helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pc3/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "pc3/defs.ma".
  18
  19 include "pr3/pr3.ma".
  20
  21 theorem clear_pc3_trans:
  22  \forall (c2: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c2 t1 t2) \to
  23 (\forall (c1: C).((clear c1 c2) \to (pc3 c1 t1 t2))))))
  24 \def
  25  \lambda (c2: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c2 t1
  26 t2)).(\lambda (c1: C).(\lambda (H0: (clear c1 c2)).(let H1 \def H in (ex2_ind
  27 T (\lambda (t: T).(pr3 c2 t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c2 t2 t)) (pc3 c1 t1
  28 t2) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c2 t1 x)).(\lambda (H3: (pr3 c2 t2
  29 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c1 t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c1 t2
  30 t)) x (clear_pr3_trans c2 t1 x H2 c1 H0) (clear_pr3_trans c2 t2 x H3 c1
  31 H0))))) H1))))))).
  32
  33 theorem pc3_pr2_r:
  34  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (pc3 c
  35 t1 t2))))
  36 \def
  37  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  38 t2)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  39 t2 (pr3_pr2 c t1 t2 H) (pr3_refl c t2))))).
  40
  41 theorem pc3_pr2_x:
  42  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t2 t1) \to (pc3 c
  43 t1 t2))))
  44 \def
  45  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t2
  46 t1)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  47 t1 (pr3_refl c t1) (pr3_pr2 c t2 t1 H))))).
  48
  49 theorem pc3_pr3_r:
  50  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t1 t2) \to (pc3 c
  51 t1 t2))))
  52 \def
  53  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c t1
  54 t2)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  55 t2 H (pr3_refl c t2))))).
  56
  57 theorem pc3_pr3_x:
  58  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t2 t1) \to (pc3 c
  59 t1 t2))))
  60 \def
  61  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c t2
  62 t1)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  63 t1 (pr3_refl c t1) H)))).
  64
  65 theorem pc3_pr3_t:
  66  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t0: T).((pr3 c t1 t0) \to (\forall
  67 (t2: T).((pr3 c t2 t0) \to (pc3 c t1 t2))))))
  68 \def
  69  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: (pr3 c t1
  70 t0)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 c t2 t0)).(ex_intro2 T (\lambda (t:
  71 T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) t0 H H0)))))).
  72
  73 theorem pc3_pr2_u:
  74  \forall (c: C).(\forall (t2: T).(\forall (t1: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
  75 (t3: T).((pc3 c t2 t3) \to (pc3 c t1 t3))))))
  76 \def
  77  \lambda (c: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  78 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pc3 c t2 t3)).(let H1 \def H0 in
  79 (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t3 t)) (pc3 c
  80 t1 t3) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(\lambda (H3: (pr3 c t3
  81 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t3 t))
  82 x (pr3_sing c t2 t1 H x H2) H3)))) H1))))))).
  83
  84 theorem pc3_refl:
  85  \forall (c: C).(\forall (t: T).(pc3 c t t))
  86 \def
  87  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(ex_intro2 T (\lambda (t0: T).(pr3 c t t0))
  88 (\lambda (t0: T).(pr3 c t t0)) t (pr3_refl c t) (pr3_refl c t))).
  89
  90 theorem pc3_s:
  91  \forall (c: C).(\forall (t2: T).(\forall (t1: T).((pc3 c t1 t2) \to (pc3 c
  92 t2 t1))))
  93 \def
  94  \lambda (c: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
  95 t2)).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t:
  96 T).(pr3 c t2 t)) (pc3 c t2 t1) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c t1
  97 x)).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t))
  98 (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) x H2 H1)))) H0))))).
