helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/arity/aprem.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/arity/props.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/arity/cimp.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/aprem/props.ma".
  22
  23 theorem arity_aprem:
  24  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c t
  25 a) \to (\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a b) \to (ex2_3 C T nat
  26 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c))))
  27 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  28 b)))))))))))))
  29 \def
  30  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  31 (arity g c t a)).(arity_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a0:
  32 A).(\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a0 b) \to (ex2_3 C T nat
  33 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
  34 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  35 b)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda
  36 (b: A).(\lambda (H0: (aprem i (ASort O n) b)).(let H1 \def (match H0 in aprem
  37 return (\lambda (n0: nat).(\lambda (a0: A).(\lambda (a1: A).(\lambda (_:
  38 (aprem n0 a0 a1)).((eq nat n0 i) \to ((eq A a0 (ASort O n)) \to ((eq A a1 b)
  39 \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
  40 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_:
  41 nat).(arity g d u (asucc g b))))))))))))) with [(aprem_zero a1 a2)
  42 \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat O i)).(\lambda (H2: (eq A (AHead a1 a2)
  43 (ASort O n))).(\lambda (H3: (eq A a1 b)).(eq_ind nat O (\lambda (n0:
  44 nat).((eq A (AHead a1 a2) (ASort O n)) \to ((eq A a1 b) \to (ex2_3 C T nat
  45 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus n0 j) O d
  46 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc
  47 g b))))))))) (\lambda (H4: (eq A (AHead a1 a2) (ASort O n))).(let H5 \def
  48 (eq_ind A (AHead a1 a2) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_:
  49 A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
  50 True])) I (ASort O n) H4) in (False_ind ((eq A a1 b) \to (ex2_3 C T nat
  51 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d c0))))
  52 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  53 b))))))) H5))) i H1 H2 H3)))) | (aprem_succ a2 a0 i0 H1 a1) \Rightarrow
  54 (\lambda (H2: (eq nat (S i0) i)).(\lambda (H3: (eq A (AHead a1 a2) (ASort O
  55 n))).(\lambda (H4: (eq A a0 b)).(eq_ind nat (S i0) (\lambda (n0: nat).((eq A
  56 (AHead a1 a2) (ASort O n)) \to ((eq A a0 b) \to ((aprem i0 a2 a0) \to (ex2_3
  57 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus n0 j) O
  58 d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u
  59 (asucc g b)))))))))) (\lambda (H5: (eq A (AHead a1 a2) (ASort O n))).(let H6
  60 \def (eq_ind A (AHead a1 a2) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
  61 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
  62 True])) I (ASort O n) H5) in (False_ind ((eq A a0 b) \to ((aprem i0 a2 a0)
  63 \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
  64 (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_:
  65 nat).(arity g d u (asucc g b)))))))) H6))) i H2 H3 H4 H1))))]) in (H1
  66 (refl_equal nat i) (refl_equal A (ASort O n)) (refl_equal A b))))))))
  67 (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  68 (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_:
  69 (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall (i0: nat).(\forall (b: A).((aprem
  70 i0 a0 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  71 nat).(drop (plus i0 j) O d0 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  72 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i0: nat).(\lambda (b:
  73 A).(\lambda (H3: (aprem i0 a0 b)).(let H_x \def (H2 i0 b H3) in (let H4 \def
  74 H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  75 nat).(drop (plus i0 j) O d0 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  76 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
  77 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda
  78 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
  79 (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H5: (drop
  80 (plus i0 x2) O x0 d)).(\lambda (H6: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(let H_x0
  81 \def (getl_drop_conf_rev (plus i0 x2) x0 d H5 Abbr c0 u i H0) in (let H7 \def
  82 H_x0 in (ex2_ind C (\lambda (c1: C).(drop (plus i0 x2) O c1 c0)) (\lambda
  83 (c1: C).(drop (S i) (plus i0 x2) c1 x0)) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
  84 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda
  85 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
  86 (\lambda (x: C).(\lambda (H8: (drop (plus i0 x2) O x c0)).(\lambda (H9: (drop
  87 (S i) (plus i0 x2) x x0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_:
  88 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda
