helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "leq/defs.ma".
  18
  19 include "aplus/props.ma".
  20
  21 theorem ahead_inj_snd:
  22  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).(\forall
  23 (a4: A).((leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4)) \to (leq g a2 a4))))))
  24 \def
  25  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
  26 (a4: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4))).(let H0 \def (match
  27 H in leq return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a
  28 a0)).((eq A a (AHead a1 a2)) \to ((eq A a0 (AHead a3 a4)) \to (leq g a2
  29 a4)))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq A
  30 (ASort h1 n1) (AHead a1 a2))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2) (AHead a3
  31 a4))).((let H3 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A
  32 return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _)
  33 \Rightarrow False])) I (AHead a1 a2) H1) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2)
  34 (AHead a3 a4)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  35 k)) \to (leq g a2 a4))) H3)) H2 H0))) | (leq_head a0 a5 H0 a6 a7 H1)
  36 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (AHead a0 a6) (AHead a1 a2))).(\lambda (H3:
  37 (eq A (AHead a5 a7) (AHead a3 a4))).((let H4 \def (f_equal A A (\lambda (e:
  38 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a6 |
  39 (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a6) (AHead a1 a2) H2) in ((let H5 \def
  40 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
  41 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a6)
  42 (AHead a1 a2) H2) in (eq_ind A a1 (\lambda (a: A).((eq A a6 a2) \to ((eq A
  43 (AHead a5 a7) (AHead a3 a4)) \to ((leq g a a5) \to ((leq g a6 a7) \to (leq g
  44 a2 a4)))))) (\lambda (H6: (eq A a6 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a: A).((eq A
  45 (AHead a5 a7) (AHead a3 a4)) \to ((leq g a1 a5) \to ((leq g a a7) \to (leq g
  46 a2 a4))))) (\lambda (H7: (eq A (AHead a5 a7) (AHead a3 a4))).(let H8 \def
  47 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
  48 [(ASort _ _) \Rightarrow a7 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a5 a7)
  49 (AHead a3 a4) H7) in ((let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
  50 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead a _)
  51 \Rightarrow a])) (AHead a5 a7) (AHead a3 a4) H7) in (eq_ind A a3 (\lambda (a:
  52 A).((eq A a7 a4) \to ((leq g a1 a) \to ((leq g a2 a7) \to (leq g a2 a4)))))
  53 (\lambda (H10: (eq A a7 a4)).(eq_ind A a4 (\lambda (a: A).((leq g a1 a3) \to
  54 ((leq g a2 a) \to (leq g a2 a4)))) (\lambda (_: (leq g a1 a3)).(\lambda (H12:
  55 (leq g a2 a4)).H12)) a7 (sym_eq A a7 a4 H10))) a5 (sym_eq A a5 a3 H9))) H8)))
  56 a6 (sym_eq A a6 a2 H6))) a0 (sym_eq A a0 a1 H5))) H4)) H3 H0 H1)))]) in (H0
  57 (refl_equal A (AHead a1 a2)) (refl_equal A (AHead a3 a4))))))))).
  58
  59 theorem leq_refl:
  60  \forall (g: G).(\forall (a: A).(leq g a a))
  61 \def
  62  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(leq g a0 a0))
  63 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(leq_sort g n n n0 n0 O (refl_equal A
  64 (aplus g (ASort n n0) O))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (leq g a0
  65 a0)).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (leq g a1 a1)).(leq_head g a0 a0 H a1 a1
  66 H0))))) a)).
  67
  68 theorem leq_eq:
  69  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((eq A a1 a2) \to (leq g a1
  70 a2))))
  71 \def
  72  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (eq A a1
  73 a2)).(eq_ind_r A a2 (\lambda (a: A).(leq g a a2)) (leq_refl g a2) a1 H)))).
  74
  75 theorem leq_sym:
  76  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
  77 a2 a1))))
  78 \def
  79  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  80 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g a0 a))) (\lambda (h1:
  81 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  82 nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  83 k))).(leq_sort g h2 h1 n2 n1 k (sym_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  84 (ASort h2 n2) k) H0)))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
  85 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: (leq g a4 a3)).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
  86 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g a6 a5)).(leq_head g a4 a3
