helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "lift/defs.ma".
  18
  19 theorem lift_sort:
  20  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(eq T (lift h d (TSort
  21 n)) (TSort n))))
  22 \def
  23  \lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort
  24 n)))).
  25
  26 theorem lift_lref_lt:
  27  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (eq T
  28 (lift h d (TLRef n)) (TLRef n)))))
  29 \def
  30  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (lt n
  31 d)).(eq_ind bool true (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  32 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef n))) (refl_equal T
  33 (TLRef n)) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) true (lt_blt d n H)))))).
  34
  35 theorem lift_lref_ge:
  36  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((le d n) \to (eq T
  37 (lift h d (TLRef n)) (TLRef (plus n h))))))
  38 \def
  39  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (le d
  40 n)).(eq_ind bool false (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  41 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef (plus n h))))
  42 (refl_equal T (TLRef (plus n h))) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) false
  43 (le_bge d n H)))))).
  44
  45 theorem lift_head:
  46  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  47 (d: nat).(eq T (lift h d (THead k u t)) (THead k (lift h d u) (lift h (s k d)
  48 t)))))))
  49 \def
  50  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  51 (d: nat).(refl_equal T (THead k (lift h d u) (lift h (s k d) t))))))).
  52
  53 theorem lift_bind:
  54  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  55 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Bind b) u t)) (THead (Bind b) (lift h d u)
  56 (lift h (S d) t)))))))
  57 \def
  58  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  59 (d: nat).(refl_equal T (THead (Bind b) (lift h d u) (lift h (S d) t))))))).
  60
  61 theorem lift_flat:
  62  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  63 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Flat f) u t)) (THead (Flat f) (lift h d u)
  64 (lift h d t)))))))
  65 \def
  66  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  67 (d: nat).(refl_equal T (THead (Flat f) (lift h d u) (lift h d t))))))).
  68
  69 theorem lift_gen_sort:
  70  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq T
  71 (TSort n) (lift h d t)) \to (eq T t (TSort n))))))
  72 \def
  73  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(T_ind
  74 (\lambda (t0: T).((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))
  75 (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (lift h d (TSort
  76 n0)))).(sym_eq T (TSort n) (TSort n0) H))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H:
  77 (eq T (TSort n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TSort
  78 n)) (\lambda (H0: (lt n0 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
  79 (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d H0))
  80 in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
  81 t0)).((eq T t0 (TLRef n0)) \to (eq T (TLRef n0) (TSort n))))) with
  82 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (TSort n) (TLRef n0))).(let H3
  83 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
  84 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  85 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0) H2) in (False_ind (eq T
  86 (TLRef n0) (TSort n)) H3)))]) in (H2 (refl_equal T (TLRef n0)))))) (\lambda
  87 (H0: (le d n0)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0:
  88 T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d H0)) in
  89 (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
  90 t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n0 h))) \to (eq T (TLRef n0) (TSort n))))) with
  91 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (TSort n) (TLRef (plus n0
  92 h)))).(let H3 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (e: T).(match e in T return
  93 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
  94 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef (plus n0 h))
  95 H2) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
  96 (TLRef (plus n0 h)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  97 (((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))).(\lambda (t1:
  98 T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n) (lift h d t1)) \to (eq T t1 (TSort
  99 n))))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2
 100 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 101 t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d))
 102 in (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 103 t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to (eq T (THead
 104 k t0 t1) (TSort n))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T
 105 (TSort n) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H4 \def (eq_ind
 106 T (TSort n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 107 [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 108 \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in
 109 (False_ind (eq T (THead k t0 t1) (TSort n)) H4)))]) in (H3 (refl_equal T
 110 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))) t)))).