  89 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x (lift (S i) (plus
  90 i0 x2) x1) x2 H8 (arity_lift g x0 x1 (asucc g b) H6 x (S i) (plus i0 x2)
  91 H9))))) H7)))))))) H4)))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda
  92 (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abst)
  93 u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u (asucc g a0))).(\lambda (H2:
  94 ((\forall (i0: nat).(\forall (b: A).((aprem i0 (asucc g a0) b) \to (ex2_3 C T
  95 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0
  96 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
  97 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i0: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H3: (aprem
  98 i0 a0 b)).(let H4 \def (H2 i0 b (aprem_asucc g a0 b i0 H3)) in (ex2_3_ind C T
  99 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0
 100 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
 101 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 102 nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 103 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
 104 T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H5: (drop (plus i0 x2) O x0 d)).(\lambda (H6:
 105 (arity g x0 x1 (asucc g b))).(let H_x \def (getl_drop_conf_rev (plus i0 x2)
 106 x0 d H5 Abst c0 u i H0) in (let H7 \def H_x in (ex2_ind C (\lambda (c1:
 107 C).(drop (plus i0 x2) O c1 c0)) (\lambda (c1: C).(drop (S i) (plus i0 x2) c1
 108 x0)) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 109 (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 110 nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x: C).(\lambda (H8: (drop
 111 (plus i0 x2) O x c0)).(\lambda (H9: (drop (S i) (plus i0 x2) x
 112 x0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 113 nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 114 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x (lift (S i) (plus i0 x2) x1) x2 H8
 115 (arity_lift g x0 x1 (asucc g b) H6 x (S i) (plus i0 x2) H9))))) H7))))))))
 116 H4))))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: (not (eq B b Abst))).(\lambda
 117 (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0 u
 118 a1)).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b0: A).((aprem i a1 b0) \to
 119 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
 120 i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
 121 u0 (asucc g b0))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_:
 122 (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (i:
 123 nat).(\forall (b0: A).((aprem i a2 b0) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
 124 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d (CHead c0 (Bind b)
 125 u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 126 (asucc g b0))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b0: A).(\lambda (H5:
 127 (aprem i a2 b0)).(let H_x \def (H4 i b0 H5) in (let H6 \def H_x in (ex2_3_ind
 128 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O
 129 d (CHead c0 (Bind b) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 130 nat).(arity g d u0 (asucc g b0))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 131 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 132 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b0)))))) (\lambda (x0:
 133 C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H7: (drop (plus i x2) O x0
 134 (CHead c0 (Bind b) u))).(\lambda (H8: (arity g x0 x1 (asucc g b0))).(let H9
 135 \def (eq_ind nat (S (plus i x2)) (\lambda (n: nat).(drop n O x0 c0)) (drop_S
 136 b x0 c0 u (plus i x2) H7) (plus i (S x2)) (plus_n_Sm i x2)) in (ex2_3_intro C
 137 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 138 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 139 (asucc g b0))))) x0 x1 (S x2) H9 H8))))))) H6))))))))))))))))) (\lambda (c0:
 140 C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (arity g c0 u (asucc g
 141 a1))).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i (asucc g a1)
 142 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 143 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 144 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2:
 145 A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3:
 146 ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a2 b) \to (ex2_3 C T nat
 147 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d (CHead
 148 c0 (Bind Abst) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 149 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b:
 150 A).(\lambda (H4: (aprem i (AHead a1 a2) b)).(nat_ind (\lambda (n:
 151 nat).((aprem n (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 152 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus n j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 153 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))) (\lambda (H5:
 154 (aprem O (AHead a1 a2) b)).(let H6 \def (match H5 in aprem return (\lambda
