helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Base-1/ext/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Base-1/ext/arith".
  18
  19 include "preamble.ma".
  20
  21 theorem nat_dec:
  22  \forall (n1: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat n1 n2) ((eq nat n1 n2) \to
  23 (\forall (P: Prop).P))))
  24 \def
  25  \lambda (n1: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat
  26 n n2) ((eq nat n n2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n2:
  27 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or (eq nat O n) ((eq nat O n) \to (\forall
  28 (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat O O) ((eq nat O O) \to (\forall (P:
  29 Prop).P)) (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (eq nat O n)
  30 ((eq nat O n) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq nat O (S n)) ((eq
  31 nat O (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0: (eq nat O (S
  32 n))).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
  33 ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _)
  34 \Rightarrow False])) I (S n) H0) in (False_ind P H1))))))) n2)) (\lambda (n:
  35 nat).(\lambda (H: ((\forall (n2: nat).(or (eq nat n n2) ((eq nat n n2) \to
  36 (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (n2: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or
  37 (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror
  38 (eq nat (S n) O) ((eq nat (S n) O) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0:
  39 (eq nat (S n) O)).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda
  40 (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
  41 False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind P H1))))) (\lambda
  42 (n0: nat).(\lambda (H0: (or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall
  43 (P: Prop).P)))).(or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  44 Prop).P)) (or (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to (\forall (P:
  45 Prop).P))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0
  46 (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) n3) ((eq nat (S n) n3) \to (\forall (P:
  47 Prop).P)))) H0 n H1) in (eq_ind nat n (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) (S
  48 n3)) ((eq nat (S n) (S n3)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat
  49 (S n) (S n)) ((eq nat (S n) (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal nat
  50 (S n))) n0 H1))) (\lambda (H1: (((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  51 Prop).P)))).(or_intror (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to
  52 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H2: (eq nat (S n) (S n0))).(\lambda (P:
  53 Prop).(let H3 \def (f_equal nat nat (\lambda (e: nat).(match e in nat return
  54 (\lambda (_: nat).nat) with [O \Rightarrow n | (S n3) \Rightarrow n3])) (S n)
  55 (S n0) H2) in (let H4 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n3: nat).((eq nat n n3)
  56 \to (\forall (P0: Prop).P0))) H1 n H3) in (let H5 \def (eq_ind_r nat n0
  57 (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) n3) ((eq nat (S n) n3) \to (\forall (P0:
  58 Prop).P0)))) H0 n H3) in (H4 (refl_equal nat n) P)))))))) (H n0)))) n2))))
  59 n1).
  60
  61 theorem simpl_plus_r:
  62  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat (plus m n)
  63 (plus p n)) \to (eq nat m p))))
  64 \def
  65  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (eq nat
  66 (plus m n) (plus p n))).(plus_reg_l n m p (eq_ind_r nat (plus m n) (\lambda
  67 (n0: nat).(eq nat n0 (plus n p))) (eq_ind_r nat (plus p n) (\lambda (n0:
  68 nat).(eq nat n0 (plus n p))) (sym_eq nat (plus n p) (plus p n) (plus_comm n
  69 p)) (plus m n) H) (plus n m) (plus_comm n m)))))).
  70
  71 theorem minus_Sx_Sy:
  72  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (S x) (S y)) (minus x y)))
  73 \def
  74  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (minus x y))).
  75
  76 theorem minus_plus_r:
  77  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(eq nat (minus (plus m n) n) m))
  78 \def
  79  \lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (plus n m) (\lambda (n0:
  80 nat).(eq nat (minus n0 n) m)) (minus_plus n m) (plus m n) (plus_comm m n))).
  81
  82 theorem plus_permute_2_in_3:
  83  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).(eq nat (plus (plus x
  84 y) z) (plus (plus x z) y))))
  85 \def
  86  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(eq_ind_r nat (plus x
  87 (plus y z)) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y))) (eq_ind_r nat
  88 (plus z y) (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x n) (plus (plus x z) y))) (eq_ind
  89 nat (plus (plus x z) y) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y)))
  90 (refl_equal nat (plus (plus x z) y)) (plus x (plus z y)) (plus_assoc_reverse
  91 x z y)) (plus y z) (plus_comm y z)) (plus (plus x y) z) (plus_assoc_reverse x
  92 y z)))).
