helm/software/matita/contribs/CoRN-Procedural/ftc/WeakIVT.mma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "CoRN.ma".
  18
  19 (* $Id: WeakIVT.v,v 1.9 2004/04/23 10:01:01 lcf Exp $ *)
  20
  21 (*#* printing ** %\ensuremath\times% #&times;# *)
  22
  23 (* begin hide *)
  24
  25 (* NOTATION
  26 Infix "**" := prodT (at level 20).
  27 *)
  28
  29 (* end hide *)
  30
  31 include "ftc/Continuity.ma".
  32
  33 (*#* *IVT for Partial Functions
  34
  35 In general, we cannot prove the classically valid Intermediate Value
  36 Theorem for arbitrary partial functions, which states that in any
  37 interval [[a,b]], for any value [z] between [f(a)] and [f(b)]
  38 there exists $x\in[a,b]$#x&isin;[a,b]# such that [f(x) [=] z].
  39
  40 However, as is usually the case, there are some good aproximation results.  We
  41 will prove them here.
  42 *)
  43
  44 (* UNEXPORTED
  45 Section Lemma1
  46 *)
  47
  48 alias id "a" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma1/a.var".
  49
  50 alias id "b" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma1/b.var".
  51
  52 alias id "Hab" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma1/Hab.var".
  53
  54 (* begin hide *)
  55
  56 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma1/I.con" "Lemma1__" as definition.
  57
  58 (* end hide *)
  59
  60 alias id "F" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma1/F.var".
  61
  62 alias id "contF" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma1/contF.var".
  63
  64 (*#* **First Lemmas
  65
  66 %\begin{convention}% Let [a, b : IR] and [Hab : a [<=] b] and denote by [I]
  67 the interval [[a,b]].  Let [F] be a continuous function on [I].
  68 %\end{convention}%
  69
  70 We begin by proving that, if [f(a) [<] f(b)], then for every [y] in
  71 [[f(a),f(b)]] there is an $x\in[a,b]$#x&isin;[a,b]# such that [f(x)] is close
  72 enough to [z].
  73 *)
  74
  75 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Weak_IVT_ap_lft.con" as lemma.
  76
  77 (* UNEXPORTED
  78 End Lemma1
  79 *)
  80
  81 (* UNEXPORTED
  82 Section Lemma2
  83 *)
  84
  85 alias id "a" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma2/a.var".
  86
  87 alias id "b" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma2/b.var".
  88
  89 alias id "Hab" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma2/Hab.var".
  90
  91 (* begin hide *)
  92
  93 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma2/I.con" "Lemma2__" as definition.
  94
  95 (* end hide *)
  96
  97 alias id "F" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma2/F.var".
  98
  99 alias id "contF" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Lemma2/contF.var".
 100
 101 (*#*
 102 If [f(b) [<] f(a)], a similar result holds:
 103 *)
 104
 105 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/Weak_IVT_ap_rht.con" as lemma.
 106
 107 (* UNEXPORTED
 108 End Lemma2
 109 *)
 110
 111 (* UNEXPORTED
 112 Section IVT
 113 *)
 114
 115 (*#* **The IVT
 116
 117 We will now assume that [a [<] b] and that [F] is not only
 118 continuous, but also strictly increasing in [I].  Under
 119 these assumptions, we can build two sequences of values which
 120 converge to [x0] such that [f(x0) [=] z].
 121 *)
 122
 123 alias id "a" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/a.var".
 124
 125 alias id "b" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/b.var".
 126
 127 alias id "Hab'" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/Hab'.var".
 128
 129 alias id "Hab" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/Hab.var".
 130
 131 (* begin hide *)
 132
 133 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/I.con" "IVT__" as definition.
 134
 135 (* end hide *)
 136
 137 alias id "F" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/F.var".
 138
 139 alias id "contF" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/contF.var".
 140
 141 (* begin hide *)
 142
 143 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/incF.con" "IVT__" as definition.
 144
 145 (* end hide *)
 146
 147 (* begin show *)
 148
 149 alias id "incrF" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/incrF.var".
 150
 151 (* end show *)
 152
 153 (* begin hide *)
 154
 155 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/Ha.con" "IVT__" as definition.
 156
 157 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/Hb.con" "IVT__" as definition.
 158
 159 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/HFab'.con" "IVT__" as definition.
 160
 161 (* end hide *)
 162
 163 (* begin show *)
 164
 165 alias id "z" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/z.var".
 166
 167 alias id "Haz" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/Haz.var".
 168
 169 alias id "Hzb" = "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/Hzb.var".
 170
 171 (* end show *)
 172
 173 (*#* Given any two points [x [<] y] in [[a,b]] such that [x [<=] z [<=] y],
 174 we can find [x' [<] y'] such that $|x'-y'|=\frac23|x-y|$#|x'-y'|=2/3|x-y|#
 175 and [x' [<=] z [<=] y'].
 176 *)
 177
 178 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT_seq_lemma.con" as lemma.
 179
 180 (* end hide *)
 181
 182 (*#*
 183 We now iterate this construction.
 184 *)
 185
 186 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT_aux_seq_type.ind".
 187
 188 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT_iter.con" as definition.
 189
 190 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT_seq.con" as definition.
 191
 192 (*#*
 193 We now define the sequences built from this iteration, starting with [a] and [b].
 194 *)
 195
 196 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq.con" as definition.
 197
 198 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/b_seq.con" as definition.
 199
 200 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_I.con" as definition.
 201
 202 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/b_seq_I.con" as definition.
 203
 204 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_less_b_seq.con" as lemma.
 205
 206 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_leEq_z.con" as lemma.
 207
 208 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/z_leEq_b_seq.con" as lemma.
 209
 210 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_mon.con" as lemma.
 211
 212 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/b_seq_mon.con" as lemma.
 213
 214 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_b_seq_dist_n.con" as lemma.
 215
 216 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_b_seq_dist.con" as lemma.
 217
 218 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_Cauchy.con" as lemma.
 219
 220 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/b_seq_Cauchy.con" as lemma.
 221
 222 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/xa.con" "IVT__" as definition.
 223
 224 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT/xb.con" "IVT__" as definition.
 225
 226 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/a_seq_b_seq_lim.con" as lemma.
 227
 228 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/xa_in_interval.con" as lemma.
 229
 230 inline procedural "cic:/CoRN/ftc/WeakIVT/IVT_I.con" as lemma.
 231
 232 (* UNEXPORTED
 233 End IVT
 234 *)
 235