helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "tlist/defs.ma".
  18
  19 include "lift/fwd.ma".
  20
  21 include "s/props.ma".
  22
  23 theorem thead_x_lift_y_y:
  24  \forall (k: K).(\forall (t: T).(\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall
  25 (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t)) t) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  26 \def
  27  \lambda (k: K).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (v:
  28 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t0)) t0)
  29 \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  30 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k v (lift h d (TSort n)))
  31 (TSort n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead k v (lift h d
  32 (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
  33 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
  34 \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
  35 nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
  36 (THead k v (lift h d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  37 (eq_ind T (THead k v (lift h d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
  38 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
  39 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
  40 (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  41 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  42 h d t0)) t0) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0:
  43 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  44 h d t1)) t1) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  45 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  46 t1))) (THead k0 t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K
  47 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
  48 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
  49 (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in ((let H3 \def
  50 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  51 [(TSort _) \Rightarrow v | (TLRef _) \Rightarrow v | (THead _ t2 _)
  52 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  53 H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  54 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map
  55 (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort
  56 n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0)
  57 with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  58 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  59 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat
  60 \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort n)
  61 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
  62 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  63 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  64 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (TLRef _) \Rightarrow
  65 (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T
  66 \def (match t2 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow
  67 (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f
  68 i)])) | (THead k1 u t3) \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f
  69 (s k1 d0) t3))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec
  70 lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with
  71 [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i
  72 d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  73 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  74 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (THead _ _ t2)
  75 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  76 H1) in (\lambda (_: (eq T v t0)).(\lambda (H6: (eq K k k0)).(let H7 \def
  77 (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(\forall (v0: T).(\forall (h0: nat).(\forall
  78 (d0: nat).((eq T (THead k1 v0 (lift h0 d0 t1)) t1) \to (\forall (P0:
  79 Prop).P0)))))) H0 k0 H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0
  80 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 t1)) H4 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0
  81 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (H7 (lift h d t0) h (s k0 d) H8 P))))))
  82 H3)) H2)))))))))))) t)).
  83
  84 theorem lift_r:
  85  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t) t))
  86 \def
  87  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  88 t0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort n)))) (\lambda
  89 (n: nat).(\lambda (d: nat).(lt_le_e n d (eq T (lift O d (TLRef n)) (TLRef n))
  90 (\lambda (H: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef
  91 n))) (refl_equal T (TLRef n)) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_lt n O d H)))
  92 (\lambda (H: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n O)) (\lambda (t0: T).(eq T
  93 t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (plus n O) n (sym_eq nat n (plus n O)
  94 (plus_n_O n))) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_ge n O d H)))))) (\lambda (k:
  95 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  96 t0)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t1)
  97 t1)))).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d)
  98 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (THead k t0 t1))) (f_equal3 K T T T THead k k
  99 (lift O d t0) t0 (lift O (s k d) t1) t1 (refl_equal K k) (H d) (H0 (s k d)))
 100 (lift O d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 O d)))))))) t).
 101
 102 theorem lift_lref_gt:
 103  \forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt d n) \to (eq T (lift (S O) d (TLRef
 104 (pred n))) (TLRef n))))
 105 \def
 106  \lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 107 (plus (pred n) (S O))) (\lambda (t: T).(eq T t (TLRef n))) (eq_ind nat (plus
 108 (S O) (pred n)) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (eq_ind nat n
 109 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) (S
 110 (pred n)) (S_pred n d H)) (plus (pred n) (S O)) (plus_comm (S O) (pred n)))
 111 (lift (S O) d (TLRef (pred n))) (lift_lref_ge (pred n) (S O) d (le_S_n d
 112 (pred n) (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le (S d) n0)) H (S (pred n))
 113 (S_pred n d H))))))).
 114
 115 theorem lifts_tapp:
 116  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (v: T).(\forall (vs: TList).(eq
 117 TList (lifts h d (TApp vs v)) (TApp (lifts h d vs) (lift h d v))))))
 118 \def
 119  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (vs:
 120 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq TList (lifts h d (TApp t v)) (TApp
 121 (lifts h d t) (lift h d v)))) (refl_equal TList (TCons (lift h d v) TNil))
 122 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq TList (lifts h d (TApp
 123 t0 v)) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))).(eq_ind_r TList (TApp (lifts h d
 124 t0) (lift h d v)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift h d t) t1)
 125 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v))))) (refl_equal TList
 126 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))) (lifts h d (TApp t0
 127 v)) H)))) vs)))).