  93
  94 theorem plus_permute_2_in_3_assoc:
  95  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(eq nat (plus (plus n
  96 h) k) (plus n (plus k h)))))
  97 \def
  98  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(eq_ind_r nat (plus
  99 (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (plus n (plus k h)))) (eq_ind_r
 100 nat (plus (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat (plus (plus n k) h) n0))
 101 (refl_equal nat (plus (plus n k) h)) (plus n (plus k h)) (plus_assoc n k h))
 102 (plus (plus n h) k) (plus_permute_2_in_3 n h k)))).
 103
 104 theorem plus_O:
 105  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus x y) O) \to (land (eq nat
 106 x O) (eq nat y O))))
 107 \def
 108  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus
 109 n y) O) \to (land (eq nat n O) (eq nat y O))))) (\lambda (y: nat).(\lambda
 110 (H: (eq nat (plus O y) O)).(conj (eq nat O O) (eq nat y O) (refl_equal nat O)
 111 H))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (y: nat).((eq nat (plus n y) O)
 112 \to (land (eq nat n O) (eq nat y O)))))).(\lambda (y: nat).(\lambda (H0: (eq
 113 nat (plus (S n) y) O)).(let H1 \def (match H0 in eq return (\lambda (n0:
 114 nat).(\lambda (_: (eq ? ? n0)).((eq nat n0 O) \to (land (eq nat (S n) O) (eq
 115 nat y O))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (plus (S n)
 116 y) O)).(let H2 \def (eq_ind nat (plus (S n) y) (\lambda (e: nat).(match e in
 117 nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 118 \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (land (eq nat (S n) O) (eq nat y
 119 O)) H2)))]) in (H1 (refl_equal nat O))))))) x).
 120
 121 theorem minus_Sx_SO:
 122  \forall (x: nat).(eq nat (minus (S x) (S O)) x)
 123 \def
 124  \lambda (x: nat).(eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat n x)) (refl_equal
 125 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)).
 126
 127 theorem eq_nat_dec:
 128  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq nat i j)) (eq nat i j)))
 129 \def
 130  \lambda (i: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq
 131 nat n j)) (eq nat n j)))) (\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or
 132 (not (eq nat O n)) (eq nat O n))) (or_intror (not (eq nat O O)) (eq nat O O)
 133 (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (not (eq nat O n)) (eq
 134 nat O n))).(or_introl (not (eq nat O (S n))) (eq nat O (S n)) (O_S n)))) j))
 135 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (j: nat).(or (not (eq nat n j)) (eq
 136 nat n j))))).(\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or (not (eq nat
 137 (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))) (or_introl (not (eq nat (S n) O)) (eq nat (S
 138 n) O) (sym_not_eq nat O (S n) (O_S n))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (or
 139 (not (eq nat (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))).(or_ind (not (eq nat n n0)) (eq
 140 nat n n0) (or (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0))) (\lambda
 141 (H1: (not (eq nat n n0))).(or_introl (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S
 142 n) (S n0)) (not_eq_S n n0 H1))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(or_intror (not
 143 (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0)) (f_equal nat nat S n n0 H1))) (H
 144 n0)))) j)))) i).
 145
 146 theorem neq_eq_e:
 147  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(\forall (P: Prop).((((not (eq nat i j))
 148 \to P)) \to ((((eq nat i j) \to P)) \to P))))
 149 \def
 150  \lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((not
 151 (eq nat i j)) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat i j) \to P))).(let o \def
 152 (eq_nat_dec i j) in (or_ind (not (eq nat i j)) (eq nat i j) P H H0 o)))))).
 153
 154 theorem le_false:
 155  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(\forall (P: Prop).((le m n) \to ((le (S
 156 n) m) \to P))))
 157 \def
 158  \lambda (m: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).(\forall (P:
 159 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (P:
 160 Prop).(\lambda (_: (le O n)).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(let H1 \def (match
 161 H0 in le return (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le ? n0)).((eq nat n0 O) \to
 162 P))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S n) O)).(let H2 \def
 163 (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_:
 164 nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in
 165 (False_ind P H2))) | (le_S m0 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m0)
 166 O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m0) (\lambda (e: nat).(match e in nat return
 167 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True]))
 168 I O H2) in (False_ind ((le (S n) m0) \to P) H3)) H1))]) in (H1 (refl_equal
 169 nat O))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (n0: nat).(\forall (P:
 170 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P)))))).(\lambda (n0: nat).(nat_ind
 171 (\lambda (n1: nat).(\forall (P: Prop).((le (S n) n1) \to ((le (S n1) (S n))
 172 \to P)))) (\lambda (P: Prop).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(\lambda (_: (le (S
 173 O) (S n))).(let H2 \def (match H0 in le return (\lambda (n1: nat).(\lambda
 174 (_: (le ? n1)).((eq nat n1 O) \to P))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H2:
 175 (eq nat (S n) O)).(let H3 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e
 176 in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 177 \Rightarrow True])) I O H2) in (False_ind P H3))) | (le_S m0 H2) \Rightarrow
 178 (\lambda (H3: (eq nat (S m0) O)).((let H4 \def (eq_ind nat (S m0) (\lambda
 179 (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
 180 False | (S _) \Rightarrow True])) I O H3) in (False_ind ((le (S n) m0) \to P)
 181 H4)) H2))]) in (H2 (refl_equal nat O)))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_:
 182 ((\forall (P: Prop).((le (S n) n1) \to ((le (S n1) (S n)) \to P))))).(\lambda
 183 (P: Prop).(\lambda (H1: (le (S n) (S n1))).(\lambda (H2: (le (S (S n1)) (S
 184 n))).(H n1 P (le_S_n n n1 H1) (le_S_n (S n1) n H2))))))) n0)))) m).