  99
 100 theorem pc3_thin_dx:
 101  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c t1 t2) \to (\forall
 102 (u: T).(\forall (f: F).(pc3 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
 103 t2)))))))
 104 \def
 105  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
 106 t2)).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda
 107 (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (pc3 c (THead (Flat f) u
 108 t1) (THead (Flat f) u t2)) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c t1
 109 x)).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t: T).(pr3 c (THead
 110 (Flat f) u t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Flat f) u t2) t)) (THead
 111 (Flat f) u x) (pr3_thin_dx c t1 x H1 u f) (pr3_thin_dx c t2 x H2 u f)))))
 112 H0))))))).
 113
 114 theorem pc3_head_1:
 115  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c u1 u2) \to (\forall
 116 (k: K).(\forall (t: T).(pc3 c (THead k u1 t) (THead k u2 t)))))))
 117 \def
 118  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pc3 c u1
 119 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda
 120 (t0: T).(pr3 c u1 t0)) (\lambda (t0: T).(pr3 c u2 t0)) (pc3 c (THead k u1 t)
 121 (THead k u2 t)) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c u1 x)).(\lambda (H2:
 122 (pr3 c u2 x)).(ex_intro2 T (\lambda (t0: T).(pr3 c (THead k u1 t) t0))
 123 (\lambda (t0: T).(pr3 c (THead k u2 t) t0)) (THead k x t) (pr3_head_12 c u1 x
 124 H1 k t t (pr3_refl (CHead c k x) t)) (pr3_head_12 c u2 x H2 k t t (pr3_refl
 125 (CHead c k x) t)))))) H0))))))).
 126
 127 theorem pc3_head_2:
 128  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
 129 (k: K).((pc3 (CHead c k u) t1 t2) \to (pc3 c (THead k u t1) (THead k u
 130 t2)))))))
 131 \def
 132  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
 133 (k: K).(\lambda (H: (pc3 (CHead c k u) t1 t2)).(let H0 \def H in (ex2_ind T
 134 (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c k u) t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c k u)
 135 t2 t)) (pc3 c (THead k u t1) (THead k u t2)) (\lambda (x: T).(\lambda (H1:
 136 (pr3 (CHead c k u) t1 x)).(\lambda (H2: (pr3 (CHead c k u) t2 x)).(ex_intro2
 137 T (\lambda (t: T).(pr3 c (THead k u t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead k u
 138 t2) t)) (THead k u x) (pr3_head_12 c u u (pr3_refl c u) k t1 x H1)
 139 (pr3_head_12 c u u (pr3_refl c u) k t2 x H2))))) H0))))))).
 140
 141 theorem pc3_t:
 142  \forall (t2: T).(\forall (c: C).(\forall (t1: T).((pc3 c t1 t2) \to (\forall
 143 (t3: T).((pc3 c t2 t3) \to (pc3 c t1 t3))))))
 144 \def
 145  \lambda (t2: T).(\lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
 146 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pc3 c t2 t3)).(let H1 \def H0 in
 147 (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t3 t)) (pc3 c
 148 t1 t3) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c t2 x)).(\lambda (H3: (pr3 c t3
 149 x)).(let H4 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t:
 150 T).(pr3 c t2 t)) (pc3 c t1 t3) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (pr3 c t1
 151 x0)).(\lambda (H6: (pr3 c t2 x0)).(ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c x0 t))
 152 (\lambda (t: T).(pr3 c x t)) (pc3 c t1 t3) (\lambda (x1: T).(\lambda (H7:
 153 (pr3 c x0 x1)).(\lambda (H8: (pr3 c x x1)).(pc3_pr3_t c t1 x1 (pr3_t x0 t1 c
 154 H5 x1 H7) t3 (pr3_t x t3 c H3 x1 H8))))) (pr3_confluence c t2 x0 H6 x H2)))))
 155 H4))))) H1))))))).
 156
 157 theorem pc3_pr2_u2:
 158  \forall (c: C).(\forall (t0: T).(\forall (t1: T).((pr2 c t0 t1) \to (\forall
 159 (t2: T).((pc3 c t0 t2) \to (pc3 c t1 t2))))))
 160 \def
 161  \lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pr2 c t0
 162 t1)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3 c t0 t2)).(pc3_t t0 c t1 (pc3_pr2_x
 163 c t1 t0 H) t2 H0)))))).
 164
 165 theorem pc3_head_12:
 166  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c u1 u2) \to (\forall
 167 (k: K).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 168 c (THead k u1 t1) (THead k u2 t2)))))))))
 169 \def
 170  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pc3 c u1
 171 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3
 172 (CHead c k u2) t1 t2)).(pc3_t (THead k u2 t1) c (THead k u1 t1) (pc3_head_1 c
 173 u1 u2 H k t1) (THead k u2 t2) (pc3_head_2 c u2 t1 t2 k H0))))))))).
