helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/csubc/drop1.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "csubc/drop.ma".
  18
  19 theorem drop1_csubc_trans:
  20  \forall (g: G).(\forall (hds: PList).(\forall (c2: C).(\forall (e2:
  21 C).((drop1 hds c2 e2) \to (\forall (e1: C).((csubc g e2 e1) \to (ex2 C
  22 (\lambda (c1: C).(drop1 hds c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c2 c1)))))))))
  23 \def
  24  \lambda (g: G).(\lambda (hds: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall
  25 (c2: C).(\forall (e2: C).((drop1 p c2 e2) \to (\forall (e1: C).((csubc g e2
  26 e1) \to (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 p c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c2
  27 c1))))))))) (\lambda (c2: C).(\lambda (e2: C).(\lambda (H: (drop1 PNil c2
  28 e2)).(\lambda (e1: C).(\lambda (H0: (csubc g e2 e1)).(let H1 \def (match H in
  29 drop1 return (\lambda (p: PList).(\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda
  30 (_: (drop1 p c c0)).((eq PList p PNil) \to ((eq C c c2) \to ((eq C c0 e2) \to
  31 (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c2
  32 c1)))))))))) with [(drop1_nil c) \Rightarrow (\lambda (_: (eq PList PNil
  33 PNil)).(\lambda (H2: (eq C c c2)).(\lambda (H3: (eq C c e2)).(eq_ind C c2
  34 (\lambda (c0: C).((eq C c0 e2) \to (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1
  35 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c2 c1))))) (\lambda (H4: (eq C c2 e2)).(eq_ind
  36 C e2 (\lambda (c0: C).(ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda
  37 (c1: C).(csubc g c0 c1)))) (let H5 \def (eq_ind_r C e2 (\lambda (c0:
  38 C).(csubc g c0 e1)) H0 c2 H4) in (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).(ex2 C
  39 (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c0 c1))))
  40 (ex_intro2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g
  41 c2 c1)) e1 (drop1_nil e1) H5) e2 H4)) c2 (sym_eq C c2 e2 H4))) c (sym_eq C c
  42 c2 H2) H3)))) | (drop1_cons c1 c0 h d H1 c3 hds0 H2) \Rightarrow (\lambda
  43 (H3: (eq PList (PCons h d hds0) PNil)).(\lambda (H4: (eq C c1 c2)).(\lambda
  44 (H5: (eq C c3 e2)).((let H6 \def (eq_ind PList (PCons h d hds0) (\lambda (e:
  45 PList).(match e in PList return (\lambda (_: PList).Prop) with [PNil
  46 \Rightarrow False | (PCons _ _ _) \Rightarrow True])) I PNil H3) in
  47 (False_ind ((eq C c1 c2) \to ((eq C c3 e2) \to ((drop h d c1 c0) \to ((drop1
  48 hds0 c0 c3) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 PNil c4 e1)) (\lambda (c4:
  49 C).(csubc g c2 c4))))))) H6)) H4 H5 H1 H2))))]) in (H1 (refl_equal PList
  50 PNil) (refl_equal C c2) (refl_equal C e2)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
  51 (n0: nat).(\lambda (p: PList).(\lambda (H: ((\forall (c2: C).(\forall (e2:
  52 C).((drop1 p c2 e2) \to (\forall (e1: C).((csubc g e2 e1) \to (ex2 C (\lambda
  53 (c1: C).(drop1 p c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c2 c1)))))))))).(\lambda
  54 (c2: C).(\lambda (e2: C).(\lambda (H0: (drop1 (PCons n n0 p) c2 e2)).(\lambda
  55 (e1: C).(\lambda (H1: (csubc g e2 e1)).(let H2 \def (match H0 in drop1 return
  56 (\lambda (p0: PList).(\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda (_: (drop1 p0
  57 c c0)).((eq PList p0 (PCons n n0 p)) \to ((eq C c c2) \to ((eq C c0 e2) \to
  58 (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 (PCons n n0 p) c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc
  59 g c2 c1)))))))))) with [(drop1_nil c) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq PList
  60 PNil (PCons n n0 p))).(\lambda (H3: (eq C c c2)).(\lambda (H4: (eq C c