  87 H1 a6 a5 H3))))))))) a1 a2 H)))).
  88
  89 theorem leq_trans:
  90  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  91 (a3: A).((leq g a2 a3) \to (leq g a1 a3))))))
  92 \def
  93  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  94 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\forall (a3: A).((leq g a0
  95 a3) \to (leq g a a3))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
  96 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort
  97 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g
  98 (ASort h2 n2) a3)).(let H2 \def (match H1 in leq return (\lambda (a:
  99 A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (ASort h2 n2)) \to
 100 ((eq A a0 a3) \to (leq g (ASort h1 n1) a3)))))) with [(leq_sort h0 h3 n0 n3
 101 k0 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h2 n2))).(\lambda
 102 (H4: (eq A (ASort h3 n3) a3)).((let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e:
 103 A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n
 104 | (AHead _ _) \Rightarrow n0])) (ASort h0 n0) (ASort h2 n2) H3) in ((let H6
 105 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat)
 106 with [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow h0])) (ASort h0 n0)
 107 (ASort h2 n2) H3) in (eq_ind nat h2 (\lambda (n: nat).((eq nat n0 n2) \to
 108 ((eq A (ASort h3 n3) a3) \to ((eq A (aplus g (ASort n n0) k0) (aplus g (ASort
 109 h3 n3) k0)) \to (leq g (ASort h1 n1) a3))))) (\lambda (H7: (eq nat n0
 110 n2)).(eq_ind nat n2 (\lambda (n: nat).((eq A (ASort h3 n3) a3) \to ((eq A
 111 (aplus g (ASort h2 n) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0)) \to (leq g (ASort h1
 112 n1) a3)))) (\lambda (H8: (eq A (ASort h3 n3) a3)).(eq_ind A (ASort h3 n3)
 113 (\lambda (a: A).((eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0))
 114 \to (leq g (ASort h1 n1) a))) (\lambda (H9: (eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0)
 115 (aplus g (ASort h3 n3) k0))).(lt_le_e k k0 (leq g (ASort h1 n1) (ASort h3
 116 n3)) (\lambda (H10: (lt k k0)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h1 n1)
 117 (ASort h2 n2) k k H0 (minus k0 k)) in (let H11 \def (eq_ind_r nat (plus
 118 (minus k0 k) k) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) n) (aplus g
 119 (ASort h2 n2) n))) H_y k0 (le_plus_minus_sym k k0 (le_trans k (S k) k0 (le_S
 120 k k (le_n k)) H10))) in (leq_sort g h1 h3 n1 n3 k0 (trans_eq A (aplus g
 121 (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0) H11
 122 H9))))) (\lambda (H10: (le k0 k)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h2 n2)
 123 (ASort h3 n3) k0 k0 H9 (minus k k0)) in (let H11 \def (eq_ind_r nat (plus
 124 (minus k k0) k0) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) n) (aplus g
 125 (ASort h3 n3) n))) H_y k (le_plus_minus_sym k0 k H10)) in (leq_sort g h1 h3
 126 n1 n3 k (trans_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)
 127 (aplus g (ASort h3 n3) k) H0 H11))))))) a3 H8)) n0 (sym_eq nat n0 n2 H7))) h0
 128 (sym_eq nat h0 h2 H6))) H5)) H4 H2))) | (leq_head a0 a4 H2 a5 a6 H3)
 129 \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a0 a5) (ASort h2 n2))).(\lambda (H5:
 130 (eq A (AHead a4 a6) a3)).((let H6 \def (eq_ind A (AHead a0 a5) (\lambda (e:
 131 A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow
 132 False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h2 n2) H4) in (False_ind
 133 ((eq A (AHead a4 a6) a3) \to ((leq g a0 a4) \to ((leq g a5 a6) \to (leq g
 134 (ASort h1 n1) a3)))) H6)) H5 H2 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (ASort h2 n2))
 135 (refl_equal A a3))))))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 136 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: ((\forall (a5: A).((leq g a4 a5) \to (leq g a3
 137 a5))))).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(\lambda (_: (leq g a5
 138 a6)).(\lambda (H3: ((\forall (a7: A).((leq g a6 a7) \to (leq g a5
 139 a7))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (leq g (AHead a4 a6) a0)).(let H5 \def
 140 (match H4 in leq return (\lambda (a: A).(\lambda (a7: A).(\lambda (_: (leq ?
