helm/software/helena/examples/exp_math/L.hln

   1 \require preamble
   2
   3 \* Intuitionistic Predicate Logic with Equality *\
   4
   5 \open elements \* [1] 2.1. 2.2. 3.1 *\
   6
   7    \decl "logical false" False: *Prop
   8
   9    \decl "logical conjunction" And: { [*Prop] [*Prop] } *Prop
  10
  11    \decl "logical disjunction" Or: { [*Prop] [*Prop] } *Prop
  12
  13 \* implication and non-dependent abstraction are isomorphic *\
  14    \def "logical implication"
  15       Imp = { [p:*Prop] [q:*Prop] } [p]^1 q : { [*Prop] [*Prop] } *Prop
  16
  17 \* comprehension and dependent abstraction are isomorphic *\
  18    \def "unrestricted logical comprehension"
  19       All = [q:[*Obj]^1 *Prop] [x:*Obj]^1 q(x) : [[*Obj]^1 *Prop] *Prop
  20
  21    \decl "unrestricted logical existence" Ex: [[*Obj]^1 *Prop] *Prop
  22
  23    \decl "syntactical identity" Id: { [*Obj] [*Obj] } *Prop
  24
  25 \close
  26
  27 \open abbreviations \* [1] 2.3. *\
  28
  29    \def "logical negation"
  30       Not = [p:*Prop] Imp(p, False) : [*Prop] *Prop
  31
  32    \def "logical equivalence"
  33       Iff = { [p:*Prop] [q:*Prop] } And(Imp(p, q), Imp(q, p)) : { [*Prop] [*Prop] } *Prop
  34
  35    \def "unrestricted strict logical existence"
  36       EX = [p:[*Obj]^1 *Prop] Ex([x:*Obj]^2 And(p(x), All([y:*Obj]^2 Imp(p(y), Id(x, y)))))
  37          : [[*Obj]^1 *Prop] *Prop
  38
  39    \def "negated syntactical identity"
  40       NId = { [x:*Obj] [y:*Obj] } Not(Id(x, y)) : { [*Obj] [*Obj] } *Prop
  41
  42 \close