  61 e2)).((let H5 \def (eq_ind PList PNil (\lambda (e: PList).(match e in PList
  62 return (\lambda (_: PList).Prop) with [PNil \Rightarrow True | (PCons _ _ _)
  63 \Rightarrow False])) I (PCons n n0 p) H2) in (False_ind ((eq C c c2) \to ((eq
  64 C c e2) \to (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 (PCons n n0 p) c1 e1)) (\lambda
  65 (c1: C).(csubc g c2 c1))))) H5)) H3 H4)))) | (drop1_cons c1 c0 h d H2 c3 hds0
  66 H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq PList (PCons h d hds0) (PCons n n0
  67 p))).(\lambda (H5: (eq C c1 c2)).(\lambda (H6: (eq C c3 e2)).((let H7 \def
  68 (f_equal PList PList (\lambda (e: PList).(match e in PList return (\lambda
  69 (_: PList).PList) with [PNil \Rightarrow hds0 | (PCons _ _ p0) \Rightarrow
  70 p0])) (PCons h d hds0) (PCons n n0 p) H4) in ((let H8 \def (f_equal PList nat
  71 (\lambda (e: PList).(match e in PList return (\lambda (_: PList).nat) with
  72 [PNil \Rightarrow d | (PCons _ n1 _) \Rightarrow n1])) (PCons h d hds0)
  73 (PCons n n0 p) H4) in ((let H9 \def (f_equal PList nat (\lambda (e:
  74 PList).(match e in PList return (\lambda (_: PList).nat) with [PNil
  75 \Rightarrow h | (PCons n1 _ _) \Rightarrow n1])) (PCons h d hds0) (PCons n n0
  76 p) H4) in (eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).((eq nat d n0) \to ((eq PList hds0
  77 p) \to ((eq C c1 c2) \to ((eq C c3 e2) \to ((drop n1 d c1 c0) \to ((drop1
  78 hds0 c0 c3) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1))
  79 (\lambda (c4: C).(csubc g c2 c4)))))))))) (\lambda (H10: (eq nat d
  80 n0)).(eq_ind nat n0 (\lambda (n1: nat).((eq PList hds0 p) \to ((eq C c1 c2)
  81 \to ((eq C c3 e2) \to ((drop n n1 c1 c0) \to ((drop1 hds0 c0 c3) \to (ex2 C
  82 (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c2
  83 c4))))))))) (\lambda (H11: (eq PList hds0 p)).(eq_ind PList p (\lambda (p0:
  84 PList).((eq C c1 c2) \to ((eq C c3 e2) \to ((drop n n0 c1 c0) \to ((drop1 p0
  85 c0 c3) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda
  86 (c4: C).(csubc g c2 c4)))))))) (\lambda (H12: (eq C c1 c2)).(eq_ind C c2
  87 (\lambda (c: C).((eq C c3 e2) \to ((drop n n0 c c0) \to ((drop1 p c0 c3) \to
  88 (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc
  89 g c2 c4))))))) (\lambda (H13: (eq C c3 e2)).(eq_ind C e2 (\lambda (c:
  90 C).((drop n n0 c2 c0) \to ((drop1 p c0 c) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1
  91 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c2 c4)))))) (\lambda (H14:
  92 (drop n n0 c2 c0)).(\lambda (H15: (drop1 p c0 e2)).(let H_x \def (H c0 e2 H15
  93 e1 H1) in (let H16 \def H_x in (ex2_ind C (\lambda (c4: C).(drop1 p c4 e1))
  94 (\lambda (c4: C).(csubc g c0 c4)) (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0
  95 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c2 c4))) (\lambda (x: C).(\lambda (H17:
  96 (drop1 p x e1)).(\lambda (H18: (csubc g c0 x)).(let H_x0 \def
  97 (drop_csubc_trans g c2 c0 n0 n H14 x H18) in (let H19 \def H_x0 in (ex2_ind C
  98 (\lambda (c4: C).(drop n n0 c4 x)) (\lambda (c4: C).(csubc g c2 c4)) (ex2 C
  99 (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c2
 100 c4))) (\lambda (x0: C).(\lambda (H20: (drop n n0 x0 x)).(\lambda (H21: (csubc
 101 g c2 x0)).(ex_intro2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1))
 102 (\lambda (c4: C).(csubc g c2 c4)) x0 (drop1_cons x0 x n n0 H20 e1 p H17)
 103 H21)))) H19)))))) H16))))) c3 (sym_eq C c3 e2 H13))) c1 (sym_eq C c1 c2
 104 H12))) hds0 (sym_eq PList hds0 p H11))) d (sym_eq nat d n0 H10))) h (sym_eq
 105 nat h n H9))) H8)) H7)) H5 H6 H2 H3))))]) in (H2 (refl_equal PList (PCons n
 106 n0 p)) (refl_equal C c2) (refl_equal C e2)))))))))))) hds)).