 185
 186 theorem le_Sx_x:
 187  \forall (x: nat).((le (S x) x) \to (\forall (P: Prop).P))
 188 \def
 189  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) x)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 190 le_Sn_n in (False_ind P (H0 x H))))).
 191
 192 theorem le_n_pred:
 193  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (le (pred n) (pred m))))
 194 \def
 195  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 196 (n0: nat).(le (pred n) (pred n0))) (le_n (pred n)) (\lambda (m0:
 197 nat).(\lambda (_: (le n m0)).(\lambda (H1: (le (pred n) (pred m0))).(le_trans
 198 (pred n) (pred m0) m0 H1 (le_pred_n m0))))) m H))).
 199
 200 theorem minus_le:
 201  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(le (minus x y) x))
 202 \def
 203  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).(le (minus n
 204 y) n))) (\lambda (_: nat).(le_n O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall
 205 (y: nat).(le (minus n y) n)))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 206 nat).(le (minus (S n) n0) (S n))) (le_n (S n)) (\lambda (n0: nat).(\lambda
 207 (_: (le (match n0 with [O \Rightarrow (S n) | (S l) \Rightarrow (minus n l)])
 208 (S n))).(le_S (minus n n0) n (H n0)))) y)))) x).
 209
 210 theorem le_plus_minus_sym:
 211  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (eq nat m (plus (minus m n)
 212 n))))
 213 \def
 214  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(eq_ind_r nat
 215 (plus n (minus m n)) (\lambda (n0: nat).(eq nat m n0)) (le_plus_minus n m H)
 216 (plus (minus m n) n) (plus_comm (minus m n) n)))).
 217
 218 theorem le_minus_minus:
 219  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (\forall (z: nat).((le y z)
 220 \to (le (minus y x) (minus z x))))))
 221 \def
 222  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (z:
 223 nat).(\lambda (H0: (le y z)).(plus_le_reg_l x (minus y x) (minus z x)
 224 (eq_ind_r nat y (\lambda (n: nat).(le n (plus x (minus z x)))) (eq_ind_r nat
 225 z (\lambda (n: nat).(le y n)) H0 (plus x (minus z x)) (le_plus_minus_r x z
 226 (le_trans x y z H H0))) (plus x (minus y x)) (le_plus_minus_r x y H))))))).
 227
 228 theorem le_minus_plus:
 229  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).((le z x) \to (\forall (y: nat).(eq nat
 230 (minus (plus x y) z) (plus (minus x z) y)))))
 231 \def
 232  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((le n x) \to
 233 (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) n) (plus (minus x n) y))))))
 234 (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le O x)).(let H0 \def (match H in le return
 235 (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n x) \to (\forall (y:
 236 nat).(eq nat (minus (plus x y) O) (plus (minus x O) y)))))) with [le_n
 237 \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat O x)).(eq_ind nat O (\lambda (n:
 238 nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))
 239 (\lambda (y: nat).(sym_eq nat (plus (minus O O) y) (minus (plus O y) O)
 240 (minus_n_O (plus O y)))) x H0)) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq
 241 nat (S m) x)).(eq_ind nat (S m) (\lambda (n: nat).((le O m) \to (\forall (y:
 242 nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))) (\lambda (_: (le O
 243 m)).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (plus (minus (S m) O) y)))) x H1 H0))])
 244 in (H0 (refl_equal nat x))))) (\lambda (z0: nat).(\lambda (H: ((\forall (x:
 245 nat).((le z0 x) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) z0) (plus
 246 (minus x z0) y))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((le (S
 247 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 248 (S z0)) y))))) (\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (y: nat).(let H1 \def
 249 (match H0 in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O)
 250 \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y))))) with
 251 [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S z0) O)).(let H2 \def (eq_ind nat
 252 (S z0) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with
 253 [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (eq
 254 nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y)) H2))) | (le_S m H1)
 255 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m) O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m)
 256 (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 257 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H2) in (False_ind ((le (S
 258 z0) m) \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y))) H3))
 259 H1))]) in (H1 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((le (S
 260 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 261 (S z0)) y)))))).(\lambda (H1: (le (S z0) (S n))).(\lambda (y: nat).(H n
 262 (le_S_n z0 n H1) y))))) x)))) z).