 111
 112 theorem lift_gen_lref:
 113  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
 114 (TLRef i) (lift h d t)) \to (or (land (lt i d) (eq T t (TLRef i))) (land (le
 115 (plus d h) i) (eq T t (TLRef (minus i h)))))))))
 116 \def
 117  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(\forall (h:
 118 nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to (or (land (lt i d)
 119 (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0 (TLRef (minus i
 120 h)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda
 121 (i: nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def
 122 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TSort
 123 n) (lift_sort n h d)) in (let H1 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee:
 124 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 125 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 126 (TSort n) H0) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (TSort n) (TLRef i)))
 127 (land (le (plus d h) i) (eq T (TSort n) (TLRef (minus i h))))) H1))))))))
 128 (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 129 nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (or
 130 (land (lt i d) (eq T (TLRef n) (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T
 131 (TLRef n) (TLRef (minus i h))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind
 132 T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TLRef n)
 133 (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 134 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow i |
 135 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef
 136 n) H1) in (eq_ind_r nat n (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef
 137 n) (TLRef n0))) (land (le (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0
 138 h)))))) (or_introl (land (lt n d) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (land (le (plus
 139 d h) n) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n h)))) (conj (lt n d) (eq T (TLRef n)
 140 (TLRef n)) H0 (refl_equal T (TLRef n)))) i H2)))) (\lambda (H0: (le d
 141 n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef
 142 i) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def
 143 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 144 [(TSort _) \Rightarrow i | (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _)
 145 \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef (plus n h)) H1) in (eq_ind_r nat (plus n h)
 146 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef n) (TLRef n0))) (land (le
 147 (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0 h)))))) (eq_ind_r nat n
 148 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n
 149 h)))) (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n0)))))
 150 (or_intror (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n h)))) (land
 151 (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (conj (le (plus d h)
 152 (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n)) (plus_le_compat d n h h H0 (le_n h))
 153 (refl_equal T (TLRef n)))) (minus (plus n h) h) (minus_plus_r n h)) i
 154 H2)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 155 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to
 156 (or (land (lt i d) (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0
 157 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 158 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t1)) \to
 159 (or (land (lt i d) (eq T t1 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t1
 160 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 161 nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def
 162 (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef i) t2)) H1
 163 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let
 164 H3 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 165 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 166 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 167 t1)) H2) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef i)))
 168 (land (le (plus d h) i) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef (minus i h)))))
 169 H3)))))))))))) t).
 170
 171 theorem lift_gen_lref_lt:
 172  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt n d) \to (\forall
 173 (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 174 \def
 175  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n
 176 d)).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t0))
 177 \to (eq T t0 (TLRef n)))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n)
 178 (lift h d (TSort n0)))).(sym_eq T (TLRef n) (TSort n0) H0))) (\lambda (n0:
 179 nat).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq
 180 T (TLRef n0) (TLRef n)) (\lambda (H1: (lt n0 d)).(let H2 \def (eq_ind T (lift
 181 h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0)) H0 (TLRef n0)
 182 (lift_lref_lt n0 h d H1)) in (sym_eq T (TLRef n) (TLRef n0) H2))) (\lambda
 183 (H1: (le d n0)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0:
 184 T).(eq T (TLRef n) t0)) H0 (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d H1)) in
 185 (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 186 t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n0 h))) \to (eq T (TLRef n0) (TLRef n))))) with
 187 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n0
 188 h)))).(let H4 \def (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return
 189 (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n | (TLRef n1) \Rightarrow
 190 n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef (plus n0 h)) H3) in
 191 (eq_ind nat (plus n0 h) (\lambda (n1: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n1))) (let
 192 H5 \def (eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(lt n1 d)) H (plus n0 h) H4) in
 193 (le_false d n0 (eq T (TLRef n0) (TLRef (plus n0 h))) H1 (lt_le_S n0 d
 194 (lt_le_trans n0 (S (plus n0 h)) d (le_lt_n_Sm n0 (plus n0 h) (le_plus_l n0
 195 h)) (lt_le_S (plus n0 h) d H5))))) n (sym_eq nat n (plus n0 h) H4))))]) in
 196 (H3 (refl_equal T (TLRef (plus n0 h)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
 197 T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TLRef
 198 n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef n) (lift h d t1)) \to (eq
 199 T t1 (TLRef n))))).(\lambda (H2: (eq T (TLRef n) (lift h d (THead k t0
 200 t1)))).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq
 201 T (TLRef n) t2)) H2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k
 202 t0 t1 h d)) in (let H4 \def (match H3 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda
 203 (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to
 204 (eq T (THead k t0 t1) (TLRef n))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 205 (H4: (eq T (TLRef n) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H5
 206 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 207 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 208 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 209 t1)) H4) in (False_ind (eq T (THead k t0 t1) (TLRef n)) H5)))]) in (H4
 210 (refl_equal T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))) t))))).