 107
 108 theorem csubc_drop1_conf_rev:
 109  \forall (g: G).(\forall (hds: PList).(\forall (c2: C).(\forall (e2:
 110 C).((drop1 hds c2 e2) \to (\forall (e1: C).((csubc g e1 e2) \to (ex2 C
 111 (\lambda (c1: C).(drop1 hds c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c1 c2)))))))))
 112 \def
 113  \lambda (g: G).(\lambda (hds: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall
 114 (c2: C).(\forall (e2: C).((drop1 p c2 e2) \to (\forall (e1: C).((csubc g e1
 115 e2) \to (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 p c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c1
 116 c2))))))))) (\lambda (c2: C).(\lambda (e2: C).(\lambda (H: (drop1 PNil c2
 117 e2)).(\lambda (e1: C).(\lambda (H0: (csubc g e1 e2)).(let H1 \def (match H in
 118 drop1 return (\lambda (p: PList).(\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda
 119 (_: (drop1 p c c0)).((eq PList p PNil) \to ((eq C c c2) \to ((eq C c0 e2) \to
 120 (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c1
 121 c2)))))))))) with [(drop1_nil c) \Rightarrow (\lambda (_: (eq PList PNil
 122 PNil)).(\lambda (H2: (eq C c c2)).(\lambda (H3: (eq C c e2)).(eq_ind C c2
 123 (\lambda (c0: C).((eq C c0 e2) \to (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1
 124 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c1 c2))))) (\lambda (H4: (eq C c2 e2)).(eq_ind
 125 C e2 (\lambda (c0: C).(ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda
 126 (c1: C).(csubc g c1 c0)))) (let H5 \def (eq_ind_r C e2 (\lambda (c0:
 127 C).(csubc g e1 c0)) H0 c2 H4) in (eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).(ex2 C
 128 (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c1 c0))))
 129 (ex_intro2 C (\lambda (c1: C).(drop1 PNil c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g
 130 c1 c2)) e1 (drop1_nil e1) H5) e2 H4)) c2 (sym_eq C c2 e2 H4))) c (sym_eq C c
 131 c2 H2) H3)))) | (drop1_cons c1 c0 h d H1 c3 hds0 H2) \Rightarrow (\lambda
 132 (H3: (eq PList (PCons h d hds0) PNil)).(\lambda (H4: (eq C c1 c2)).(\lambda
 133 (H5: (eq C c3 e2)).((let H6 \def (eq_ind PList (PCons h d hds0) (\lambda (e:
 134 PList).(match e in PList return (\lambda (_: PList).Prop) with [PNil
 135 \Rightarrow False | (PCons _ _ _) \Rightarrow True])) I PNil H3) in
 136 (False_ind ((eq C c1 c2) \to ((eq C c3 e2) \to ((drop h d c1 c0) \to ((drop1
 137 hds0 c0 c3) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 PNil c4 e1)) (\lambda (c4:
 138 C).(csubc g c4 c2))))))) H6)) H4 H5 H1 H2))))]) in (H1 (refl_equal PList
 139 PNil) (refl_equal C c2) (refl_equal C e2)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 140 (n0: nat).(\lambda (p: PList).(\lambda (H: ((\forall (c2: C).(\forall (e2:
 141 C).((drop1 p c2 e2) \to (\forall (e1: C).((csubc g e1 e2) \to (ex2 C (\lambda
 142 (c1: C).(drop1 p c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc g c1 c2)))))))))).(\lambda
 143 (c2: C).(\lambda (e2: C).(\lambda (H0: (drop1 (PCons n n0 p) c2 e2)).(\lambda
 144 (e1: C).(\lambda (H1: (csubc g e1 e2)).(let H2 \def (match H0 in drop1 return
 145 (\lambda (p0: PList).(\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda (_: (drop1 p0
 146 c c0)).((eq PList p0 (PCons n n0 p)) \to ((eq C c c2) \to ((eq C c0 e2) \to
 147 (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 (PCons n n0 p) c1 e1)) (\lambda (c1: C).(csubc
 148 g c1 c2)))))))))) with [(drop1_nil c) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq PList
 149 PNil (PCons n n0 p))).(\lambda (H3: (eq C c c2)).(\lambda (H4: (eq C c
 150 e2)).((let H5 \def (eq_ind PList PNil (\lambda (e: PList).(match e in PList