 174
 175 theorem pc3_head_21:
 176  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c u1 u2) \to (\forall
 177 (k: K).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 (CHead c k u1) t1 t2) \to (pc3
 178 c (THead k u1 t1) (THead k u2 t2)))))))))
 179 \def
 180  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pc3 c u1
 181 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3
 182 (CHead c k u1) t1 t2)).(pc3_t (THead k u1 t2) c (THead k u1 t1) (pc3_head_2 c
 183 u1 t1 t2 k H0) (THead k u2 t2) (pc3_head_1 c u1 u2 H k t2))))))))).
 184
 185 theorem pc3_pr0_pr2_t:
 186  \forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr0 u2 u1) \to (\forall (c: C).(\forall
 187 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 188 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 189 \def
 190  \lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr0 u2 u1)).(\lambda (c:
 191 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H0: (pr2
 192 (CHead c k u2) t1 t2)).(let H1 \def (match H0 in pr2 return (\lambda (c0:
 193 C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0
 194 (CHead c k u2)) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pc3 (CHead c k u1) t1
 195 t2)))))))) with [(pr2_free c0 t0 t3 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq C c0
 196 (CHead c k u2))).(\lambda (H3: (eq T t0 t1)).(\lambda (H4: (eq T t3
 197 t2)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda (_: C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2)
 198 \to ((pr0 t0 t3) \to (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))))) (\lambda (H5: (eq T t0
 199 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t: T).((eq T t3 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pc3
 200 (CHead c k u1) t1 t2)))) (\lambda (H6: (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2 (\lambda
 201 (t: T).((pr0 t1 t) \to (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))) (\lambda (H7: (pr0 t1
 202 t2)).(pc3_pr2_r (CHead c k u1) t1 t2 (pr2_free (CHead c k u1) t1 t2 H7))) t3
 203 (sym_eq T t3 t2 H6))) t0 (sym_eq T t0 t1 H5))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c k u2)
 204 H2) H3 H4 H1)))) | (pr2_delta c0 d u i H1 t0 t3 H2 t H3) \Rightarrow (\lambda
 205 (H4: (eq C c0 (CHead c k u2))).(\lambda (H5: (eq T t0 t1)).(\lambda (H6: (eq
 206 T t t2)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda (c1: C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t
 207 t2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t3) \to ((subst0 i
 208 u t3 t) \to (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t0
 209 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T t t2) \to ((getl i (CHead c k u2)
 210 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t4 t3) \to ((subst0 i u t3 t) \to (pc3
 211 (CHead c k u1) t1 t2)))))) (\lambda (H8: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda
 212 (t4: T).((getl i (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1 t3) \to
 213 ((subst0 i u t3 t4) \to (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))))) (\lambda (H9: (getl i
 214 (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H10: (pr0 t1 t3)).(\lambda
 215 (H11: (subst0 i u t3 t2)).(nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c k u2)
 216 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 n u t3 t2) \to (pc3 (CHead c k u1) t1
 217 t2)))) (\lambda (H12: (getl O (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr)
 218 u))).(\lambda (H13: (subst0 O u t3 t2)).(K_ind (\lambda (k0: K).((clear
 219 (CHead c k0 u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t1 t2)))
 220 (\lambda (b: B).(\lambda (H14: (clear (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind
 221 Abbr) u))).(let H15 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
 222 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow
 223 c1])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c
 224 (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H14)) in ((let H16 \def (f_equal C B (\lambda (e:
 225 C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow Abbr |
 226 (CHead _ k0 _) \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).B) with
 227 [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind
 228 Abbr) u) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) u2
 229 H14)) in ((let H17 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return
 230 (\lambda (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t4) \Rightarrow
 231 t4])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c
 232 (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H14)) in (\lambda (H18: (eq B Abbr b)).(\lambda
 233 (_: (eq C d c)).(let H20 \def (eq_ind T u (\lambda (t4: T).(subst0 O t4 t3
 234 t2)) H13 u2 H17) in (eq_ind B Abbr (\lambda (b0: B).(pc3 (CHead c (Bind b0)
 235 u1) t1 t2)) (ex2_ind T (\lambda (t4: T).(subst0 O u1 t3 t4)) (\lambda (t4:
 236 T).(pr0 t2 t4)) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 t2) (\lambda (x: T).(\lambda
 237 (H21: (subst0 O u1 t3 x)).(\lambda (H22: (pr0 t2 x)).(pc3_pr3_t (CHead c
 238 (Bind Abbr) u1) t1 x (pr3_pr2 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 x (pr2_delta (CHead
 239 c (Bind Abbr) u1) c u1 O (getl_refl Abbr c u1) t1 t3 H10 x H21)) t2 (pr3_pr2
 240 (CHead c (Bind Abbr) u1) t2 x (pr2_free (CHead c (Bind Abbr) u1) t2 x
 241 H22)))))) (pr0_subst0_fwd u2 t3 t2 O H20 u1 H)) b H18))))) H16)) H15))))
 242 (\lambda (f: F).(\lambda (H14: (clear (CHead c (Flat f) u2) (CHead d (Bind
 243 Abbr) u))).(clear_pc3_trans (CHead d (Bind Abbr) u) t1 t2 (pc3_pr2_r (CHead d
 244 (Bind Abbr) u) t1 t2 (pr2_delta (CHead d (Bind Abbr) u) d u O (getl_refl Abbr
 245 d u) t1 t3 H10 t2 H13)) (CHead c (Flat f) u1) (clear_flat c (CHead d (Bind
 246 Abbr) u) (clear_gen_flat f c (CHead d (Bind Abbr) u) u2 H14) f u1)))) k
 247 (getl_gen_O (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u) H12)))) (\lambda (i0:
 248 nat).(\lambda (IHi: (((getl i0 (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to
 249 ((subst0 i0 u t3 t2) \to (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))))).(\lambda (H12: (getl
 250 (S i0) (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H13: (subst0 (S i0)
 251 u t3 t2)).(K_ind (\lambda (k0: K).((((getl i0 (CHead c k0 u2) (CHead d (Bind
 252 Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t3 t2) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t1 t2)))) \to
 253 ((getl (r k0 i0) c (CHead d (Bind Abbr) u)) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t1
 254 t2)))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) u2) (CHead d
 255 (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t3 t2) \to (pc3 (CHead c (Bind b) u1) t1
 256 t2))))).(\lambda (H14: (getl (r (Bind b) i0) c (CHead d (Bind Abbr)
 257 u))).(pc3_pr2_r (CHead c (Bind b) u1) t1 t2 (pr2_delta (CHead c (Bind b) u1)
 258 d u (S i0) (getl_head (Bind b) i0 c (CHead d (Bind Abbr) u) H14 u1) t1 t3 H10
 259 t2 H13))))) (\lambda (f: F).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Flat f) u2)
 260 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t3 t2) \to (pc3 (CHead c (Flat f)
 261 u1) t1 t2))))).(\lambda (H14: (getl (r (Flat f) i0) c (CHead d (Bind Abbr)
 262 u))).(pc3_pr2_r (CHead c (Flat f) u1) t1 t2 (pr2_cflat c t1 t2 (pr2_delta c d
 263 u (r (Flat f) i0) H14 t1 t3 H10 t2 H13) f u1))))) k IHi (getl_gen_S k c
 264 (CHead d (Bind Abbr) u) u2 i0 H12)))))) i H9 H11)))) t (sym_eq T t t2 H8)))
 265 t0 (sym_eq T t0 t1 H7))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c k u2) H4) H5 H6 H1 H2
 266 H3))))]) in (H1 (refl_equal C (CHead c k u2)) (refl_equal T t1) (refl_equal T
 267 t2)))))))))).