 211
 212 theorem lift_gen_lref_false:
 213  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to ((lt n
 214 (plus d h)) \to (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (\forall
 215 (P: Prop).P)))))))
 216 \def
 217  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 218 n)).(\lambda (H0: (lt n (plus d h))).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0:
 219 T).((eq T (TLRef n) (lift h d t0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (n0:
 220 nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef n) (lift h d (TSort n0)))).(\lambda (P:
 221 Prop).(let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ?
 222 ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort n0))) \to P))) with [refl_equal \Rightarrow
 223 (\lambda (H2: (eq T (TLRef n) (lift h d (TSort n0)))).(let H3 \def (eq_ind T
 224 (TLRef n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 225 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _)
 226 \Rightarrow False])) I (lift h d (TSort n0)) H2) in (False_ind P H3)))]) in
 227 (H2 (refl_equal T (lift h d (TSort n0)))))))) (\lambda (n0: nat).(\lambda
 228 (H1: (eq T (TLRef n) (lift h d (TLRef n0)))).(\lambda (P: Prop).(lt_le_e n0 d
 229 P (\lambda (H2: (lt n0 d)).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
 230 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0)) H1 (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d H2))
 231 in (let H4 \def (match H3 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 232 t0)).((eq T t0 (TLRef n0)) \to P))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 233 (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef n0))).(let H5 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 234 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 235 (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 236 n0) H4) in (eq_ind nat n0 (\lambda (_: nat).P) (let H6 \def (eq_ind_r nat n0
 237 (\lambda (n1: nat).(lt n1 d)) H2 n H5) in (le_false d n P H H6)) n (sym_eq
 238 nat n n0 H5))))]) in (H4 (refl_equal T (TLRef n0)))))) (\lambda (H2: (le d
 239 n0)).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T
 240 (TLRef n) t0)) H1 (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d H2)) in (let H4
 241 \def (match H3 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T
 242 t0 (TLRef (plus n0 h))) \to P))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H4:
 243 (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n0 h)))).(let H5 \def (f_equal T nat (\lambda
 244 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow
 245 n | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n)
 246 (TLRef (plus n0 h)) H4) in (eq_ind nat (plus n0 h) (\lambda (_: nat).P) (let
 247 H6 \def (eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(lt n1 (plus d h))) H0 (plus n0 h)
 248 H5) in (le_false d n0 P H2 (lt_le_S n0 d (simpl_lt_plus_r h n0 d H6)))) n
 249 (sym_eq nat n (plus n0 h) H5))))]) in (H4 (refl_equal T (TLRef (plus n0
 250 h))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef n)
 251 (lift h d t0)) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_:
 252 (((eq T (TLRef n) (lift h d t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H3:
 253 (eq T (TLRef n) (lift h d (THead k t0 t1)))).(\lambda (P: Prop).(let H4 \def
 254 (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) t2)) H3
 255 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let
 256 H5 \def (match H4 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 257 t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to P))) with
 258 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H5: (eq T (TLRef n) (THead k (lift h d t0)
 259 (lift h (s k d) t1)))).(let H6 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (e:
 260 T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 261 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 262 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H5) in (False_ind P H6)))]) in
 263 (H5 (refl_equal T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))))
 264 t)))))).