 128
 129 theorem lift_inj:
 130  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 131 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 132 \def
 133  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 134 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 135 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 136 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 137 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 138 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 139 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 140 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 141 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 142 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 143 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 144 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 145 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 146 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 147 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 148 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 149 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t1:
 150 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1))
 151 \to (eq T t0 t1)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 152 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 153 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 154 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 155 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 156 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 157 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 158 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 159 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 160 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 161 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 162 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 163 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 164 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 165 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 166 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 167 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 168 (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) t x0 t0 x1 (refl_equal K (Bind b))
 169 (H x0 h d H4) (H0 x1 h (S d) H5)) t1 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t)
 170 (lift h (S d) t0) t1 h d H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t:
 171 T).(\lambda (H: ((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 172 (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 173 (H0: ((\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d
 174 t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h:
 175 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 176 (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 177 (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1 (THead (Flat f) (lift h d t)
 178 (lift h d t0)) (lift_flat f t t0 h d)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y:
 179 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 180 (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq
 181 T (lift h d t0) (lift h d z)))) (eq T (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0:
 182 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 183 (H4: (eq T (lift h d t) (lift h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0)
 184 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T
 185 (THead (Flat f) t t0) t2)) (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat f) t x0 t0
 186 x1 (refl_equal K (Flat f)) (H x0 h d H4) (H0 x1 h d H5)) t1 H3))))))
 187 (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 188
 189 theorem lift_gen_lift:
 190  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 191 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 192 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 193 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 194 \def
 195  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 196 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 197 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 198 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 199 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 200 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 201 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 202 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 203 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 204 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 205 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 206 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 207 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 208 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 209 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 210 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 211 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 212 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 213 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 214 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 215 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 216 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 217 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 218 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 219 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 220 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 221 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 222 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 223 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 224 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 225 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 226 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 227 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 228 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 229 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 230 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 231 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 232 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 233 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 234 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 235 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 236 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 237 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 238 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 239 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (plus_lt_compat_r n d2 h1 H3) x
 240 H2))) (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2:
 241 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2
 242 t2)))) (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2
 243 h1) (plus n h1) (plus_le_compat d2 n h1 h1 H3 (le_n h1)) (eq_ind_r nat (plus
 244 (plus d2 h2) h1) (\lambda (n0: nat).(lt (plus n h1) n0)) (plus_lt_compat_r n
 245 (plus d2 h2) h1 H4) (plus (plus d2 h1) h2) (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x
 246 H2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 247 (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))) (\lambda (H4: (le (plus d2 h2) n)).(let H5
 248 \def (eq_ind nat (plus n h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2
 249 (plus d2 h1) x))) H2 (plus (minus (plus n h1) h2) h2) (le_plus_minus_sym h2
 250 (plus n h1) (le_plus_trans h2 n h1 (le_trans h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2
 251 h2) H4)))) in (eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (\lambda (t: T).(ex2
 252 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 253 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (minus (plus n
 254 h1) h2)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))
 255 (TLRef (minus n h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h1) (\lambda (n0:
 256 nat).(eq T (TLRef n0) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))))) (eq_ind_r T (TLRef
 257 (plus (minus n h2) h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h1))
 258 t)) (refl_equal T (TLRef (plus (minus n h2) h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n
 259 h2))) (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H
 260 (le_minus d2 n h2 H4)))) (minus (plus n h1) h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans
 261 h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2)
 262 h2) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef (minus n0 h2)))))
 263 (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)) (\lambda (t:
 264 T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (f_equal nat T TLRef (plus (minus
 265 n h2) h2) (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2) (f_equal2 nat nat nat
 266 plus (minus n h2) (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 h2 (sym_eq nat (minus
 267 (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) (minus_plus_r (minus n h2) h2))
 268 (refl_equal nat h2))) (lift h2 d2 (TLRef (minus (plus (minus n h2) h2) h2)))
 269 (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 d2 (le_minus d2 (plus
 270 (minus n h2) h2) h2 (plus_le_compat d2 (minus n h2) h2 h2 (le_minus d2 n h2
 271 H4) (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n (le_trans h2 (plus d2 h2) n
 272 (le_plus_r d2 h2) H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2 (plus d2 h1) (minus (plus n
 273 h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x H5)))))))))))))))))) (\lambda (k:
 274 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall
 275 (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift
 276 h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift
 277 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda
 278 (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 279 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 280 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 281 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x:
 282 T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2:
 283 nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t
 284 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1