 263
 264 theorem le_minus:
 265  \forall (x: nat).(\forall (z: nat).(\forall (y: nat).((le (plus x y) z) \to
 266 (le x (minus z y)))))
 267 \def
 268  \lambda (x: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (plus
 269 x y) z)).(eq_ind nat (minus (plus x y) y) (\lambda (n: nat).(le n (minus z
 270 y))) (le_minus_minus y (plus x y) (le_plus_r x y) z H) x (minus_plus_r x
 271 y))))).
 272
 273 theorem le_trans_plus_r:
 274  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).((le (plus x y) z) \to
 275 (le y z))))
 276 \def
 277  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (H: (le (plus
 278 x y) z)).(le_trans y (plus x y) z (le_plus_r x y) H)))).
 279
 280 theorem lt_x_O:
 281  \forall (x: nat).((lt x O) \to (\forall (P: Prop).P))
 282 \def
 283  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) O)).(\lambda (P: Prop).(let H_y \def
 284 (le_n_O_eq (S x) H) in (let H0 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
 285 ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _)
 286 \Rightarrow False])) I (S x) H_y) in (False_ind P H0))))).
 287
 288 theorem le_gen_S:
 289  \forall (m: nat).(\forall (x: nat).((le (S m) x) \to (ex2 nat (\lambda (n:
 290 nat).(eq nat x (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)))))
 291 \def
 292  \lambda (m: nat).(\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S m) x)).(let H0 \def
 293 (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n x)
 294 \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat x (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m
 295 n0)))))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S m) x)).(eq_ind nat
 296 (S m) (\lambda (n: nat).(ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat n (S n0)))
 297 (\lambda (n0: nat).(le m n0)))) (ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S
 298 m) (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)) m (refl_equal nat (S m)) (le_n m)) x
 299 H0)) | (le_S m0 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S m0) x)).(eq_ind nat
 300 (S m0) (\lambda (n: nat).((le (S m) m0) \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq
 301 nat n (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m n0))))) (\lambda (H2: (le (S m)
 302 m0)).(ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S m0) (S n))) (\lambda (n:
 303 nat).(le m n)) m0 (refl_equal nat (S m0)) (le_S_n m m0 (le_S (S m) m0 H2))))
 304 x H1 H0))]) in (H0 (refl_equal nat x))))).
 305
 306 theorem lt_x_plus_x_Sy:
 307  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(lt x (plus x (S y))))
 308 \def
 309  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(eq_ind_r nat (plus (S y) x) (\lambda (n:
 310 nat).(lt x n)) (le_S_n (S x) (S (plus y x)) (le_n_S (S x) (S (plus y x))
 311 (le_n_S x (plus y x) (le_plus_r y x)))) (plus x (S y)) (plus_comm x (S y)))).
 312
 313 theorem simpl_lt_plus_r:
 314  \forall (p: nat).(\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt (plus n p) (plus m
 315 p)) \to (lt n m))))
 316 \def
 317  \lambda (p: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt (plus
 318 n p) (plus m p))).(plus_lt_reg_l n m p (let H0 \def (eq_ind nat (plus n p)
 319 (\lambda (n0: nat).(lt n0 (plus m p))) H (plus p n) (plus_comm n p)) in (let
 320 H1 \def (eq_ind nat (plus m p) (\lambda (n0: nat).(lt (plus p n) n0)) H0
 321 (plus p m) (plus_comm m p)) in H1)))))).