 265
 266 theorem lift_gen_lref_ge:
 267  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to (\forall
 268 (t: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 269 \def
 270  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 271 n)).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h
 272 d t0)) \to (eq T t0 (TLRef n)))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq T
 273 (TLRef (plus n h)) (lift h d (TSort n0)))).(let H1 \def (match H0 in eq
 274 return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort
 275 n0))) \to (eq T (TSort n0) (TLRef n))))) with [refl_equal \Rightarrow
 276 (\lambda (H1: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d (TSort n0)))).(let H2 \def
 277 (eq_ind T (TLRef (plus n h)) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 278 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 279 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (lift h d (TSort n0)) H1) in (False_ind
 280 (eq T (TSort n0) (TLRef n)) H2)))]) in (H1 (refl_equal T (lift h d (TSort
 281 n0))))))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 282 (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TLRef n)) (\lambda (H1: (lt n0
 283 d)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T
 284 (TLRef (plus n h)) t0)) H0 (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d H1)) in (let H3
 285 \def (match H2 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T
 286 t0 (TLRef n0)) \to (eq T (TLRef n0) (TLRef n))))) with [refl_equal
 287 \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (TLRef (plus n h)) (TLRef n0))).(let H4 \def
 288 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 289 [(TSort _) \Rightarrow ((let rec plus (n1: nat) on n1: (nat \to nat) \def
 290 (\lambda (m: nat).(match n1 with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S
 291 (plus p m))])) in plus) n h) | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _)
 292 \Rightarrow ((let rec plus (n1: nat) on n1: (nat \to nat) \def (\lambda (m:
 293 nat).(match n1 with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in
 294 plus) n h)])) (TLRef (plus n h)) (TLRef n0) H3) in (eq_ind nat (plus n h)
 295 (\lambda (n1: nat).(eq T (TLRef n1) (TLRef n))) (let H5 \def (eq_ind_r nat n0
 296 (\lambda (n1: nat).(lt n1 d)) H1 (plus n h) H4) in (le_false d n (eq T (TLRef
 297 (plus n h)) (TLRef n)) H (lt_le_S n d (simpl_lt_plus_r h n d (lt_le_trans
 298 (plus n h) d (plus d h) H5 (le_plus_l d h)))))) n0 H4)))]) in (H3 (refl_equal
 299 T (TLRef n0)))))) (\lambda (H1: (le d n0)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d
 300 (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n h)) t0)) H0 (TLRef (plus n0
 301 h)) (lift_lref_ge n0 h d H1)) in (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda
 302 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n0 h))) \to (eq T
 303 (TLRef n0) (TLRef n))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T
 304 (TLRef (plus n h)) (TLRef (plus n0 h)))).(let H4 \def (f_equal T nat (\lambda
 305 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow
 306 ((let rec plus (n1: nat) on n1: (nat \to nat) \def (\lambda (m: nat).(match
 307 n1 with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in plus) n h)
 308 | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow ((let rec plus (n1:
 309 nat) on n1: (nat \to nat) \def (\lambda (m: nat).(match n1 with [O
 310 \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in plus) n h)])) (TLRef
 311 (plus n h)) (TLRef (plus n0 h)) H3) in (eq_ind nat (plus n h) (\lambda (_:
 312 nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef n0 n (simpl_plus_r h
 313 n0 n (sym_eq nat (plus n h) (plus n0 h) H4))) (plus n0 h) H4)))]) in (H3
 314 (refl_equal T (TLRef (plus n0 h)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
 315 T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TLRef
 316 n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 317 t1)) \to (eq T t1 (TLRef n))))).(\lambda (H2: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift
 318 h d (THead k t0 t1)))).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1))
 319 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h)) t2)) H2 (THead k (lift h d t0)
 320 (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H4 \def (match H3 in eq
 321 return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2 (THead k (lift h
 322 d t0) (lift h (s k d) t1))) \to (eq T (THead k t0 t1) (TLRef n))))) with
 323 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H4: (eq T (TLRef (plus n h)) (THead k (lift
 324 h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H5 \def (eq_ind T (TLRef (plus n h))
 325 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 326 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 327 False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H4) in (False_ind (eq
 328 T (THead k t0 t1) (TLRef n)) H5)))]) in (H4 (refl_equal T (THead k (lift h d
 329 t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))) t))))).