 155 (n: nat).(\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (aprem n a0 a3)).((eq
 156 nat n O) \to ((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to ((eq A a3 b) \to (ex2_3 C T nat
 157 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d c0))))
 158 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 159 b))))))))))))) with [(aprem_zero a0 a3) \Rightarrow (\lambda (_: (eq nat O
 160 O)).(\lambda (H7: (eq A (AHead a0 a3) (AHead a1 a2))).(\lambda (H8: (eq A a0
 161 b)).((let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 162 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead _ a4) \Rightarrow a4]))
 163 (AHead a0 a3) (AHead a1 a2) H7) in ((let H10 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 164 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 165 (AHead a4 _) \Rightarrow a4])) (AHead a0 a3) (AHead a1 a2) H7) in (eq_ind A
 166 a1 (\lambda (a4: A).((eq A a3 a2) \to ((eq A a4 b) \to (ex2_3 C T nat
 167 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d c0))))
 168 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 169 b))))))))) (\lambda (H11: (eq A a3 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (_: A).((eq A
 170 a1 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 171 nat).(drop (plus O j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 172 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))) (\lambda (H12: (eq A a1 b)).(eq_ind
 173 A b (\lambda (_: A).(ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda
 174 (j: nat).(drop (plus O j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 175 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))) (eq_ind A a1 (\lambda
 176 (a4: A).(ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 177 nat).(drop (plus O j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 178 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g a4))))))) (ex2_3_intro C T nat (\lambda (d:
 179 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d c0)))) (\lambda (d:
 180 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g a1))))) c0 u O
 181 (drop_refl c0) H0) b H12) a1 (sym_eq A a1 b H12))) a3 (sym_eq A a3 a2 H11)))
 182 a0 (sym_eq A a0 a1 H10))) H9)) H8)))) | (aprem_succ a0 a3 i0 H6 a4)
 183 \Rightarrow (\lambda (H7: (eq nat (S i0) O)).(\lambda (H8: (eq A (AHead a4
 184 a0) (AHead a1 a2))).(\lambda (H9: (eq A a3 b)).((let H10 \def (eq_ind nat (S
 185 i0) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 186 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H7) in (False_ind ((eq A
 187 (AHead a4 a0) (AHead a1 a2)) \to ((eq A a3 b) \to ((aprem i0 a0 a3) \to
 188 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
 189 O j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
 190 u0 (asucc g b))))))))) H10)) H8 H9 H6))))]) in (H6 (refl_equal nat O)
 191 (refl_equal A (AHead a1 a2)) (refl_equal A b)))) (\lambda (i0: nat).(\lambda
 192 (_: (((aprem i0 (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 193 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d c0)))) (\lambda (d:
 194 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 195 b))))))))).(\lambda (H5: (aprem (S i0) (AHead a1 a2) b)).(let H6 \def (match
 196 H5 in aprem return (\lambda (n: nat).(\lambda (a0: A).(\lambda (a3:
 197 A).(\lambda (_: (aprem n a0 a3)).((eq nat n (S i0)) \to ((eq A a0 (AHead a1
 198 a2)) \to ((eq A a3 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 199 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d:
 200 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))))))))
 201 with [(aprem_zero a0 a3) \Rightarrow (\lambda (H6: (eq nat O (S
 202 i0))).(\lambda (H7: (eq A (AHead a0 a3) (AHead a1 a2))).(\lambda (H8: (eq A
 203 a0 b)).((let H9 \def (eq_ind nat O (\lambda (e: nat).(match e in nat return
 204 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False]))
 205 I (S i0) H6) in (False_ind ((eq A (AHead a0 a3) (AHead a1 a2)) \to ((eq A a0
 206 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 207 (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 208 nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))) H9)) H7 H8)))) | (aprem_succ a0 a3 i1
 209 H6 a4) \Rightarrow (\lambda (H7: (eq nat (S i1) (S i0))).(\lambda (H8: (eq A
 210 (AHead a4 a0) (AHead a1 a2))).(\lambda (H9: (eq A a3 b)).((let H10 \def
 211 (f_equal nat nat (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_:
 212 nat).nat) with [O \Rightarrow i1 | (S n) \Rightarrow n])) (S i1) (S i0) H7)
 213 in (eq_ind nat i0 (\lambda (n: nat).((eq A (AHead a4 a0) (AHead a1 a2)) \to
 214 ((eq A a3 b) \to ((aprem n a0 a3) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 215 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d:
 216 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))
 217 (\lambda (H11: (eq A (AHead a4 a0) (AHead a1 a2))).(let H12 \def (f_equal A A
 218 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 219 \Rightarrow a0 | (AHead _ a5) \Rightarrow a5])) (AHead a4 a0) (AHead a1 a2)