 141 a a7)).((eq A a (AHead a4 a6)) \to ((eq A a7 a0) \to (leq g (AHead a3 a5)
 142 a0)))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H5) \Rightarrow (\lambda (H6: (eq A
 143 (ASort h1 n1) (AHead a4 a6))).(\lambda (H7: (eq A (ASort h2 n2) a0)).((let H8
 144 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 145 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow
 146 False])) I (AHead a4 a6) H6) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) a0) \to ((eq
 147 A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (leq g (AHead a3
 148 a5) a0))) H8)) H7 H5))) | (leq_head a7 a8 H5 a9 a10 H6) \Rightarrow (\lambda
 149 (H7: (eq A (AHead a7 a9) (AHead a4 a6))).(\lambda (H8: (eq A (AHead a8 a10)
 150 a0)).((let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 151 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a9 | (AHead _ a) \Rightarrow a]))
 152 (AHead a7 a9) (AHead a4 a6) H7) in ((let H10 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 153 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a7 |
 154 (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a7 a9) (AHead a4 a6) H7) in (eq_ind A a4
 155 (\lambda (a: A).((eq A a9 a6) \to ((eq A (AHead a8 a10) a0) \to ((leq g a a8)
 156 \to ((leq g a9 a10) \to (leq g (AHead a3 a5) a0)))))) (\lambda (H11: (eq A a9
 157 a6)).(eq_ind A a6 (\lambda (a: A).((eq A (AHead a8 a10) a0) \to ((leq g a4
 158 a8) \to ((leq g a a10) \to (leq g (AHead a3 a5) a0))))) (\lambda (H12: (eq A
 159 (AHead a8 a10) a0)).(eq_ind A (AHead a8 a10) (\lambda (a: A).((leq g a4 a8)
 160 \to ((leq g a6 a10) \to (leq g (AHead a3 a5) a)))) (\lambda (H13: (leq g a4
 161 a8)).(\lambda (H14: (leq g a6 a10)).(leq_head g a3 a8 (H1 a8 H13) a5 a10 (H3
 162 a10 H14)))) a0 H12)) a9 (sym_eq A a9 a6 H11))) a7 (sym_eq A a7 a4 H10))) H9))
 163 H8 H5 H6)))]) in (H5 (refl_equal A (AHead a4 a6)) (refl_equal A
 164 a0))))))))))))) a1 a2 H)))).
 165
 166 theorem leq_ahead_false_1:
 167  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2) a1)
 168 \to (\forall (P: Prop).P))))
 169 \def
 170  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 171 A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 172 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead (ASort n
 173 n0) a2) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 174 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 175 (ASort O n0) a2) (ASort O n0))).(let H1 \def (match H0 in leq return (\lambda
 176 (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (AHead (ASort O
 177 n0) a2)) \to ((eq A a0 (ASort O n0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k
 178 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n1) (AHead (ASort O n0)
 179 a2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))).((let H4 \def (eq_ind
 180 A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop)
 181 with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 182 (AHead (ASort O n0) a2) H2) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))
 183 \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H4))
 184 H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 185 (AHead a0 a4) (AHead (ASort O n0) a2))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5)
 186 (ASort O n0))).((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 187 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a)
 188 \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort O n0) a2) H3) in ((let H6 \def
 189 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 190 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 191 (AHead (ASort O n0) a2) H3) in (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (a: A).((eq A
 192 a4 a2) \to ((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g
 193 a4 a5) \to P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a:
 194 A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g (ASort O n0) a3) \to ((leq
 195 g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0))).(let H9
 196 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 197 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 198 True])) I (ASort O n0) H8) in (False_ind ((leq g (ASort O n0) a3) \to ((leq g
 199 a2 a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 a2 H7))) a0 (sym_eq A a0 (ASort O n0)
 200 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead (ASort O n0) a2))
 201 (refl_equal A (ASort O n0))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g
 202 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead
 203 (ASort (S n1) n0) a2) (ASort (S n1) n0))).(let H1 \def (match H0 in leq
 204 return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a
 205 (AHead (ASort (S n1) n0) a2)) \to ((eq A a0 (ASort (S n1) n0)) \to P)))))
 206 with [(leq_sort h1 h2 n2 n3 k H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1
 207 n2) (AHead (ASort (S n1) n0) a2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n3) (ASort
 208 (S n1) n0))).((let H4 \def (eq_ind A (ASort h1 n2) (\lambda (e: A).(match e
 209 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 210 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H2) in (False_ind
 211 ((eq A (ASort h2 n3) (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n2) k)
 212 (aplus g (ASort h2 n3) k)) \to P)) H4)) H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5
 213 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S n1) n0)
 214 a2))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).((let H5 \def
 215 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 216 [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 217 (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H3) in ((let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 218 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 219 (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H3)
 220 in (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda (a: A).((eq A a4 a2) \to ((eq A
 221 (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g a4 a5) \to
 222 P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a: A).((eq A (AHead
 223 a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g (ASort (S n1) n0) a3) \to ((leq g a a5)
 224 \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).(let H9 \def
 225 (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_:
 226 A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 227 True])) I (ASort (S n1) n0) H8) in (False_ind ((leq g (ASort (S n1) n0) a3)
 228 \to ((leq g a2 a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 a2 H7))) a0 (sym_eq A a0
 229 (ASort (S n1) n0) H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead (ASort
 230 (S n1) n0) a2)) (refl_equal A (ASort (S n1) n0))))))) n H)))))) (\lambda (a:
 231 A).(\lambda (H: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P:
 232 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead
 233 a0 a2) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (leq
 234 g (AHead (AHead a a0) a2) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 235 (match H1 in leq return (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (leq ?