 322
 323 theorem minus_x_Sy:
 324  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt y x) \to (eq nat (minus x y) (S
 325 (minus x (S y))))))
 326 \def
 327  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((lt y n) \to
 328 (eq nat (minus n y) (S (minus n (S y))))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H:
 329 (lt y O)).(let H0 \def (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_:
 330 (le ? n)).((eq nat n O) \to (eq nat (minus O y) (S (minus O (S y))))))) with
 331 [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S y) O)).(let H1 \def (eq_ind nat (S
 332 y) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 333 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind (eq nat
 334 (minus O y) (S (minus O (S y)))) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda
 335 (H1: (eq nat (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e:
 336 nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False
 337 | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind ((le (S y) m) \to (eq nat
 338 (minus O y) (S (minus O (S y))))) H2)) H0))]) in (H0 (refl_equal nat O)))))
 339 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (y: nat).((lt y n) \to (eq nat
 340 (minus n y) (S (minus n (S y)))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 341 nat).((lt n0 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S n) (S n0))))))
 342 (\lambda (_: (lt O (S n))).(eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(eq nat (S n) (S
 343 n0))) (refl_equal nat (S n)) (minus n O) (minus_n_O n))) (\lambda (n0:
 344 nat).(\lambda (_: (((lt n0 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S
 345 n) (S n0))))))).(\lambda (H1: (lt (S n0) (S n))).(let H2 \def (le_S_n (S n0)
 346 n H1) in (H n0 H2))))) y)))) x).
 347
 348 theorem lt_plus_minus:
 349  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus x (minus
 350 y (S x)))))))
 351 \def
 352  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_plus_minus (S
 353 x) y H))).
 354
 355 theorem lt_plus_minus_r:
 356  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus (minus y
 357 (S x)) x)))))
 358 \def
 359  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(eq_ind_r nat
 360 (plus x (minus y (S x))) (\lambda (n: nat).(eq nat y (S n))) (lt_plus_minus x
 361 y H) (plus (minus y (S x)) x) (plus_comm (minus y (S x)) x)))).
 362
 363 theorem minus_x_SO:
 364  \forall (x: nat).((lt O x) \to (eq nat x (S (minus x (S O)))))
 365 \def
 366  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt O x)).(eq_ind nat (minus x O) (\lambda (n:
 367 nat).(eq nat x n)) (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) (refl_equal
 368 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)) (S (minus x (S O))) (minus_x_Sy x O H))).
 369
 370 theorem le_x_pred_y:
 371  \forall (y: nat).(\forall (x: nat).((lt x y) \to (le x (pred y))))
 372 \def
 373  \lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((lt x n) \to
 374 (le x (pred n))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt x O)).(let H0 \def
 375 (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O)
 376 \to (le x O)))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S x) O)).(let
 377 H1 \def (eq_ind nat (S x) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda
 378 (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0)
 379 in (False_ind (le x O) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat
 380 (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e: nat).(match e in nat
 381 return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 382 True])) I O H1) in (False_ind ((le (S x) m) \to (le x O)) H2)) H0))]) in (H0
 383 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (x: nat).((lt
 384 x n) \to (le x (pred n)))))).(\lambda (x: nat).(\lambda (H0: (lt x (S
 385 n))).(le_S_n x n H0))))) y).
 386
 387 theorem lt_le_minus:
 388  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (le x (minus y (S O)))))
 389 \def
 390  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_minus x y (S
 391 O) (eq_ind_r nat (plus (S O) x) (\lambda (n: nat).(le n y)) H (plus x (S O))
 392 (plus_comm x (S O)))))).
 393
 394 theorem lt_le_e:
 395  \forall (n: nat).(\forall (d: nat).(\forall (P: Prop).((((lt n d) \to P))
 396 \to ((((le d n) \to P)) \to P))))
 397 \def
 398  \lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt n
 399 d) \to P))).(\lambda (H0: (((le d n) \to P))).(let H1 \def (le_or_lt d n) in
 400 (or_ind (le d n) (lt n d) P H0 H H1)))))).
 401
 402 theorem lt_eq_e:
 403  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 404 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((le x y) \to P)))))
 405 \def
 406  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 407 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (le x
 408 y)).(or_ind (lt x y) (eq nat x y) P H H0 (le_lt_or_eq x y H1))))))).
 409
 410 theorem lt_eq_gt_e:
 411  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 412 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((((lt y x) \to P)) \to P)))))
 413 \def
 414  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 415 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (((lt y x)
 416 \to P))).(lt_le_e x y P H (\lambda (H2: (le y x)).(lt_eq_e y x P H1 (\lambda
 417 (H3: (eq nat y x)).(H0 (sym_eq nat y x H3))) H2)))))))).
