_equal.
  84 qed.
  85
  86 theorem injective_S : \forall n,m:nat.
  87 (eq nat (S n) (S m)) \to (eq nat n m).
  88 intros.(elim (sym_eq ? ? ? (pred_Sn n))).(elim (sym_eq ? ? ? (pred_Sn m))).
  89 apply f_equal. assumption.
  90 qed.
  91
  92 theorem not_eq_S  : \forall n,m:nat.
  93 Not (eq nat n m) \to Not (eq nat (S n) (S m)).
  94 intros. simplify.intros.
  95 apply H.apply injective_S.assumption.
  96 qed.
  97
  98 definition not_zero : nat \to Prop \def
  99 \lambda n: nat.
 100   match n with
 101   [ O \Rightarrow False
 102   | (S p) \Rightarrow True ].
 103
 104 theorem O_S : \forall n:nat. Not (eq nat O (S n)).
 105 intros.simplify.intros.
 106 cut (not_zero O).exact Hcut.elim (sym_eq ? ? ? H).
 107 exact I.
 108 qed.
 109
 110 theorem n_Sn : \forall n:nat. Not (eq nat n (S n)).
 111 intros.elim n.apply O_S.apply not_eq_S.assumption.
 112 qed.
 113
 114
 115 let rec plus n m \def
 116  match n with
 117  [ O \Rightarrow m
 118  | (S p) \Rightarrow S (plus p m) ].
 119
 120 theorem plus_n_O: \forall n:nat. eq nat n (plus n O).
 121 intros.elim n.simplify.apply refl_equal.simplify.apply f_equal.assumption.
 122 qed.
 123
 124 theorem plus_n_Sm : \forall n,m:nat. eq nat (S (plus n  m)) (plus n (S m)).
 125 intros.elim n.simplify.apply refl_equal.simplify.apply f_equal.assumption.
 126 qed.
 127
 128 theorem sym_plus: \forall n,m:nat. eq nat (plus n m) (plus m n).
 129 intros.elim n.simplify.apply plus_n_O.
 130 simplify.elim (sym_eq ? ? ? H).apply plus_n_Sm.
 131 qed.
 132
 133 theorem assoc_plus:
 134 \forall n,m,p:nat. eq nat (plus (plus n m) p) (plus n (plus m p)).
 135 intros.elim n.simplify.apply refl_equal.simplify.apply f_equal.assumption.
 136 qed.
 137
 138 let rec times n m \def
 139  match n with
 140  [ O \Rightarrow O
 141  | (S p) \Rightarrow (plus m (times p m)) ].
 142
 143 theorem times_n_O: \forall n:nat. eq nat O (times n O).
 144 intros.elim n.simplify.apply refl_equal.simplify.assumption.
 145 qed.
 146
 147 theorem times_n_Sm :
 148 \forall n,m:nat. eq nat (plus n (times n  m)) (times n (S m)).
 149 intros.elim n.simplify.apply refl_equal.
 150 simplify.apply f_equal.elim H.
 151 apply trans_eq ? ? (plus (plus e m) (times e m)).apply sym_eq.
 152 apply assoc_plus.apply trans_eq ? ? (plus (plus m e) (times e m)).
 153 apply f_equal2.
 154 apply sym_plus.apply refl_equal.apply assoc_plus.
 155 qed.
 156
 157 theorem sym_times :
 158 \forall n,m:nat. eq nat (times n m) (times m n).
 159 intros.elim n.simplify.apply times_n_O.
 160 simplify.elim (sym_eq ? ? ? H).apply times_n_Sm.
 161 qed.
 162
 163 let rec minus n m \def
 164  match n with
 165  [ O \Rightarrow O
 166  | (S p) \Rightarrow
 167         match m with
 168         [O \Rightarrow (S p)
 169         | (S q) \Rightarrow minus p q ]].
 170
 171 theorem nat_case :
 172 \forall n:nat.\forall P:nat \to Prop.
 173 P O \to  (\forall m:nat. P (S m)) \to P n.
 174 intros.elim n.assumption.apply H1.
 175 qed.
 176
 177 theorem nat_double_ind :
 178 \forall R:nat \to nat \to Prop.