 236 a3 a4)).((eq A a3 (AHead (AHead a a0) a2)) \to ((eq A a4 (AHead a a0)) \to
 237 P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 238 (ASort h1 n1) (AHead (AHead a a0) a2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort h2 n2)
 239 (AHead a a0))).((let H5 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e
 240 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 241 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead (AHead a a0) a2) H3) in (False_ind ((eq A
 242 (ASort h2 n2) (AHead a a0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
 243 (ASort h2 n2) k)) \to P)) H5)) H4 H2))) | (leq_head a3 a4 H2 a5 a6 H3)
 244 \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (AHead (AHead a a0)
 245 a2))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).((let H6 \def (f_equal
 246 A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 247 \Rightarrow a5 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead (AHead a
 248 a0) a2) H4) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 249 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a7 _)
 250 \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead (AHead a a0) a2) H4) in (eq_ind A
 251 (AHead a a0) (\lambda (a7: A).((eq A a5 a2) \to ((eq A (AHead a4 a6) (AHead a
 252 a0)) \to ((leq g a7 a4) \to ((leq g a5 a6) \to P))))) (\lambda (H8: (eq A a5
 253 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a7: A).((eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0)) \to
 254 ((leq g (AHead a a0) a4) \to ((leq g a7 a6) \to P)))) (\lambda (H9: (eq A
 255 (AHead a4 a6) (AHead a a0))).(let H10 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 256 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a6 |
 257 (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0) H9) in ((let H11
 258 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A)
 259 with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead a7 _) \Rightarrow a7])) (AHead a4
 260 a6) (AHead a a0) H9) in (eq_ind A a (\lambda (a7: A).((eq A a6 a0) \to ((leq
 261 g (AHead a a0) a7) \to ((leq g a2 a6) \to P)))) (\lambda (H12: (eq A a6
 262 a0)).(eq_ind A a0 (\lambda (a7: A).((leq g (AHead a a0) a) \to ((leq g a2 a7)
 263 \to P))) (\lambda (H13: (leq g (AHead a a0) a)).(\lambda (_: (leq g a2
 264 a0)).(H a0 H13 P))) a6 (sym_eq A a6 a0 H12))) a4 (sym_eq A a4 a H11))) H10)))
 265 a5 (sym_eq A a5 a2 H8))) a3 (sym_eq A a3 (AHead a a0) H7))) H6)) H5 H2
 266 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (AHead (AHead a a0) a2)) (refl_equal A (AHead a
 267 a0))))))))))) a1)).
 268
 269 theorem leq_ahead_false_2:
 270  \forall (g: G).(\forall (a2: A).(\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a2) a2)
 271 \to (\forall (P: Prop).P))))
 272 \def
 273  \lambda (g: G).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a1:
 274 A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 275 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a1: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 (ASort
 276 n n0)) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 277 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 278 a1 (ASort O n0)) (ASort O n0))).(let H1 \def (match H0 in leq return (\lambda
 279 (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (AHead a1 (ASort
 280 O n0))) \to ((eq A a0 (ASort O n0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k
 281 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n1) (AHead a1 (ASort O
 282 n0)))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))).((let H4 \def (eq_ind
 283 A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop)
 284 with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 285 (AHead a1 (ASort O n0)) H2) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))
 286 \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H4))
 287 H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 288 (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort O n0)))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5)
 289 (ASort O n0))).((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 290 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a)
 291 \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort O n0)) H3) in ((let H6 \def
 292 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 293 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 294 (AHead a1 (ASort O n0)) H3) in (eq_ind A a1 (\lambda (a: A).((eq A a4 (ASort
 295 O n0)) \to ((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g
 296 a4 a5) \to P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 (ASort O n0))).(eq_ind A (ASort O
 297 n0) (\lambda (a: A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g a1 a3) \to
 298 ((leq g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0))).(let
 299 H9 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 300 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 301 True])) I (ASort O n0) H8) in (False_ind ((leq g a1 a3) \to ((leq g (ASort O
 302 n0) a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 (ASort O n0) H7))) a0 (sym_eq A a0 a1
 303 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead a1 (ASort O n0)))
 304 (refl_equal A (ASort O n0))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g