 220 H11) in ((let H13 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return
 221 (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead a5 _)
 222 \Rightarrow a5])) (AHead a4 a0) (AHead a1 a2) H11) in (eq_ind A a1 (\lambda
 223 (_: A).((eq A a0 a2) \to ((eq A a3 b) \to ((aprem i0 a0 a3) \to (ex2_3 C T
 224 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O
 225 d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 226 (asucc g b)))))))))) (\lambda (H14: (eq A a0 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a5:
 227 A).((eq A a3 b) \to ((aprem i0 a5 a3) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
 228 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0))))
 229 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 230 b))))))))) (\lambda (H15: (eq A a3 b)).(eq_ind A b (\lambda (a5: A).((aprem
 231 i0 a2 a5) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 232 nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 233 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))) (\lambda (H16: (aprem
 234 i0 a2 b)).(let H_x \def (H3 i0 b H16) in (let H17 \def H_x in (ex2_3_ind C T
 235 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d
 236 (CHead c0 (Bind Abst) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 237 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 238 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d:
 239 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))) (\lambda
 240 (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H18: (drop (plus i0 x2)
 241 O x0 (CHead c0 (Bind Abst) u))).(\lambda (H19: (arity g x0 x1 (asucc g
 242 b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 243 nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 244 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) x0 x1 x2 (drop_S Abst x0
 245 c0 u (plus i0 x2) H18) H19)))))) H17)))) a3 (sym_eq A a3 b H15))) a0 (sym_eq
 246 A a0 a2 H14))) a4 (sym_eq A a4 a1 H13))) H12))) i1 (sym_eq nat i1 i0 H10)))
 247 H8 H9 H6))))]) in (H6 (refl_equal nat (S i0)) (refl_equal A (AHead a1 a2))
 248 (refl_equal A b)))))) i H4))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 249 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0 u a1)).(\lambda (_: ((\forall
 250 (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a1 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
 251 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d:
 252 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 253 b))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 t0
 254 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i
 255 (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda
 256 (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 257 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i:
 258 nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H4: (aprem i a2 b)).(let H5 \def (H3 (S i) b
 259 (aprem_succ a2 b i H4 a1)) in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 260 T).(\lambda (j: nat).(drop (S (plus i j)) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 261 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat
 262 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 263 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 264 b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H6:
 265 (drop (S (plus i x2)) O x0 c0)).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 (asucc g
 266 b))).(C_ind (\lambda (c1: C).((drop (S (plus i x2)) O c1 c0) \to ((arity g c1
 267 x1 (asucc g b)) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda
 268 (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 269 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))) (\lambda (n:
 270 nat).(\lambda (H8: (drop (S (plus i x2)) O (CSort n) c0)).(\lambda (_: (arity
 271 g (CSort n) x1 (asucc g b))).(and3_ind (eq C c0 (CSort n)) (eq nat (S (plus i
 272 x2)) O) (eq nat O O) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda
 273 (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 274 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))) (\lambda (_: (eq C c0
 275 (CSort n))).(\lambda (H11: (eq nat (S (plus i x2)) O)).(\lambda (_: (eq nat O
 276 O)).(let H13 \def (eq_ind nat (S (plus i x2)) (\lambda (ee: nat).(match ee in
 277 nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 278 \Rightarrow True])) I O H11) in (False_ind (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
 279 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d:
 280 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))) H13)))))
 281 (drop_gen_sort n (S (plus i x2)) O c0 H8))))) (\lambda (d: C).(\lambda (IHd:
 282 (((drop (S (plus i x2)) O d c0) \to ((arity g d x1 (asucc g b)) \to (ex2_3 C
 283 T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O
 284 d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
 285 (asucc g b)))))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (H8: (drop (S
 286 (plus i x2)) O (CHead d k t1) c0)).(\lambda (H9: (arity g (CHead d k t1) x1