 330
 331 theorem lift_gen_head:
 332  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 333 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T T
 334 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead k y z)))) (\lambda (y:
 335 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 336 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))))
 337 \def
 338  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 339 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 340 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 341 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 342 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))))))) (\lambda (n:
 343 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t)
 344 (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (match H in eq return (\lambda (t0:
 345 T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort n))) \to (ex3_2 T T
 346 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 347 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 348 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 349 (H0: (eq T (THead k u t) (lift h d (TSort n)))).(let H1 \def (eq_ind T (THead
 350 k u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 351 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 352 \Rightarrow True])) I (lift h d (TSort n)) H0) in (False_ind (ex3_2 T T
 353 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 354 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 355 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (lift h d
 356 (TSort n))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 357 nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d
 358 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z))))
 359 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 360 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) (\lambda (H0: (lt n
 361 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead
 362 k u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in
 363 eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef n)) \to
 364 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z))))
 365 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 366 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))) with [refl_equal
 367 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead k u t) (TLRef n))).(let H3 \def
 368 (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 369 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 370 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H2) in (False_ind (ex3_2 T T
 371 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 372 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 373 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T (TLRef n))))))
 374 (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda
 375 (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d
 376 H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq
 377 ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n h))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 378 T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 379 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 380 h (s k d) z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead k
 381 u t) (TLRef (plus n h)))).(let H3 \def (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (e:
 382 T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 383 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 384 (TLRef (plus n h)) H2) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 385 T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u
 386 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d)
 387 z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T (TLRef (plus n h)))))))))))) (\lambda
 388 (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 389 nat).((eq T (THead k u t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 390 T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 391 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s
 392 k d) z)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall
 393 (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 394 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 395 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s
 396 k d) z)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T
 397 (THead k u t) (lift h d (THead k0 t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d
 398 (THead k0 t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k u t) t2)) H1 (THead k0
 399 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (let H3 \def
 400 (match H2 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2
 401 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 402 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 403 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 404 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 405 (H3: (eq T (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)))).(let
 406 H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 407 with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2)
 408 \Rightarrow t2])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 409 H3) in ((let H5 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 410 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u |
 411 (THead _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift
 412 h (s k0 d) t1)) H3) in ((let H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in
 413 T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 414 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k u t) (THead k0
 415 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H3) in (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq
 416 T u (lift h d t0)) \to ((eq T t (lift h (s k0 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda
 417 (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead k1 y z)))) (\lambda (y:
 418 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 419 T).(eq T t (lift h (s k1 d) z)))))))) (\lambda (H7: (eq T u (lift h d
 420 t0))).(eq_ind T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).((eq T t (lift h (s k0 d) t1))
 421 \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead
 422 k0 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d y)))) (\lambda
 423 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k0 d) z))))))) (\lambda (H8: (eq T
 424 t (lift h (s k0 d) t1))).(eq_ind T (lift h (s k0 d) t1) (\lambda (t2:
 425 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead
 426 k0 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0) (lift h d
 427 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h (s k0 d) z))))))
 428 (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1)
 429 (THead k0 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0) (lift h
 430 d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k0 d) t1) (lift h (s
 431 k0 d) z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead k0 t0 t1)) (refl_equal T (lift h d
 432 t0)) (refl_equal T (lift h (s k0 d) t1))) t (sym_eq T t (lift h (s k0 d) t1)
 433 H8))) u (sym_eq T u (lift h d t0) H7))) k (sym_eq K k k0 H6))) H5)) H4)))])
 434 in (H3 (refl_equal T (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d)
 435 t1)))))))))))))) x)))).