 418
 419 theorem lt_gen_xS:
 420  \forall (x: nat).(\forall (n: nat).((lt x (S n)) \to (or (eq nat x O) (ex2
 421 nat (\lambda (m: nat).(eq nat x (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n))))))
 422 \def
 423  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((lt n (S
 424 n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat n (S m)))
 425 (\lambda (m: nat).(lt m n0))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (lt O (S
 426 n))).(or_introl (eq nat O O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat O (S m)))
 427 (\lambda (m: nat).(lt m n))) (refl_equal nat O)))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 428 (_: ((\forall (n0: nat).((lt n (S n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda
 429 (m: nat).(eq nat n (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))))))).(\lambda (n0:
 430 nat).(\lambda (H0: (lt (S n) (S n0))).(or_intror (eq nat (S n) O) (ex2 nat
 431 (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))
 432 (ex_intro2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt
 433 m n0)) n (refl_equal nat (S n)) (le_S_n (S n) n0 H0))))))) x).
 434
 435 theorem le_lt_false:
 436  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to ((lt y x) \to (\forall (P:
 437 Prop).P))))
 438 \def
 439  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (H0: (lt
 440 y x)).(\lambda (P: Prop).(False_ind P (le_not_lt x y H H0)))))).
 441
 442 theorem lt_neq:
 443  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (not (eq nat x y))))
 444 \def
 445  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(\lambda (H0: (eq
 446 nat x y)).(let H1 \def (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(lt n y)) H y H0) in
 447 (lt_irrefl y H1))))).
 448
 449 theorem arith0:
 450  \forall (h2: nat).(\forall (d2: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d2 h2) n)
 451 \to (\forall (h1: nat).(le (plus d2 h1) (minus (plus n h1) h2))))))
 452 \def
 453  \lambda (h2: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le
 454 (plus d2 h2) n)).(\lambda (h1: nat).(eq_ind nat (minus (plus h2 (plus d2 h1))
 455 h2) (\lambda (n0: nat).(le n0 (minus (plus n h1) h2))) (le_minus_minus h2
 456 (plus h2 (plus d2 h1)) (le_plus_l h2 (plus d2 h1)) (plus n h1) (eq_ind_r nat
 457 (plus (plus h2 d2) h1) (\lambda (n0: nat).(le n0 (plus n h1))) (eq_ind_r nat
 458 (plus d2 h2) (\lambda (n0: nat).(le (plus n0 h1) (plus n h1))) (le_S_n (plus
 459 (plus d2 h2) h1) (plus n h1) (le_n_S (plus (plus d2 h2) h1) (plus n h1)
 460 (plus_le_compat (plus d2 h2) n h1 h1 H (le_n h1)))) (plus h2 d2) (plus_comm
 461 h2 d2)) (plus h2 (plus d2 h1)) (plus_assoc h2 d2 h1))) (plus d2 h1)
 462 (minus_plus h2 (plus d2 h1))))))).
 463
 464 theorem O_minus:
 465  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (eq nat (minus x y) O)))
 466 \def
 467  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le n y) \to
 468 (eq nat (minus n y) O)))) (\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 469 y)).(refl_equal nat O))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H: ((\forall (y:
 470 nat).((le x0 y) \to (eq nat (minus x0 y) O))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind
 471 (\lambda (n: nat).((le (S x0) n) \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S
 472 x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0 l)]) O))) (\lambda (H0: (le (S x0)
 473 O)).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le x0
 474 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H1: (eq nat O (S
 475 x1))).(\lambda (_: (le x0 x1)).(let H3 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 476 nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True
 477 | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1) H1) in (False_ind (eq nat (S x0) O)
 478 H3))))) (le_gen_S x0 O H0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((le (S x0) n)
 479 \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0
 480 l)]) O)))).(\lambda (H1: (le (S x0) (S n))).(H n (le_S_n x0 n H1))))) y))))
 481 x).