 268
 269 theorem pc3_pr2_pr2_t:
 270  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr2 c u2 u1) \to (\forall
 271 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 272 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 273 \def
 274  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr2 c u2
 275 u1)).(let H0 \def (match H in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 276 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 c) \to ((eq T t u2)
 277 \to ((eq T t0 u1) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2
 278 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3 (CHead c k u1) t1 t2)))))))))))) with
 279 [(pr2_free c0 t1 t2 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq C c0 c)).(\lambda (H2:
 280 (eq T t1 u2)).(\lambda (H3: (eq T t2 u1)).(eq_ind C c (\lambda (_: C).((eq T
 281 t1 u2) \to ((eq T t2 u1) \to ((pr0 t1 t2) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4:
 282 T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pc3 (CHead c k u1) t3
 283 t4))))))))) (\lambda (H4: (eq T t1 u2)).(eq_ind T u2 (\lambda (t: T).((eq T
 284 t2 u1) \to ((pr0 t t2) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).(\forall (k:
 285 K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pc3 (CHead c k u1) t3 t4)))))))) (\lambda
 286 (H5: (eq T t2 u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t: T).((pr0 u2 t) \to (\forall (t3:
 287 T).(\forall (t4: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pc3
 288 (CHead c k u1) t3 t4))))))) (\lambda (H6: (pr0 u2 u1)).(\lambda (t0:
 289 T).(\lambda (t3: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H7: (pr2 (CHead c k u2) t0
 290 t3)).(pc3_pr0_pr2_t u1 u2 H6 c t0 t3 k H7)))))) t2 (sym_eq T t2 u1 H5))) t1
 291 (sym_eq T t1 u2 H4))) c0 (sym_eq C c0 c H1) H2 H3 H0)))) | (pr2_delta c0 d u
 292 i H0 t1 t2 H1 t H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq C c0 c)).(\lambda (H4: (eq
 293 T t1 u2)).(\lambda (H5: (eq T t u1)).(eq_ind C c (\lambda (c1: C).((eq T t1
 294 u2) \to ((eq T t u1) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1
 295 t2) \to ((subst0 i u t2 t) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).(\forall (k:
 296 K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pc3 (CHead c k u1) t3 t4)))))))))))
 297 (\lambda (H6: (eq T t1 u2)).(eq_ind T u2 (\lambda (t0: T).((eq T t u1) \to
 298 ((getl i c (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t2) \to ((subst0 i u t2 t)
 299 \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3
 300 t4) \to (pc3 (CHead c k u1) t3 t4)))))))))) (\lambda (H7: (eq T t
 301 u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t0: T).((getl i c (CHead d (Bind Abbr) u)) \to
 302 ((pr0 u2 t2) \to ((subst0 i u t2 t0) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4:
 303 T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pc3 (CHead c k u1) t3
 304 t4))))))))) (\lambda (H8: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H9:
 305 (pr0 u2 t2)).(\lambda (H10: (subst0 i u t2 u1)).(\lambda (t0: T).(\lambda
 306 (t3: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H11: (pr2 (CHead c k u2) t0 t3)).(let H12
 307 \def (match H11 in pr2 return (\lambda (c1: C).(\lambda (t4: T).(\lambda (t5:
 308 T).(\lambda (_: (pr2 c1 t4 t5)).((eq C c1 (CHead c k u2)) \to ((eq T t4 t0)
 309 \to ((eq T t5 t3) \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t3)))))))) with [(pr2_free c1 t4
 310 t5 H12) \Rightarrow (\lambda (H13: (eq C c1 (CHead c k u2))).(\lambda (H14:
 311 (eq T t4 t0)).(\lambda (H15: (eq T t5 t3)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda
 312 (_: C).((eq T t4 t0) \to ((eq T t5 t3) \to ((pr0 t4 t5) \to (pc3 (CHead c k
 313 u1) t0 t3))))) (\lambda (H16: (eq T t4 t0)).(eq_ind T t0 (\lambda (t6:
 314 T).((eq T t5 t3) \to ((pr0 t6 t5) \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t3)))) (\lambda
 315 (H17: (eq T t5 t3)).(eq_ind T t3 (\lambda (t6: T).((pr0 t0 t6) \to (pc3
