helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/arity/aprem.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/arity/props.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/arity/cimp.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/aprem/props.ma".
  22
  23 include "LambdaDelta-1/aprem/fwd.ma".
  24
  25 theorem arity_aprem:
  26  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c t
  27 a) \to (\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a b) \to (ex2_3 C T nat
  28 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c))))
  29 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  30 b)))))))))))))
  31 \def
  32  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  33 (arity g c t a)).(arity_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a0:
  34 A).(\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a0 b) \to (ex2_3 C T nat
  35 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
  36 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  37 b)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda
  38 (b: A).(\lambda (H0: (aprem i (ASort O n) b)).(let H_x \def (aprem_gen_sort b
  39 i O n H0) in (let H1 \def H_x in (False_ind (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
  40 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d:
  41 C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g b)))))) H1))))))))
  42 (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  43 (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_:
  44 (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall (i0: nat).(\forall (b: A).((aprem
  45 i0 a0 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  46 nat).(drop (plus i0 j) O d0 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  47 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i0: nat).(\lambda (b:
  48 A).(\lambda (H3: (aprem i0 a0 b)).(let H_x \def (H2 i0 b H3) in (let H4 \def
  49 H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  50 nat).(drop (plus i0 j) O d0 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  51 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
  52 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda
  53 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
  54 (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H5: (drop
  55 (plus i0 x2) O x0 d)).(\lambda (H6: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(let H_x0
  56 \def (getl_drop_conf_rev (plus i0 x2) x0 d H5 Abbr c0 u i H0) in (let H7 \def
  57 H_x0 in (ex2_ind C (\lambda (c1: C).(drop (plus i0 x2) O c1 c0)) (\lambda
  58 (c1: C).(drop (S i) (plus i0 x2) c1 x0)) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
  59 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda
  60 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
  61 (\lambda (x: C).(\lambda (H8: (drop (plus i0 x2) O x c0)).(\lambda (H9: (drop
  62 (S i) (plus i0 x2) x x0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_:
  63 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda
  64 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x (lift (S i) (plus
  65 i0 x2) x1) x2 H8 (arity_lift g x0 x1 (asucc g b) H6 x (S i) (plus i0 x2)
  66 H9))))) H7)))))))) H4)))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda
  67 (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abst)
  68 u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u (asucc g a0))).(\lambda (H2:
  69 ((\forall (i0: nat).(\forall (b: A).((aprem i0 (asucc g a0) b) \to (ex2_3 C T
  70 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0
  71 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
  72 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i0: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H3: (aprem
  73 i0 a0 b)).(let H4 \def (H2 i0 b (aprem_asucc g a0 b i0 H3)) in (ex2_3_ind C T
  74 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0
  75 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
  76 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  77 nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  78 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
  79 T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H5: (drop (plus i0 x2) O x0 d)).(\lambda (H6:
  80 (arity g x0 x1 (asucc g b))).(let H_x \def (getl_drop_conf_rev (plus i0 x2)
  81 x0 d H5 Abst c0 u i H0) in (let H7 \def H_x in (ex2_ind C (\lambda (c1:
  82 C).(drop (plus i0 x2) O c1 c0)) (\lambda (c1: C).(drop (S i) (plus i0 x2) c1
  83 x0)) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
  84 (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
  85 nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x: C).(\lambda (H8: (drop
  86 (plus i0 x2) O x c0)).(\lambda (H9: (drop (S i) (plus i0 x2) x
  87 x0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  88 nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  89 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x (lift (S i) (plus i0 x2) x1) x2 H8
  90 (arity_lift g x0 x1 (asucc g b) H6 x (S i) (plus i0 x2) H9))))) H7))))))))
  91 H4))))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: (not (eq B b Abst))).(\lambda
  92 (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0 u
  93 a1)).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b0: A).((aprem i a1 b0) \to
  94 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
  95 i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
  96 u0 (asucc g b0))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_:
  97 (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (i:
  98 nat).(\forall (b0: A).((aprem i a2 b0) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
  99 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d (CHead c0 (Bind b)