 179 (\forall n:nat. R O n) \to
 180 (\forall n:nat. R (S n) O) \to
 181 (\forall n,m:nat. R n m \to R (S n) (S m)) \to \forall n,m:nat. R n m.
 182 intros.cut \forall m:nat.R n m.apply Hcut.elim n.apply H.
 183 apply nat_case m1.apply H1.intros.apply H2. apply H3.
 184 qed.
 185
 186 inductive bool : Set \def
 187   | true : bool
 188   | false : bool.
 189
 190 definition notn : bool \to bool \def
 191 \lambda b:bool.
 192  match b with
 193  [ true \Rightarrow false
 194  | false \Rightarrow true ].
 195
 196 definition andb : bool \to bool \to bool\def
 197 \lambda b1,b2:bool.
 198  match b1 with
 199  [ true \Rightarrow
 200         match b2 with [true \Rightarrow true | false \Rightarrow false]
 201  | false \Rightarrow false ].
 202
 203 definition orb : bool \to bool \to bool\def
 204 \lambda b1,b2:bool.
 205  match b1 with
 206  [ true \Rightarrow
 207         match b2 with [true \Rightarrow true | false \Rightarrow false]
 208  | false \Rightarrow false ].
 209
 210 definition if_then_else : bool \to Prop \to Prop \to Prop \def
 211 \lambda b:bool.\lambda P,Q:Prop.
 212 match b with
 213 [ true \Rightarrow P
 214 | false  \Rightarrow Q].
 215
 216 inductive le (n:nat) : nat \to Prop \def
 217   | le_n : le n n
 218   | le_S : \forall m:nat. le n m \to le n (S m).
 219
 220 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. le n m \to le m p \to le n p.
 221 intros.
 222 elim H1.assumption.
 223 apply le_S.assumption.
 224 qed.
 225
 226 theorem le_n_S: \forall n,m:nat. le n m \to le (S n) (S m).
 227 intros.elim H.
 228 apply le_n.apply le_S.assumption.
 229 qed.
 230
 231 theorem le_O_n : \forall n:nat. le O n.
 232 intros.elim n.apply le_n.apply le_S. assumption.
 233 qed.
 234
 235 theorem le_n_Sn : \forall n:nat. le n (S n).
 236 intros. apply le_S.apply le_n.
 237 qed.
 238
 239 theorem le_pred_n : \forall n:nat. le (pred n) n.
 240 intros.elim n.simplify.apply le_n.simplify.
 241 apply le_n_Sn.
 242 qed.
 243
 244 theorem not_zero_le : \forall n,m:nat. (le (S n) m ) \to not_zero m.
 245 intros.elim H.exact I.exact I.
 246 qed.
 247
 248 theorem le_Sn_O: \forall n:nat. Not (le (S n) O).
 249 intros.simplify.intros.apply not_zero_le ? O H.
 250 qed.
 251
 252 theorem le_n_O_eq : \forall n:nat. (le n O) \to (eq nat O n).
 253 intros.cut (le n O) \to (eq nat O n).apply Hcut. assumption.
 254 elim n.apply refl_equal.apply False_ind.apply  (le_Sn_O ? H2).
 255 qed.
 256
 257 theorem le_S_n : \forall n,m:nat. le (S n) (S m) \to le n m.
 258 intros.cut le (pred (S n)) (pred (S m)).exact Hcut.
 259 elim H.apply le_n.apply trans_le ? (pred x).assumption.
 260 apply le_pred_n.
 261 qed.
 262
 263 theorem le_Sn_n : \forall n:nat. Not (le (S n) n).
 264 intros.elim n.apply le_Sn_O.simplify.intros.
 265 cut le (S e) e.apply H.assumption.apply le_S_n.assumption.
 266 qed.
 267
 268 theorem le_antisym : \forall n,m:nat. (le n m) \to (le m n) \to (eq nat n m).
 269 intros.cut (le n m) \to (le m n) \to (eq nat n m).exact Hcut H H1.
 270 apply nat_double_ind (\lambda n,m.((le n m) \to (le m n) \to eq nat n m)).