 287 (asucc g b))).(K_ind (\lambda (k0: K).((arity g (CHead d k0 t1) x1 (asucc g
 288 b)) \to ((drop (r k0 (plus i x2)) O d c0) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
 289 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda
 290 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))))))
 291 (\lambda (b0: B).(\lambda (H10: (arity g (CHead d (Bind b0) t1) x1 (asucc g
 292 b))).(\lambda (H11: (drop (r (Bind b0) (plus i x2)) O d c0)).(ex2_3_intro C T
 293 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0
 294 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
 295 (asucc g b))))) (CHead d (Bind b0) t1) x1 (S x2) (eq_ind nat (S (plus i x2))
 296 (\lambda (n: nat).(drop n O (CHead d (Bind b0) t1) c0)) (drop_drop (Bind b0)
 297 (plus i x2) d c0 H11 t1) (plus i (S x2)) (plus_n_Sm i x2)) H10)))) (\lambda
 298 (f: F).(\lambda (H10: (arity g (CHead d (Flat f) t1) x1 (asucc g
 299 b))).(\lambda (H11: (drop (r (Flat f) (plus i x2)) O d c0)).(let H12 \def
 300 (IHd H11 (arity_cimp_conf g (CHead d (Flat f) t1) x1 (asucc g b) H10 d
 301 (cimp_flat_sx f d t1))) in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_:
 302 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda
 303 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat
 304 (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0
 305 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
 306 (asucc g b)))))) (\lambda (x3: C).(\lambda (x4: T).(\lambda (x5:
 307 nat).(\lambda (H13: (drop (plus i x5) O x3 c0)).(\lambda (H14: (arity g x3 x4
 308 (asucc g b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda
 309 (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0:
 310 T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x3 x4 x5 H13 H14))))))
 311 H12))))) k H9 (drop_gen_drop k d c0 t1 (plus i x2) H8)))))))) x0 H6 H7))))))
 312 H5)))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a0: A).(\lambda
 313 (_: (arity g c0 u (asucc g a0))).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b:
 314 A).((aprem i (asucc g a0) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 315 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 316 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0:
 317 T).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a0)).(\lambda (H3: ((\forall (i: nat).(\forall
 318 (b: A).((aprem i a0 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 319 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 320 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i:
 321 nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H4: (aprem i a0 b)).(let H_x \def (H3 i b H4)
 322 in (let H5 \def H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 323 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 324 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat
 325 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 326 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 327 b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H6:
 328 (drop (plus i x2) O x0 c0)).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 (asucc g
 329 b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 330 nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 331 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) x0 x1 x2 H6 H7)))))) H5))))))))))))))
 332 (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0
 333 t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a1 b) \to
 334 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
 335 i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
 336 u (asucc g b))))))))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1
 337 a2)).(\lambda (i: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H3: (aprem i a2 b)).(let H_x
 338 \def (aprem_repl g a1 a2 H2 i b H3) in (let H4 \def H_x in (ex2_ind A
 339 (\lambda (b1: A).(leq g b1 b)) (\lambda (b1: A).(aprem i a1 b1)) (ex2_3 C T
 340 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 341 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc
 342 g b)))))) (\lambda (x: A).(\lambda (H5: (leq g x b)).(\lambda (H6: (aprem i
 343 a1 x)).(let H_x0 \def (H1 i x H6) in (let H7 \def H_x0 in (ex2_3_ind C T nat
 344 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 345 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
 346 x))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 347 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_:
 348 nat).(arity g d u (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 349 (x2: nat).(\lambda (H8: (drop (plus i x2) O x0 c0)).(\lambda (H9: (arity g x0
 350 x1 (asucc g x))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 351 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u:
 352 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g b))))) x0 x1 x2 H8 (arity_repl g
 353 x0 x1 (asucc g x) H9 (asucc g b) (asucc_repl g x b H5)))))))) H7))))))
 354 H4))))))))))))) c t a H))))).
 355