 305 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead
 306 a1 (ASort (S n1) n0)) (ASort (S n1) n0))).(let H1 \def (match H0 in leq
 307 return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a
 308 (AHead a1 (ASort (S n1) n0))) \to ((eq A a0 (ASort (S n1) n0)) \to P)))))
 309 with [(leq_sort h1 h2 n2 n3 k H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1
 310 n2) (AHead a1 (ASort (S n1) n0)))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n3) (ASort
 311 (S n1) n0))).((let H4 \def (eq_ind A (ASort h1 n2) (\lambda (e: A).(match e
 312 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 313 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) H2) in (False_ind
 314 ((eq A (ASort h2 n3) (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n2) k)
 315 (aplus g (ASort h2 n3) k)) \to P)) H4)) H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5
 316 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort (S n1)
 317 n0)))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).((let H5 \def
 318 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 319 [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 320 (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) H3) in ((let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 321 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 322 (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) H3)
 323 in (eq_ind A a1 (\lambda (a: A).((eq A a4 (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A
 324 (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g a4 a5) \to
 325 P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 (ASort (S n1) n0))).(eq_ind A (ASort (S n1) n0)
 326 (\lambda (a: A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a1 a3)
 327 \to ((leq g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1)
 328 n0))).(let H9 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A
 329 return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _
 330 _) \Rightarrow True])) I (ASort (S n1) n0) H8) in (False_ind ((leq g a1 a3)
 331 \to ((leq g (ASort (S n1) n0) a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 (ASort (S n1)
 332 n0) H7))) a0 (sym_eq A a0 a1 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A
 333 (AHead a1 (ASort (S n1) n0))) (refl_equal A (ASort (S n1) n0))))))) n H))))))
 334 (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a) a) \to
 335 (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall (a1:
 336 A).((leq g (AHead a1 a0) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a1:
 337 A).(\lambda (H1: (leq g (AHead a1 (AHead a a0)) (AHead a a0))).(\lambda (P:
 338 Prop).(let H2 \def (match H1 in leq return (\lambda (a3: A).(\lambda (a4:
 339 A).(\lambda (_: (leq ? a3 a4)).((eq A a3 (AHead a1 (AHead a a0))) \to ((eq A
 340 a4 (AHead a a0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H2) \Rightarrow
 341 (\lambda (H3: (eq A (ASort h1 n1) (AHead a1 (AHead a a0)))).(\lambda (H4: (eq
 342 A (ASort h2 n2) (AHead a a0))).((let H5 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda
 343 (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 344 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 (AHead a a0))
 345 H3) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (AHead a a0)) \to ((eq A (aplus g
 346 (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H5)) H4 H2))) | (leq_head
 347 a3 a4 H2 a5 a6 H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (AHead a1
 348 (AHead a a0)))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).((let H6
 349 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A)
 350 with [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a3
 351 a5) (AHead a1 (AHead a a0)) H4) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 352 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 |
 353 (AHead a7 _) \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead a1 (AHead a a0)) H4) in
 354 (eq_ind A a1 (\lambda (a7: A).((eq A a5 (AHead a a0)) \to ((eq A (AHead a4
 355 a6) (AHead a a0)) \to ((leq g a7 a4) \to ((leq g a5 a6) \to P))))) (\lambda
 356 (H8: (eq A a5 (AHead a a0))).(eq_ind A (AHead a a0) (\lambda (a7: A).((eq A
 357 (AHead a4 a6) (AHead a a0)) \to ((leq g a1 a4) \to ((leq g a7 a6) \to P))))
 358 (\lambda (H9: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).(let H10 \def (f_equal A A
 359 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 360 \Rightarrow a6 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0)
 361 H9) in ((let H11 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return
 362 (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead a7 _)
 363 \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0) H9) in (eq_ind A a (\lambda (a7:
 364 A).((eq A a6 a0) \to ((leq g a1 a7) \to ((leq g (AHead a a0) a6) \to P))))
 365 (\lambda (H12: (eq A a6 a0)).(eq_ind A a0 (\lambda (a7: A).((leq g a1 a) \to
 366 ((leq g (AHead a a0) a7) \to P))) (\lambda (_: (leq g a1 a)).(\lambda (H14:
 367 (leq g (AHead a a0) a0)).(H0 a H14 P))) a6 (sym_eq A a6 a0 H12))) a4 (sym_eq
 368 A a4 a H11))) H10))) a5 (sym_eq A a5 (AHead a a0) H8))) a3 (sym_eq A a3 a1
 369 H7))) H6)) H5 H2 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (AHead a1 (AHead a a0)))
 370 (refl_equal A (AHead a a0))))))))))) a2)).
 371