 271 intros.whd.intros.
 272 apply le_n_O_eq.assumption.
 273 intros.whd.intros.apply sym_eq.apply le_n_O_eq.assumption.
 274 intros.whd.intros.apply f_equal.apply H2.
 275 apply le_S_n.assumption.
 276 apply le_S_n.assumption.
 277 qed.
 278
 279 let rec leb n m \def
 280     match n with
 281     [ O \Rightarrow true
 282     | (S p) \Rightarrow
 283         match m with
 284         [ O \Rightarrow false
 285         | (S q) \Rightarrow leb p q]].
 286
 287 theorem le_dec: \forall n,m:nat. if_then_else (leb n m) (le n m) (Not (le n m)).
 288 intros.
 289 apply (nat_double_ind
 290 (\lambda n,m:nat.if_then_else (leb n m) (le n m) (Not (le n m))) ? ? ? n m).
 291 simplify.intros.apply le_O_n.
 292 simplify.exact le_Sn_O.
 293 intros 2.simplify.elim (leb n1 m1).
 294 simplify.apply le_n_S.apply H.
 295 simplify.intros.apply H.apply le_S_n.assumption.
 296 qed.
 297
 298 inductive Z : Set \def
 299   OZ : Z
 300 | pos : nat \to Z
 301 | neg : nat \to Z.
 302
 303 definition Z_of_nat \def
 304 \lambda n. match n with
 305 [ O \Rightarrow  OZ
 306 | (S n)\Rightarrow  pos n].
 307
 308 coercion Z_of_nat.
 309
 310 definition neg_Z_of_nat \def
 311 \lambda n. match n with
 312 [ O \Rightarrow  OZ
 313 | (S n)\Rightarrow  neg n].
 314
 315 definition absZ \def
 316 \lambda z.
 317  match z with
 318 [ OZ \Rightarrow O
 319 | (pos n) \Rightarrow n
 320 | (neg n) \Rightarrow n].
 321
 322 definition OZ_testb \def
 323 \lambda z.
 324 match z with
 325 [ OZ \Rightarrow true
 326 | (pos n) \Rightarrow false
 327 | (neg n) \Rightarrow false].
 328
 329 theorem OZ_discr :
 330 \forall z. if_then_else (OZ_testb z) (eq Z z OZ) (Not (eq Z z OZ)).
 331 intros.elim z.simplify.apply refl_equal.
 332 simplify.intros.
 333 cut match neg e with
 334 [ OZ \Rightarrow True
 335 | (pos n) \Rightarrow False
 336 | (neg n) \Rightarrow False].
 337 apply Hcut. elim (sym_eq ? ? ? H).simplify.exact I.
 338 simplify.intros.
 339 cut match pos e with
 340 [ OZ \Rightarrow True
 341 | (pos n) \Rightarrow False
 342 | (neg n) \Rightarrow False].
 343 apply Hcut. elim (sym_eq ? ? ? H).simplify.exact I.
 344 qed.
 345
 346 definition Zsucc \def
 347 \lambda z. match z with
 348 [ OZ \Rightarrow pos O
 349 | (pos n) \Rightarrow pos (S n)
 350 | (neg n) \Rightarrow
 351           match n with
 352           [ O \Rightarrow OZ
 353           | (S p) \Rightarrow neg p]].
 354
 355 definition Zpred \def
 356 \lambda z. match z with
 357 [ OZ \Rightarrow neg O
 358 | (pos n) \Rightarrow
 359           match n with
 360           [ O \Rightarrow OZ
 361           | (S p) \Rightarrow pos p]
 362 | (neg n) \Rightarrow neg (S n)].
 363
 364 theorem Zpred_succ: \forall z:Z. eq Z (Zpred (Zsucc z)) z.
 365 intros.elim z.apply refl_equal.
 366 elim e.apply refl_equal.
 367 apply refl_equal.
 368 apply refl_equal.
 369 qed.
 370
 371 theorem Zsucc_pred: \forall z:Z. eq Z (Zsucc (Zpred z)) z.
 372 intros.elim z.apply refl_equal.
 373 apply refl_equal.