 436
 437 theorem lift_gen_bind:
 438  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 439 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 440 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 441 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 442 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))))
 443 \def
 444  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 445 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u
 446 t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0
 447 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 448 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))
 449 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
 450 (THead (Bind b) u t) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (match H in eq
 451 return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort
 452 n))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead
 453 (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y))))
 454 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with
 455 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d
 456 (TSort n)))).(let H1 \def (eq_ind T (THead (Bind b) u t) (\lambda (e:
 457 T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 458 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 459 (lift h d (TSort n)) H0) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda
 460 (z: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 461 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S
 462 d) z))))) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (lift h d (TSort n))))))))) (\lambda
 463 (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind
 464 b) u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (ex3_2 T T (\lambda (y:
 465 T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y:
 466 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 467 T).(eq T t (lift h (S d) z))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind
 468 T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Bind b) u t) t0)) H
 469 (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return
 470 (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef n)) \to (ex3_2 T
 471 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z))))
 472 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 473 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with [refl_equal
 474 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead (Bind b) u t) (TLRef n))).(let H3 \def
 475 (eq_ind T (THead (Bind b) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 476 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 477 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H2) in (False_ind (ex3_2 T T
 478 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z))))
 479 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 480 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
 481 (TLRef n)))))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 482 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Bind b) u t) t0)) H (TLRef (plus n
 483 h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda
 484 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n h))) \to (ex3_2 T
 485 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z))))
 486 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 487 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with [refl_equal
 488 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead (Bind b) u t) (TLRef (plus n
 489 h)))).(let H3 \def (eq_ind T (THead (Bind b) u t) (\lambda (e: T).(match e in
 490 T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 491 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h))
 492 H2) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n)
 493 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 494 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z))))) H3)))]) in
 495 (H2 (refl_equal T (TLRef (plus n h)))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
 496 T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u
 497 t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0
 498 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 499 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d)
 500 z)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 501 nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 502 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 503 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 504 h (S d) z)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T
 505 (THead (Bind b) u t) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T
 506 (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) u t) t2))
 507 H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in
 508 (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 509 t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to (ex3_2 T T
 510 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead (Bind b) y z))))
 511 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 512 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with [refl_equal
 513 \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (THead (Bind b) u t) (THead k (lift h d t0)
 514 (lift h (s k d) t1)))).(let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in
 515 T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _)
 516 \Rightarrow t | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead (Bind b) u t) (THead
 517 k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let H5 \def (f_equal T T
 518 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 519 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 520 (THead (Bind b) u t) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let
 521 H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K)
 522 with [(TSort _) \Rightarrow (Bind b) | (TLRef _) \Rightarrow (Bind b) |
 523 (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead (Bind b) u t) (THead k (lift h d t0)
 524 (lift h (s k d) t1)) H3) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).((eq T u
 525 (lift h d t0)) \to ((eq T t (lift h (s k0 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 526 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 527 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 528 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) (\lambda (H7: (eq T u (lift h d
 529 t0))).(eq_ind T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).((eq T t (lift h (s (Bind b)
 530 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b)
 531 t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift
 532 h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))
 533 (\lambda (H8: (eq T t (lift h (s (Bind b) d) t1))).(eq_ind T (lift h (s (Bind
 534 b) d) t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 535 (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 536 T).(eq T (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 537 t2 (lift h (S d) z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq
 538 T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 539 T).(eq T (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 540 (lift h (s (Bind b) d) t1) (lift h (S d) z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead
 541 (Bind b) t0 t1)) (refl_equal T (lift h d t0)) (refl_equal T (lift h (S d)
 542 t1))) t (sym_eq T t (lift h (s (Bind b) d) t1) H8))) u (sym_eq T u (lift h d
 543 t0) H7))) k H6)) H5)) H4)))]) in (H3 (refl_equal T (THead k (lift h d t0)
 544 (lift h (s k d) t1)))))))))))))) x)))).