 100 u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 101 (asucc g b0))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b0: A).(\lambda (H5:
 102 (aprem i a2 b0)).(let H_x \def (H4 i b0 H5) in (let H6 \def H_x in (ex2_3_ind
 103 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O
 104 d (CHead c0 (Bind b) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 105 nat).(arity g d u0 (asucc g b0))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 106 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 107 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b0)))))) (\lambda (x0:
 108 C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H7: (drop (plus i x2) O x0
 109 (CHead c0 (Bind b) u))).(\lambda (H8: (arity g x0 x1 (asucc g b0))).(let H9
 110 \def (eq_ind nat (S (plus i x2)) (\lambda (n: nat).(drop n O x0 c0)) (drop_S
 111 b x0 c0 u (plus i x2) H7) (plus i (S x2)) (plus_n_Sm i x2)) in (ex2_3_intro C
 112 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 113 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 114 (asucc g b0))))) x0 x1 (S x2) H9 H8))))))) H6))))))))))))))))) (\lambda (c0:
 115 C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (arity g c0 u (asucc g
 116 a1))).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i (asucc g a1)
 117 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 118 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 119 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2:
 120 A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3:
 121 ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a2 b) \to (ex2_3 C T nat
 122 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d (CHead
 123 c0 (Bind Abst) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 124 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b:
 125 A).(\lambda (H4: (aprem i (AHead a1 a2) b)).(nat_ind (\lambda (n:
 126 nat).((aprem n (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 127 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus n j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 128 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))) (\lambda (H5:
 129 (aprem O (AHead a1 a2) b)).(let H_y \def (aprem_gen_head_O a1 a2 b H5) in
 130 (eq_ind_r A a1 (\lambda (a0: A).(ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 131 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 132 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g a0))))))) (ex2_3_intro C T
 133 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d
 134 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 135 (asucc g a1))))) c0 u O (drop_refl c0) H0) b H_y))) (\lambda (i0:
 136 nat).(\lambda (_: (((aprem i0 (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda
 137 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d c0))))
 138 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 139 b))))))))).(\lambda (H5: (aprem (S i0) (AHead a1 a2) b)).(let H_y \def
 140 (aprem_gen_head_S a1 a2 b i0 H5) in (let H_x \def (H3 i0 b H_y) in (let H6
 141 \def H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 142 nat).(drop (plus i0 j) O d (CHead c0 (Bind Abst) u))))) (\lambda (d:
 143 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C
 144 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j)
 145 O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 146 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2:
 147 nat).(\lambda (H7: (drop (plus i0 x2) O x0 (CHead c0 (Bind Abst)
 148 u))).(\lambda (H8: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda
 149 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0))))
 150 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 151 b))))) x0 x1 x2 (drop_S Abst x0 c0 u (plus i0 x2) H7) H8)))))) H6))))))) i
 152 H4))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda
 153 (_: (arity g c0 u a1)).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b:
 154 A).((aprem i a1 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 155 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 156 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0:
 157 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 t0 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3:
 158 ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T
 159 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 160 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 161 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H4: (aprem
 162 i a2 b)).(let H5 \def (H3 (S i) b (aprem_succ a2 b i H4 a1)) in (ex2_3_ind C
 163 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (S (plus i j))
 164 O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 165 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 166 nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 167 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
 168 T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H6: (drop (S (plus i x2)) O x0 c0)).(\lambda
 169 (H7: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(C_ind (\lambda (c1: C).((drop (S (plus i
 170 x2)) O c1 c0) \to ((arity g c1 x1 (asucc g b)) \to (ex2_3 C T nat (\lambda
 171 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda
 172 (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))))
 173 (\lambda (n: nat).(\lambda (H8: (drop (S (plus i x2)) O (CSort n)
 174 c0)).(\lambda (_: (arity g (CSort n) x1 (asucc g b))).(and3_ind (eq C c0
 175 (CSort n)) (eq nat (S (plus i x2)) O) (eq nat O O) (ex2_3 C T nat (\lambda
 176 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda
 177 (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))
 178 (\lambda (_: (eq C c0 (CSort n))).(\lambda (H11: (eq nat (S (plus i x2))