 151 return (\lambda (_: PList).Prop) with [PNil \Rightarrow True | (PCons _ _ _)
 152 \Rightarrow False])) I (PCons n n0 p) H2) in (False_ind ((eq C c c2) \to ((eq
 153 C c e2) \to (ex2 C (\lambda (c1: C).(drop1 (PCons n n0 p) c1 e1)) (\lambda
 154 (c1: C).(csubc g c1 c2))))) H5)) H3 H4)))) | (drop1_cons c1 c0 h d H2 c3 hds0
 155 H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq PList (PCons h d hds0) (PCons n n0
 156 p))).(\lambda (H5: (eq C c1 c2)).(\lambda (H6: (eq C c3 e2)).((let H7 \def
 157 (f_equal PList PList (\lambda (e: PList).(match e in PList return (\lambda
 158 (_: PList).PList) with [PNil \Rightarrow hds0 | (PCons _ _ p0) \Rightarrow
 159 p0])) (PCons h d hds0) (PCons n n0 p) H4) in ((let H8 \def (f_equal PList nat
 160 (\lambda (e: PList).(match e in PList return (\lambda (_: PList).nat) with
 161 [PNil \Rightarrow d | (PCons _ n1 _) \Rightarrow n1])) (PCons h d hds0)
 162 (PCons n n0 p) H4) in ((let H9 \def (f_equal PList nat (\lambda (e:
 163 PList).(match e in PList return (\lambda (_: PList).nat) with [PNil
 164 \Rightarrow h | (PCons n1 _ _) \Rightarrow n1])) (PCons h d hds0) (PCons n n0
 165 p) H4) in (eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).((eq nat d n0) \to ((eq PList hds0
 166 p) \to ((eq C c1 c2) \to ((eq C c3 e2) \to ((drop n1 d c1 c0) \to ((drop1
 167 hds0 c0 c3) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1))
 168 (\lambda (c4: C).(csubc g c4 c2)))))))))) (\lambda (H10: (eq nat d
 169 n0)).(eq_ind nat n0 (\lambda (n1: nat).((eq PList hds0 p) \to ((eq C c1 c2)
 170 \to ((eq C c3 e2) \to ((drop n n1 c1 c0) \to ((drop1 hds0 c0 c3) \to (ex2 C
 171 (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c4
 172 c2))))))))) (\lambda (H11: (eq PList hds0 p)).(eq_ind PList p (\lambda (p0:
 173 PList).((eq C c1 c2) \to ((eq C c3 e2) \to ((drop n n0 c1 c0) \to ((drop1 p0
 174 c0 c3) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda
 175 (c4: C).(csubc g c4 c2)))))))) (\lambda (H12: (eq C c1 c2)).(eq_ind C c2
 176 (\lambda (c: C).((eq C c3 e2) \to ((drop n n0 c c0) \to ((drop1 p c0 c3) \to
 177 (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc
 178 g c4 c2))))))) (\lambda (H13: (eq C c3 e2)).(eq_ind C e2 (\lambda (c:
 179 C).((drop n n0 c2 c0) \to ((drop1 p c0 c) \to (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1
 180 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c4 c2)))))) (\lambda (H14:
 181 (drop n n0 c2 c0)).(\lambda (H15: (drop1 p c0 e2)).(let H_x \def (H c0 e2 H15
 182 e1 H1) in (let H16 \def H_x in (ex2_ind C (\lambda (c4: C).(drop1 p c4 e1))
 183 (\lambda (c4: C).(csubc g c4 c0)) (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0
 184 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c4 c2))) (\lambda (x: C).(\lambda (H17:
 185 (drop1 p x e1)).(\lambda (H18: (csubc g x c0)).(let H_x0 \def
 186 (csubc_drop_conf_rev g c2 c0 n0 n H14 x H18) in (let H19 \def H_x0 in
 187 (ex2_ind C (\lambda (c4: C).(drop n n0 c4 x)) (\lambda (c4: C).(csubc g c4
 188 c2)) (ex2 C (\lambda (c4: C).(drop1 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4:
 189 C).(csubc g c4 c2))) (\lambda (x0: C).(\lambda (H20: (drop n n0 x0
 190 x)).(\lambda (H21: (csubc g x0 c2)).(ex_intro2 C (\lambda (c4: C).(drop1
 191 (PCons n n0 p) c4 e1)) (\lambda (c4: C).(csubc g c4 c2)) x0 (drop1_cons x0 x
 192 n n0 H20 e1 p H17) H21)))) H19)))))) H16))))) c3 (sym_eq C c3 e2 H13))) c1
 193 (sym_eq C c1 c2 H12))) hds0 (sym_eq PList hds0 p H11))) d (sym_eq nat d n0
 194 H10))) h (sym_eq nat h n H9))) H8)) H7)) H5 H6 H2 H3))))]) in (H2 (refl_equal
 195 PList (PCons n n0 p)) (refl_equal C c2) (refl_equal C e2)))))))))))) hds)).
 196