 482
 483 theorem minus_minus:
 484  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z x) \to ((le z y)
 485 \to ((eq nat (minus x z) (minus y z)) \to (eq nat x y))))))
 486 \def
 487  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y:
 488 nat).((le n x) \to ((le n y) \to ((eq nat (minus x n) (minus y n)) \to (eq
 489 nat x y))))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 490 x)).(\lambda (_: (le O y)).(\lambda (H1: (eq nat (minus x O) (minus y
 491 O))).(let H2 \def (eq_ind_r nat (minus x O) (\lambda (n: nat).(eq nat n
 492 (minus y O))) H1 x (minus_n_O x)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (minus y O)
 493 (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) H2 y (minus_n_O y)) in H3))))))) (\lambda
 494 (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z0 x) \to
 495 ((le z0 y) \to ((eq nat (minus x z0) (minus y z0)) \to (eq nat x
 496 y)))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le
 497 (S z0) n) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus n (S z0)) (minus y (S z0)))
 498 \to (eq nat n y)))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (S z0) O)).(\lambda
 499 (_: (le (S z0) y)).(\lambda (_: (eq nat (minus O (S z0)) (minus y (S
 500 z0)))).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le
 501 z0 n)) (eq nat O y) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H2: (eq nat O (S
 502 x0))).(\lambda (_: (le z0 x0)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 503 nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True
 504 | (S _) \Rightarrow False])) I (S x0) H2) in (False_ind (eq nat O y) H4)))))
 505 (le_gen_S z0 O H)))))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (_: ((\forall (y:
 506 nat).((le (S z0) x0) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus x0 (S z0)) (minus
 507 y (S z0))) \to (eq nat x0 y))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 508 nat).((le (S z0) (S x0)) \to ((le (S z0) n) \to ((eq nat (minus (S x0) (S
 509 z0)) (minus n (S z0))) \to (eq nat (S x0) n))))) (\lambda (_: (le (S z0) (S
 510 x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (_: (eq nat (minus (S x0) (S z0))
 511 (minus O (S z0)))).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda
 512 (n: nat).(le z0 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H2: (eq
 513 nat O (S x1))).(\lambda (_: (le z0 x1)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda
 514 (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
 515 True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1) H2) in (False_ind (eq nat (S x0)
 516 O) H4))))) (le_gen_S z0 O H0))))) (\lambda (y0: nat).(\lambda (_: (((le (S
 517 z0) (S x0)) \to ((le (S z0) y0) \to ((eq nat (minus (S x0) (S z0)) (minus y0
 518 (S z0))) \to (eq nat (S x0) y0)))))).(\lambda (H: (le (S z0) (S
 519 x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) (S y0))).(\lambda (H1: (eq nat (minus (S x0)
 520 (S z0)) (minus (S y0) (S z0)))).(f_equal nat nat S x0 y0 (IH x0 y0 (le_S_n z0
 521 x0 H) (le_S_n z0 y0 H0) H1))))))) y)))) x)))) z).
 522
 523 theorem plus_plus:
 524  \forall (z: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1:
 525 nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z) \to ((le x2 z) \to ((eq nat (plus (minus z
 526 x1) y1) (plus (minus z x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2) (plus x2 y1)))))))))
 527 \def
 528  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 529 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 n) \to ((le x2 n) \to ((eq
 530 nat (plus (minus n x1) y1) (plus (minus n x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2)
 531 (plus x2 y1)))))))))) (\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (y1:
 532 nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le x1 O)).(\lambda (H0: (le x2
 533 O)).(\lambda (H1: (eq nat y1 y2)).(eq_ind nat y1 (\lambda (n: nat).(eq nat
 534 (plus x1 n) (plus x2 y1))) (let H_y \def (le_n_O_eq x2 H0) in (eq_ind nat O
 535 (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x1 y1) (plus n y1))) (let H_y0 \def
 536 (le_n_O_eq x1 H) in (eq_ind nat O (\lambda (n: nat).(eq nat (plus n y1) (plus
 537 O y1))) (refl_equal nat (plus O y1)) x1 H_y0)) x2 H_y)) y2 H1))))))))
 538 (\lambda (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 539 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z0) \to ((le x2 z0) \to
 540 ((eq nat (plus (minus z0 x1) y1) (plus (minus z0 x2) y2)) \to (eq nat (plus
 541 x1 y2) (plus x2 y1))))))))))).(\lambda (x1: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 542 nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le n (S z0))
 543 \to ((le x2 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) n) y1) (plus (minus (S
 544 z0) x2) y2)) \to (eq nat (plus n y2) (plus x2 y1))))))))) (\lambda (x2:
 545 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le O
 546 (S z0)) \to ((le n (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) O) y1) (plus
 547 (minus (S z0) n) y2)) \to (eq nat (plus O y2) (plus n y1)))))))) (\lambda