 285 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 286 x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2
 287 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t
 288 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 289 (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3
 290 (THead (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1))
 291 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 292 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 293 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2
 294 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 295 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 296 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda
 297 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 298 (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind
 299 b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 300 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 301 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 302 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1
 303 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 304 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 305 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 306 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 307 T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 308 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1
 309 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0)
 310 (lift h2 d2 t3))))) (let H10 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let
 311 H11 \def (eq_ind nat (S (plus d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1)
 312 t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2:
 313 T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2)
 314 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift
 315 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift
 316 h2 d2 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1)
 317 x3))).(\lambda (H13: (eq T t0 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S
 318 d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 319 h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 320 h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda
 321 (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 322 h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 323 h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 324 (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 325 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2
 326 t2))) (THead (Bind b) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 327 (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 328 (lift h1 (S d1) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 329 h1 (S d1) x3))) (lift h1 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1
 330 d1)) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 331 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 332 t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)))
 333 (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1
 334 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2) (le_n_S d1 d2 H1) H11)))) t H9) x0 H8))))
 335 (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1
 336 (S d1) t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T
 337 (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def
 338 (eq_ind T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift
 339 h2 (plus d2 h1) x))) H3 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0))
 340 (lift_flat f t t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 341 T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 342 (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 343 T).(eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2:
 344 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0)
 345 (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x
 346 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 347 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1)
 348 x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda
 349 (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t
 350 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1
 351 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 352 T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 353 (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0
 354 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift
 355 h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2
 356 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2
 357 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 358 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 359 T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2:
 360 T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2)))
 361 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1
 362 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2
 363 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda
 364 (H11: (eq T t0 (lift h2 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2:
 365 T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1
 366 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2
 367 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 368 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3)))
 369 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2
 370 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2)
 371 (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f)
 372 (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3)
 373 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2:
 374 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T
 375 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f)
 376 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1)) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2
 377 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2)
 378 (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2
 379 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0
 380 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2
 381 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus
 382 d2 h1) H4))))) k H2))))))))))))) t1).
 383
 384 theorem lift_free:
 385  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 386 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 387 (lift h d t)) (lift (plus k h) d t))))))))
 388 \def
 389  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 390 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 391 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0))))))))) (\lambda (n:
 392 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e:
 393 nat).(\lambda (_: (le e (plus d h))).(\lambda (_: (le d e)).(eq_ind_r T
 394 (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TSort
 395 n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 396 (TSort n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0))
 397 (refl_equal T (TSort n)) (lift (plus k h) d (TSort n)) (lift_sort n (plus k
 398 h) d)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e)) (lift h d (TSort n))
 399 (lift_sort n h d))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k:
 400 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e (plus d
 401 h))).(\lambda (H0: (le d e)).(lt_le_e n d (eq T (lift k e (lift h d (TLRef
 402 n))) (lift (plus k h) d (TLRef n))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T
 403 (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TLRef
 404 n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 405 (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 406 (refl_equal T (TLRef n)) (lift (plus k h) d (TLRef n)) (lift_lref_lt n (plus
 407 k h) d H1)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e (lt_le_trans n d e H1
 408 H0))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1))) (\lambda (H1: (le d
 409 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift
 410 (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k)) (\lambda
 411 (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n
 412 (plus k h))) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n h) k)) t0)) (f_equal
 413 nat T TLRef (plus (plus n h) k) (plus n (plus k h))
 414 (plus_permute_2_in_3_assoc n h k)) (lift (plus k h) d (TLRef n))
 415 (lift_lref_ge n (plus k h) d H1)) (lift k e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge
 416 (plus n h) k e (le_trans e (plus d h) (plus n h) H (plus_le_compat d n h h H1
 417 (le_n h))))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1))))))))))) (\lambda
 418 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 419 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 420 (eq T (lift k0 e (lift h d t0)) (lift (plus k0 h) d t0)))))))))).(\lambda
 421 (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d:
 422 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k0 e
 423 (lift h d t1)) (lift (plus k0 h) d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 424 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e (plus d
 425 h))).(\lambda (H2: (le d e)).(eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 426 d) t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (lift k0 e t2) (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 427 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift
 428 h (s k d) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 429 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift (plus k0 h) d t0) (lift (plus k0 h) (s k d)
 430 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k
 431 e) (lift h (s k d) t1))) t2)) (f_equal3 K T T T THead k k (lift k0 e (lift h
 432 d t0)) (lift (plus k0 h) d t0) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (lift
 433 (plus k0 h) (s k d) t1) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1 H2) (H0 h k0 (s k d)
 434 (s k e) (eq_ind nat (s k (plus d h)) (\lambda (n: nat).(le (s k e) n)) (s_le
 435 k e (plus d h) H1) (plus (s k d) h) (s_plus k d h)) (s_le k d e H2))) (lift
 436 (plus k0 h) d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 (plus k0 h) d)) (lift k0 e
 437 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k (lift h d t0) (lift
 438 h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 h
 439 d))))))))))))) t).