 316 (CHead c k u1) t0 t3))) (\lambda (H18: (pr0 t0 t3)).(pc3_pr2_r (CHead c k u1)
 317 t0 t3 (pr2_free (CHead c k u1) t0 t3 H18))) t5 (sym_eq T t5 t3 H17))) t4
 318 (sym_eq T t4 t0 H16))) c1 (sym_eq C c1 (CHead c k u2) H13) H14 H15 H12)))) |
 319 (pr2_delta c1 d0 u0 i0 H12 t4 t5 H13 t6 H14) \Rightarrow (\lambda (H15: (eq C
 320 c1 (CHead c k u2))).(\lambda (H16: (eq T t4 t0)).(\lambda (H17: (eq T t6
 321 t3)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda (c2: C).((eq T t4 t0) \to ((eq T t6
 322 t3) \to ((getl i0 c2 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t4 t5) \to ((subst0
 323 i0 u0 t5 t6) \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t3))))))) (\lambda (H18: (eq T t4
 324 t0)).(eq_ind T t0 (\lambda (t7: T).((eq T t6 t3) \to ((getl i0 (CHead c k u2)
 325 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t7 t5) \to ((subst0 i0 u0 t5 t6) \to
 326 (pc3 (CHead c k u1) t0 t3)))))) (\lambda (H19: (eq T t6 t3)).(eq_ind T t3
 327 (\lambda (t7: T).((getl i0 (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to
 328 ((pr0 t0 t5) \to ((subst0 i0 u0 t5 t7) \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t3)))))
 329 (\lambda (H20: (getl i0 (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(\lambda
 330 (H21: (pr0 t0 t5)).(\lambda (H22: (subst0 i0 u0 t5 t3)).(nat_ind (\lambda (n:
 331 nat).((getl n (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 n u0 t5
 332 t3) \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t3)))) (\lambda (H23: (getl O (CHead c k u2)
 333 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H24: (subst0 O u0 t5 t3)).(K_ind
 334 (\lambda (k0: K).((clear (CHead c k0 u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to (pc3
 335 (CHead c k0 u1) t0 t3))) (\lambda (b: B).(\lambda (H25: (clear (CHead c (Bind
 336 b) u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(let H26 \def (f_equal C C (\lambda (e:
 337 C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d0 |
 338 (CHead c2 _ _) \Rightarrow c2])) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b)
 339 u2) (clear_gen_bind b c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 H25)) in ((let H27 \def
 340 (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with
 341 [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k0 _) \Rightarrow (match k0 in K
 342 return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _)
 343 \Rightarrow Abbr])])) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u2)
 344 (clear_gen_bind b c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 H25)) in ((let H28 \def
 345 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 346 [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t7) \Rightarrow t7])) (CHead d0 (Bind
 347 Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d0 (Bind Abbr) u0)
 348 u2 H25)) in (\lambda (H29: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d0 c)).(let H31
 349 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t7: T).(subst0 O t7 t5 t3)) H24 u2 H28) in
 350 (eq_ind B Abbr (\lambda (b0: B).(pc3 (CHead c (Bind b0) u1) t0 t3)) (ex2_ind
 351 T (\lambda (t7: T).(subst0 O t2 t5 t7)) (\lambda (t7: T).(pr0 t3 t7)) (pc3
 352 (CHead c (Bind Abbr) u1) t0 t3) (\lambda (x: T).(\lambda (H32: (subst0 O t2
 353 t5 x)).(\lambda (H33: (pr0 t3 x)).(ex2_ind T (\lambda (t7: T).(subst0 O u1 t5
 354 t7)) (\lambda (t7: T).(subst0 (S (plus i O)) u x t7)) (pc3 (CHead c (Bind
 355 Abbr) u1) t0 t3) (\lambda (x0: T).(\lambda (H34: (subst0 O u1 t5
 356 x0)).(\lambda (H35: (subst0 (S (plus i O)) u x x0)).(let H36 \def (f_equal
 357 nat nat S (plus i O) i (sym_eq nat i (plus i O) (plus_n_O i))) in (let H37
 358 \def (eq_ind nat (S (plus i O)) (\lambda (n: nat).(subst0 n u x x0)) H35 (S
 359 i) H36) in (pc3_pr2_u (CHead c (Bind Abbr) u1) x0 t0 (pr2_delta (CHead c
 360 (Bind Abbr) u1) c u1 O (getl_refl Abbr c u1) t0 t5 H21 x0 H34) t3 (pc3_pr2_x
 361 (CHead c (Bind Abbr) u1) x0 t3 (pr2_delta (CHead c (Bind Abbr) u1) d u (S i)