 545
 546 theorem lift_gen_flat:
 547  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 548 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 549 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 550 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 551 T).(eq T t (lift h d z)))))))))))
 552 \def
 553  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 554 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u
 555 t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0
 556 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 557 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))))))) (\lambda
 558 (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat
 559 f) u t) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (match H in eq return (\lambda
 560 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort n))) \to (ex3_2
 561 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead (Flat f) y z))))
 562 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 563 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow
 564 (\lambda (H0: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d (TSort n)))).(let H1 \def
 565 (eq_ind T (THead (Flat f) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 566 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 567 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (lift h d (TSort n)) H0) in (False_ind
 568 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead (Flat f) y
 569 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 570 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) H1)))]) in (H0 (refl_equal T
 571 (lift h d (TSort n))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 572 nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e
 573 n d (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat
 574 f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 575 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let
 576 H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Flat f)
 577 u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in
 578 eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef n)) \to
 579 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y
 580 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 581 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow
 582 (\lambda (H2: (eq T (THead (Flat f) u t) (TLRef n))).(let H3 \def (eq_ind T
 583 (THead (Flat f) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 584 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 585 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H2) in (False_ind (ex3_2 T T
 586 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y z))))
 587 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 588 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
 589 (TLRef n)))))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 590 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Flat f) u t) t0)) H (TLRef (plus n
 591 h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda
 592 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n h))) \to (ex3_2 T
 593 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y z))))
 594 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 595 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow
 596 (\lambda (H2: (eq T (THead (Flat f) u t) (TLRef (plus n h)))).(let H3 \def
 597 (eq_ind T (THead (Flat f) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 598 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 599 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h)) H2) in (False_ind
 600 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y
 601 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 602 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
 603 (TLRef (plus n h)))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 604 ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 605 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Flat f)
 606 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 607 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
 608 (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h
 609 d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat
 610 f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 611 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))))).(\lambda (h:
 612 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 613 (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda
 614 (t2: T).(eq T (THead (Flat f) u t) t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s
 615 k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H3 \def (match H2 in eq return
 616 (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0)
 617 (lift h (s k d) t1))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 618 (THead k t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 619 u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))))))
 620 with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (THead (Flat f) u t) (THead
 621 k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 622 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t |
 623 (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead (Flat f) u
 624 t) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let H5 \def (f_equal
 625 T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 626 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 627 (THead (Flat f) u t) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let
 628 H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K)
 629 with [(TSort _) \Rightarrow (Flat f) | (TLRef _) \Rightarrow (Flat f) |
 630 (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead (Flat f) u t) (THead k (lift h d t0)
 631 (lift h (s k d) t1)) H3) in (eq_ind K (Flat f) (\lambda (k0: K).((eq T u
 632 (lift h d t0)) \to ((eq T t (lift h (s k0 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 633 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 634 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 635 T).(eq T t (lift h d z)))))))) (\lambda (H7: (eq T u (lift h d t0))).(eq_ind
 636 T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).((eq T t (lift h (s (Flat f) d) t1)) \to
 637 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Flat f) t0 t1)
 638 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d
 639 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))))) (\lambda
 640 (H8: (eq T t (lift h (s (Flat f) d) t1))).(eq_ind T (lift h (s (Flat f) d)
 641 t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 642 (Flat f) t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 643 (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift
 644 h d z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 645 (Flat f) t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 646 (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h
 647 (s (Flat f) d) t1) (lift h d z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead (Flat f) t0
 648 t1)) (refl_equal T (lift h d t0)) (refl_equal T (lift h d t1))) t (sym_eq T t
 649 (lift h (s (Flat f) d) t1) H8))) u (sym_eq T u (lift h d t0) H7))) k H6))
 650 H5)) H4)))]) in (H3 (refl_equal T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 651 t1)))))))))))))) x)))).
 652