 440
 441 theorem lift_d:
 442  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 443 nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t))
 444 (lift k e (lift h d t))))))))
 445 \def
 446  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 447 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 448 d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h d t0))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 449 (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (_:
 450 (le e d)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0)
 451 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 452 T t0 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0:
 453 T).(eq T (TSort n) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 454 T (TSort n) t0)) (refl_equal T (TSort n)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k
 455 e)) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d)) (lift h (plus k d) (TSort n))
 456 (lift_sort n h (plus k d))) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e))))))))
 457 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d:
 458 nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e d)).(lt_le_e n e (eq T (lift h
 459 (plus k d) (lift k e (TLRef n))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))) (\lambda
 460 (H0: (lt n e)).(let H1 \def (lt_le_trans n e d H0 H) in (eq_ind_r T (TLRef n)
 461 (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0) (lift k e (lift h d (TLRef
 462 n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d
 463 (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) (lift k
 464 e t0))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 465 (refl_equal T (TLRef n)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)) (lift
 466 h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus k d) (TLRef n))
 467 (lift_lref_lt n h (plus k d) (lt_le_trans n d (plus k d) H1 (le_plus_r k
 468 d)))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)))) (\lambda (H0: (le e
 469 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d)
 470 t0) (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r nat (plus d k) (\lambda (n0:
 471 nat).(eq T (lift h n0 (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))))
 472 (lt_le_e n d (eq T (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d
 473 (TLRef n)))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda
 474 (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n)
 475 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 476 (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) t0)) (refl_equal T
 477 (TLRef (plus n k))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e H0)) (lift h d
 478 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k)))
 479 (lift_lref_lt (plus n k) h (plus d k) (plus_lt_compat_r n d k H1)))) (\lambda
 480 (H1: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n k) h)) (\lambda (t0: T).(eq T
 481 t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda
 482 (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 483 (plus (plus n h) k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) t0))
 484 (f_equal nat T TLRef (plus (plus n k) h) (plus (plus n h) k) (sym_eq nat
 485 (plus (plus n h) k) (plus (plus n k) h) (plus_permute_2_in_3 n h k))) (lift k
 486 e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge (plus n h) k e (le_plus_trans e n h H0)))
 487 (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus
 488 n k))) (lift_lref_ge (plus n k) h (plus d k) (plus_le_compat d n k k H1 (le_n
 489 k)))))) (plus k d) (plus_comm k d)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e
 490 H0)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h:
 491 nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq
 492 T (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift k0 e (lift h d
 493 t0)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 494 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k0
 495 d) (lift k0 e t1)) (lift k0 e (lift h d t1)))))))))).(\lambda (h:
 496 nat).(\lambda (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le
 497 e d)).(eq_ind_r T (THead k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1)) (\lambda (t2:
 498 T).(eq T (lift h (plus k0 d) t2) (lift k0 e (lift h d (THead k t0 t1)))))
 499 (eq_ind_r T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 500 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift k0 e (lift h d
 501 (THead k t0 t1))))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 502 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h
 503 (s k (plus k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (lift k0 e t2))) (eq_ind_r T (THead
 504 k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1))) (\lambda
 505 (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 506 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) t2)) (eq_ind_r nat (plus k0 (s k d)) (\lambda
 507 (n: nat).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h n (lift
 508 k0 (s k e) t1))) (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h
 509 (s k d) t1))))) (f_equal3 K T T T THead k k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e
 510 t0)) (lift k0 e (lift h d t0)) (lift h (plus k0 (s k d)) (lift k0 (s k e)
 511 t1)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1)
 512 (H0 h k0 (s k d) (s k e) (s_le k e d H1))) (s k (plus k0 d)) (s_plus_sym k k0
 513 d)) (lift k0 e (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k
 514 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1))
 515 (lift_head k t0 t1 h d)) (lift h (plus k0 d) (THead k (lift k0 e t0) (lift k0
 516 (s k e) t1))) (lift_head k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1) h (plus k0
 517 d))) (lift k0 e (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 k0 e)))))))))))) t).
 518