 374 elim e.apply refl_equal.
 375 apply refl_equal.
 376 qed.
 377
 378 inductive compare :Set \def
 379 | LT : compare
 380 | EQ : compare
 381 | GT : compare.
 382
 383 let rec nat_compare n m: compare \def
 384 match n with
 385 [ O \Rightarrow
 386     match m with
 387       [ O \Rightarrow EQ
 388       | (S q) \Rightarrow LT ]
 389 | (S p) \Rightarrow
 390     match m with
 391       [ O \Rightarrow GT
 392       | (S q) \Rightarrow nat_compare p q]].
 393
 394 definition compare_invert: compare \to compare \def
 395   \lambda c.
 396     match c with
 397       [ LT \Rightarrow GT
 398       | EQ \Rightarrow EQ
 399       | GT \Rightarrow LT ].
 400
 401 theorem nat_compare_invert: \forall n,m:nat.
 402 eq compare (nat_compare n m) (compare_invert (nat_compare m n)).
 403 intros.
 404 apply nat_double_ind (\lambda n,m.eq compare (nat_compare n m) (compare_invert (nat_compare m n))).
 405 intros.elim n1.simplify.apply refl_equal.
 406 simplify.apply refl_equal.
 407 intro.elim n1.simplify.apply refl_equal.
 408 simplify.apply refl_equal.
 409 intros.simplify.elim H.apply refl_equal.
 410 qed.
 411
 412 let rec Zplus x y : Z \def
 413   match x with
 414     [ OZ \Rightarrow y
 415     | (pos m) \Rightarrow
 416         match y with
 417          [ OZ \Rightarrow x
 418          | (pos n) \Rightarrow (pos (S (plus m n)))
 419          | (neg n) \Rightarrow
 420               match nat_compare m n with
 421                 [ LT \Rightarrow (neg (pred (minus n m)))
 422                 | EQ \Rightarrow OZ
 423                 | GT \Rightarrow (pos (pred (minus m n)))]]
 424     | (neg m) \Rightarrow
 425         match y with
 426          [ OZ \Rightarrow x
 427          | (pos n) \Rightarrow
 428               match nat_compare m n with
 429                 [ LT \Rightarrow (pos (pred (minus n m)))
 430                 | EQ \Rightarrow OZ
 431                 | GT \Rightarrow (neg (pred (minus m n)))]
 432          | (neg n) \Rightarrow (neg (S (plus m n)))]].
 433
 434 theorem Zplus_z_O:  \forall z:Z. eq Z (Zplus z OZ) z.
 435 intro.elim z.
 436 simplify.apply refl_equal.
 437 simplify.apply refl_equal.
 438 simplify.apply refl_equal.
 439 qed.
 440
 441 theorem sym_Zplus : \forall x,y:Z. eq Z (Zplus x y) (Zplus y x).
 442 intros.elim x.simplify.elim (sym_eq ? ? ? (Zplus_z_O y)).apply refl_equal.
 443 elim y.simplify.reflexivity.
 444 simplify.elim (sym_plus e e1).apply refl_equal.
 445 simplify.elim (sym_eq ? ? ?(nat_compare_invert e e1)).
 446 simplify.elim nat_compare e1 e.simplify.apply refl_equal.
 447 simplify. apply refl_equal.
 448 simplify. apply refl_equal.
 449 elim y.simplify.reflexivity.
 450 simplify.elim (sym_eq ? ? ?(nat_compare_invert e e1)).
 451 simplify.elim nat_compare e1 e.simplify.apply refl_equal.
 452 simplify. apply refl_equal.
 453 simplify. apply refl_equal.
 454 simplify.elim (sym_plus e1 e).apply refl_equal.
 455 qed.
 456
 457 theorem Zpred_neg : \forall z:Z. eq Z (Zpred z) (Zplus (neg O) z).
 458 intros.elim z.
 459 simplify.apply refl_equal.
 460 simplify.apply refl_equal.
 461 elim e.simplify.apply refl_equal.
 462 simplify.apply refl_equal.
 463 qed.
 464
 465 theorem Zsucc_pos : \forall z:Z. eq Z (Zsucc z) (Zplus (pos O) z).