 179 O)).(\lambda (_: (eq nat O O)).(let H13 \def (eq_ind nat (S (plus i x2))
 180 (\lambda (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 181 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H11) in (False_ind (ex2_3 C
 182 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 183 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 184 (asucc g b)))))) H13))))) (drop_gen_sort n (S (plus i x2)) O c0 H8)))))
 185 (\lambda (d: C).(\lambda (IHd: (((drop (S (plus i x2)) O d c0) \to ((arity g
 186 d x1 (asucc g b)) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_:
 187 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda
 188 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))))))).(\lambda (k:
 189 K).(\lambda (t1: T).(\lambda (H8: (drop (S (plus i x2)) O (CHead d k t1)
 190 c0)).(\lambda (H9: (arity g (CHead d k t1) x1 (asucc g b))).(K_ind (\lambda
 191 (k0: K).((arity g (CHead d k0 t1) x1 (asucc g b)) \to ((drop (r k0 (plus i
 192 x2)) O d c0) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 193 nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 194 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))))) (\lambda (b0: B).(\lambda (H10:
 195 (arity g (CHead d (Bind b0) t1) x1 (asucc g b))).(\lambda (H11: (drop (r
 196 (Bind b0) (plus i x2)) O d c0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0:
 197 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda
 198 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))
 199 (CHead d (Bind b0) t1) x1 (S x2) (eq_ind nat (S (plus i x2)) (\lambda (n:
 200 nat).(drop n O (CHead d (Bind b0) t1) c0)) (drop_drop (Bind b0) (plus i x2) d
 201 c0 H11 t1) (plus i (S x2)) (plus_n_Sm i x2)) H10)))) (\lambda (f: F).(\lambda
 202 (H10: (arity g (CHead d (Flat f) t1) x1 (asucc g b))).(\lambda (H11: (drop (r
 203 (Flat f) (plus i x2)) O d c0)).(let H12 \def (IHd H11 (arity_cimp_conf g
 204 (CHead d (Flat f) t1) x1 (asucc g b) H10 d (cimp_flat_sx f d t1))) in
 205 (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 206 (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 207 nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda
 208 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0:
 209 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
 210 (\lambda (x3: C).(\lambda (x4: T).(\lambda (x5: nat).(\lambda (H13: (drop
 211 (plus i x5) O x3 c0)).(\lambda (H14: (arity g x3 x4 (asucc g
 212 b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 213 nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 214 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x3 x4 x5 H13 H14)))))) H12))))) k H9
 215 (drop_gen_drop k d c0 t1 (plus i x2) H8)))))))) x0 H6 H7))))))
 216 H5)))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a0: A).(\lambda
 217 (_: (arity g c0 u (asucc g a0))).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b:
 218 A).((aprem i (asucc g a0) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 219 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 220 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0:
 221 T).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a0)).(\lambda (H3: ((\forall (i: nat).(\forall
 222 (b: A).((aprem i a0 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 223 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 224 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i:
 225 nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H4: (aprem i a0 b)).(let H_x \def (H3 i b H4)
 226 in (let H5 \def H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 227 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 228 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat
 229 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 230 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 231 b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H6:
 232 (drop (plus i x2) O x0 c0)).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 (asucc g
 233 b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 234 nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 235 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) x0 x1 x2 H6 H7)))))) H5))))))))))))))
 236 (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0
 237 t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a1 b) \to
 238 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
 239 i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
 240 u (asucc g b))))))))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1
 241 a2)).(\lambda (i: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H3: (aprem i a2 b)).(let H_x
 242 \def (aprem_repl g a1 a2 H2 i b H3) in (let H4 \def H_x in (ex2_ind A
 243 (\lambda (b1: A).(leq g b1 b)) (\lambda (b1: A).(aprem i a1 b1)) (ex2_3 C T
 244 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 245 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc
 246 g b)))))) (\lambda (x: A).(\lambda (H5: (leq g x b)).(\lambda (H6: (aprem i
 247 a1 x)).(let H_x0 \def (H1 i x H6) in (let H7 \def H_x0 in (ex2_3_ind C T nat
 248 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 249 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
 250 x))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 251 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_:
 252 nat).(arity g d u (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 253 (x2: nat).(\lambda (H8: (drop (plus i x2) O x0 c0)).(\lambda (H9: (arity g x0
 254 x1 (asucc g x))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 255 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u:
 256 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g b))))) x0 x1 x2 H8 (arity_repl g
 257 x0 x1 (asucc g x) H9 (asucc g b) (asucc_repl g x b H5)))))))) H7))))))
 258 H4))))))))))))) c t a H))))).
 259