 548 (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (_: (le O
 549 (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (S (plus z0 y2)))).(let H_y
 550 \def (IH O O) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 551 nat).(\forall (y3: nat).(\forall (y4: nat).((le O z0) \to ((le O z0) \to ((eq
 552 nat (plus n y3) (plus n y4)) \to (eq nat y4 y3))))))) H_y z0 (minus_n_O z0))
 553 in (H2 y1 y2 (le_O_n z0) (le_O_n z0) (eq_add_S (plus z0 y1) (plus z0 y2)
 554 H1))))))))) (\lambda (x3: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall (y2:
 555 nat).((le O (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat (S (plus z0 y1)) (plus
 556 (match x3 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow (minus z0 l)]) y2))
 557 \to (eq nat y2 (plus x3 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2:
 558 nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (H0: (le (S x3) (S z0))).(\lambda
 559 (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y2))).(let H_y \def (IH O
 560 x3 (S y1)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 561 nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (plus n (S
 562 y1)) (plus (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 (plus x3 (S y1)))))))) H_y z0
 563 (minus_n_O z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y1)) (\lambda (n:
 564 nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat n (plus
 565 (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 (plus x3 (S y1)))))))) H2 (S (plus z0 y1))
 566 (plus_n_Sm z0 y1)) in (let H4 \def (eq_ind_r nat (plus x3 (S y1)) (\lambda
 567 (n: nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (S (plus
 568 z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 n)))))) H3 (S (plus x3 y1))
 569 (plus_n_Sm x3 y1)) in (H4 y2 (le_O_n z0) (le_S_n x3 z0 H0) H1))))))))))))
 570 x2)) (\lambda (x2: nat).(\lambda (_: ((\forall (x3: nat).(\forall (y1:
 571 nat).(\forall (y2: nat).((le x2 (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat
 572 (plus (minus (S z0) x2) y1) (plus (minus (S z0) x3) y2)) \to (eq nat (plus x2
 573 y2) (plus x3 y1)))))))))).(\lambda (x3: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 574 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le n (S
 575 z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) (S x2)) y1) (plus (minus (S z0) n) y2))
 576 \to (eq nat (plus (S x2) y2) (plus n y1)))))))) (\lambda (y1: nat).(\lambda
 577 (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S z0))).(\lambda (_: (le O (S
 578 z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2)))).(let
 579 H_y \def (IH x2 O y1 (S y2)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O)
 580 (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2)
 581 y1) (plus n (S y2))) \to (eq nat (plus x2 (S y2)) y1))))) H_y z0 (minus_n_O
 582 z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2
 583 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) n) \to (eq nat (plus
 584 x2 (S y2)) y1))))) H2 (S (plus z0 y2)) (plus_n_Sm z0 y2)) in (let H4 \def
 585 (eq_ind_r nat (plus x2 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0)
 586 \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2))) \to (eq nat n y1)))))
 587 H3 (S (plus x2 y2)) (plus_n_Sm x2 y2)) in (H4 (le_S_n x2 z0 H) (le_O_n z0)
 588 H1)))))))))) (\lambda (x4: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall
 589 (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le x4 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus
 590 z0 x2) y1) (plus (match x4 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow
 591 (minus z0 l)]) y2)) \to (eq nat (S (plus x2 y2)) (plus x4
 592 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S
 593 z0))).(\lambda (H0: (le (S x4) (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0
 594 x2) y1) (plus (minus z0 x4) y2))).(f_equal nat nat S (plus x2 y2) (plus x4
 595 y1) (IH x2 x4 y1 y2 (le_S_n x2 z0 H) (le_S_n x4 z0 H0) H1))))))))) x3))))
 596 x1)))) z).
 597
 598 theorem le_S_minus:
 599  \forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d h) n) \to
 600 (le d (S (minus n h))))))
 601 \def
 602  \lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le (plus
 603 d h) n)).(let H0 \def (le_trans d (plus d h) n (le_plus_l d h) H) in (let H1
 604 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le d n0)) H0 (plus (minus n h) h)
 605 (le_plus_minus_sym h n (le_trans h (plus d h) n (le_plus_r d h) H))) in (le_S
 606 d (minus n h) (le_minus d n h H))))))).
 607
 608 theorem lt_x_pred_y:
 609  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x (pred y)) \to (lt (S x) y)))
 610 \def
 611  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((lt x (pred
 612 n)) \to (lt (S x) n))) (\lambda (H: (lt x O)).(lt_x_O x H (lt (S x) O)))
 613 (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((lt x (pred n)) \to (lt (S x) n)))).(\lambda
 614 (H0: (lt x n)).(le_S_n (S (S x)) (S n) (le_n_S (S (S x)) (S n) (le_n_S (S x)
 615 n H0)))))) y)).
 616