 466 intros.elim z.
 467 simplify.apply refl_equal.
 468 elim e.simplify.apply refl_equal.
 469 simplify.apply refl_equal.
 470 simplify.apply refl_equal.
 471 qed.
 472
 473 theorem Zplus_succ_pred_pp :
 474 \forall n,m. eq Z (Zplus (pos n) (pos m)) (Zplus (Zsucc (pos n)) (Zpred (pos m))).
 475 intros.
 476 elim n.elim m.
 477 simplify.apply refl_equal.
 478 simplify.apply refl_equal.
 479 elim m.
 480 simplify.elim (plus_n_O ?).apply refl_equal.
 481 simplify.elim (plus_n_Sm ? ?).apply refl_equal.
 482 qed.
 483
 484 theorem Zplus_succ_pred_pn :
 485 \forall n,m. eq Z (Zplus (pos n) (neg m)) (Zplus (Zsucc (pos n)) (Zpred (neg m))).
 486 intros.apply refl_equal.
 487 qed.
 488
 489 theorem Zplus_succ_pred_np :
 490 \forall n,m. eq Z (Zplus (neg n) (pos m)) (Zplus (Zsucc (neg n)) (Zpred (pos m))).
 491 intros.
 492 elim n.elim m.
 493 simplify.apply refl_equal.
 494 simplify.apply refl_equal.
 495 elim m.
 496 simplify.apply refl_equal.
 497 simplify.apply refl_equal.
 498 qed.
 499
 500 theorem Zplus_succ_pred_nn:
 501 \forall n,m. eq Z (Zplus (neg n) (neg m)) (Zplus (Zsucc (neg n)) (Zpred (neg m))).
 502 intros.
 503 elim n.elim m.
 504 simplify.apply refl_equal.
 505 simplify.apply refl_equal.
 506 elim m.
 507 simplify.elim (plus_n_Sm ? ?).apply refl_equal.
 508 simplify.elim (sym_eq ? ? ? (plus_n_Sm ? ?)).apply refl_equal.
 509 qed.
 510
 511 theorem Zplus_succ_pred:
 512 \forall x,y. eq Z (Zplus x y) (Zplus (Zsucc x) (Zpred y)).
 513 intros.
 514 elim x. elim y.
 515 simplify.apply refl_equal.
 516 simplify.apply refl_equal.
 517 elim (Zsucc_pos ?).elim (sym_eq ? ? ? (Zsucc_pred ?)).apply refl_equal.
 518 elim y.elim sym_Zplus ? ?.elim sym_Zplus (Zpred OZ) ?.
 519 elim (Zpred_neg ?).elim (sym_eq ? ? ? (Zpred_succ ?)).
 520 simplify.apply refl_equal.
 521 apply Zplus_succ_pred_nn.
 522 apply Zplus_succ_pred_np.
 523 elim y.simplify.apply refl_equal.
 524 apply Zplus_succ_pred_pn.
 525 apply Zplus_succ_pred_pp.
 526 qed.
 527
 528 theorem Zsucc_plus_pp :
 529 \forall n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (pos n)) (pos m)) (Zsucc (Zplus (pos n) (pos m))).
 530 intros.apply refl_equal.
 531 qed.
 532
 533 theorem Zsucc_plus_pn :
 534 \forall n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (pos n)) (neg m)) (Zsucc (Zplus (pos n) (neg m))).
 535 intros.
 536 apply nat_double_ind
 537 (\lambda n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (pos n)) (neg m)) (Zsucc (Zplus (pos n) (neg m)))).intro.
 538 intros.elim n1.
 539 simplify. apply refl_equal.
 540 elim e.simplify. apply refl_equal.
 541 simplify. apply refl_equal.
 542 intros. elim n1.
 543 simplify. apply refl_equal.
 544 simplify.apply refl_equal.
 545 intros.
 546 elim (Zplus_succ_pred_pn ? m1).
 547 elim H.apply refl_equal.
 548 qed.
 549
 550 theorem Zsucc_plus_nn :
 551 \forall n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (neg n)) (neg m)) (Zsucc (Zplus (neg n) (neg m))).
 552 intros.
 553 apply nat_double_ind
 554 (\lambda n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (neg n)) (neg m)) (Zsucc (Zplus (neg n) (neg m)))).intro.
 555 intros.elim n1.
 556 simplify. apply refl_equal.
 557 elim e.simplify. apply refl_equal.
 558 simplify. apply refl_equal.
 559 intros. elim n1.
 560 simplify. apply refl_equal.
 561 simplify.apply refl_equal.
 562 intros.
 563 elim (Zplus_succ_pred_nn ? m1).
 564 apply refl_equal.
 565 qed.
 566
 567 theorem Zsucc_plus_np :
 568 \forall n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (neg n)) (pos m)) (Zsucc (Zplus (neg n) (pos m))).
 569 intros.
 570 apply nat_double_ind
 571 (\lambda n,m. eq Z (Zplus (Zsucc (neg n)) (pos m)) (Zsucc (Zplus (neg n) (pos m)))).
 572 intros.elim n1.
 573 simplify. apply refl_equal.
 574 elim e.simplify. apply refl_equal.
 575 simplify. apply refl_equal.
 576 intros. elim n1.
 577 simplify. apply refl_equal.
 578 simplify.apply refl_equal.
 579 intros.
 580 elim H.
 581 elim (Zplus_succ_pred_np ? (S m1)).
 582 apply refl_equal.
 583 qed.
 584
 585
 586 theorem Zsucc_plus : \forall x,y:Z. eq Z (Zplus (Zsucc x) y) (Zsucc (Zplus x y)).
 587 intros.elim x.elim y.
 588 simplify. apply refl_equal.
 589 elim (Zsucc_pos ?).apply refl_equal.
 590 simplify.apply refl_equal.
 591 elim y.elim sym_Zplus ? ?.elim sym_Zplus OZ ?.simplify.apply refl_equal.
 592 apply Zsucc_plus_nn.
 593 apply Zsucc_plus_np.
 594 elim y.
 595 elim (sym_Zplus OZ ?).apply refl_equal.
 596 apply Zsucc_plus_pn.
 597 apply Zsucc_plus_pp.
 598 qed.
 599
 600 theorem Zpred_plus : \forall x,y:Z. eq Z (Zplus (Zpred x) y) (Zpred (Zplus x y)).
 601 intros.
 602 cut eq Z (Zpred (Zplus x y)) (Zpred (Zplus (Zsucc (Zpred x)) y)).
 603 elim (sym_eq ? ? ? Hcut).
 604 elim (sym_eq ? ? ? (Zsucc_plus ? ?)).
 605 elim (sym_eq ? ? ? (Zpred_succ ?)).
 606 apply refl_equal.
 607 elim (sym_eq ? ? ? (Zsucc_pred ?)).
 608 apply refl_equal.
 609 qed.
 610
 611 theorem assoc_Zplus :
 612 \forall x,y,z:Z. eq Z (Zplus x (Zplus y z)) (Zplus (Zplus x y) z).
 613 intros.elim x.simplify.apply refl_equal.
 614 elim e.elim (Zpred_neg (Zplus y z)).
 615 elim (Zpred_neg y).
 616 elim (Zpred_plus ? ?).
 617 apply refl_equal.
 618 elim (sym_eq ? ? ? (Zpred_plus (neg e1) ?)).
 619 elim (sym_eq ? ? ? (Zpred_plus (neg e1) ?)).
 620 elim (sym_eq ? ? ? (Zpred_plus (Zplus (neg e1) y) ?)).
 621 apply f_equal.assumption.
 622 elim e.elim (Zsucc_pos ?).
 623 elim (Zsucc_pos ?).
 624 apply (sym_eq ? ? ? (Zsucc_plus ? ?)) .
 625 elim (sym_eq ? ? ? (Zsucc_plus (pos e1) ?)).
 626 elim (sym_eq ? ? ? (Zsucc_plus (pos e1) ?)).
 627 elim (sym_eq ? ? ? (Zsucc_plus (Zplus (pos e1) y) ?)).
 628 apply f_equal.assumption.
 629 qed.
 630
 631
 632