 362 (getl_head (Bind Abbr) i c (CHead d (Bind Abbr) u) H8 u1) t3 x H33 x0
 363 H37)))))))) (subst0_subst0_back t5 x t2 O H32 u1 u i H10))))) (pr0_subst0_fwd
 364 u2 t5 t3 O H31 t2 H9)) b H29))))) H27)) H26)))) (\lambda (f: F).(\lambda
 365 (H25: (clear (CHead c (Flat f) u2) (CHead d0 (Bind Abbr)
 366 u0))).(clear_pc3_trans (CHead d0 (Bind Abbr) u0) t0 t3 (pc3_pr2_r (CHead d0
 367 (Bind Abbr) u0) t0 t3 (pr2_delta (CHead d0 (Bind Abbr) u0) d0 u0 O (getl_refl
 368 Abbr d0 u0) t0 t5 H21 t3 H24)) (CHead c (Flat f) u1) (clear_flat c (CHead d0
 369 (Bind Abbr) u0) (clear_gen_flat f c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 H25) f
 370 u1)))) k (getl_gen_O (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) H23))))
 371 (\lambda (i1: nat).(\lambda (_: (((getl i1 (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind
 372 Abbr) u0)) \to ((subst0 i1 u0 t5 t3) \to (pc3 (CHead c k u1) t0
 373 t3))))).(\lambda (H23: (getl (S i1) (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr)
 374 u0))).(\lambda (H24: (subst0 (S i1) u0 t5 t3)).(K_ind (\lambda (k0: K).((getl
 375 (r k0 i1) c (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to (pc3 (CHead c k0 u1) t0 t3)))
 376 (\lambda (b: B).(\lambda (H25: (getl (r (Bind b) i1) c (CHead d0 (Bind Abbr)
 377 u0))).(pc3_pr2_r (CHead c (Bind b) u1) t0 t3 (pr2_delta (CHead c (Bind b) u1)
 378 d0 u0 (S i1) (getl_head (Bind b) i1 c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) H25 u1) t0 t5
 379 H21 t3 H24)))) (\lambda (f: F).(\lambda (H25: (getl (r (Flat f) i1) c (CHead
 380 d0 (Bind Abbr) u0))).(pc3_pr2_r (CHead c (Flat f) u1) t0 t3 (pr2_cflat c t0
 381 t3 (pr2_delta c d0 u0 (r (Flat f) i1) H25 t0 t5 H21 t3 H24) f u1)))) k
 382 (getl_gen_S k c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 i1 H23)))))) i0 H20 H22)))) t6
 383 (sym_eq T t6 t3 H19))) t4 (sym_eq T t4 t0 H18))) c1 (sym_eq C c1 (CHead c k
 384 u2) H15) H16 H17 H12 H13 H14))))]) in (H12 (refl_equal C (CHead c k u2))
 385 (refl_equal T t0) (refl_equal T t3)))))))))) t (sym_eq T t u1 H7))) t1
 386 (sym_eq T t1 u2 H6))) c0 (sym_eq C c0 c H3) H4 H5 H0 H1 H2))))]) in (H0
 387 (refl_equal C c) (refl_equal T u2) (refl_equal T u1)))))).
 388
 389 theorem pc3_pr2_pr3_t:
 390  \forall (c: C).(\forall (u2: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
 391 (k: K).((pr3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (\forall (u1: T).((pr2 c u2 u1) \to
 392 (pc3 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 393 \def
 394  \lambda (c: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
 395 (k: K).(\lambda (H: (pr3 (CHead c k u2) t1 t2)).(pr3_ind (CHead c k u2)
 396 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (u1: T).((pr2 c u2 u1) \to (pc3
 397 (CHead c k u1) t t0))))) (\lambda (t: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (_: (pr2 c
 398 u2 u1)).(pc3_refl (CHead c k u1) t)))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t3:
 399 T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c k u2) t3 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_:
 400 (pr3 (CHead c k u2) t0 t4)).(\lambda (H2: ((\forall (u1: T).((pr2 c u2 u1)
 401 \to (pc3 (CHead c k u1) t0 t4))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (H3: (pr2 c u2
 402 u1)).(pc3_t t0 (CHead c k u1) t3 (pc3_pr2_pr2_t c u1 u2 H3 t3 t0 k H0) t4 (H2
 403 u1 H3)))))))))) t1 t2 H)))))).
 404
 405 theorem pc3_pr3_pc3_t:
 406  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u2 u1) \to (\forall
 407 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pc3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pc3
 408 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 409 \def
 410  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u2
 411 u1)).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (t1: T).(\forall
 412 (t2: T).(\forall (k: K).((pc3 (CHead c k t) t1 t2) \to (pc3 (CHead c k t0) t1
 413 t2))))))) (\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (k:
 414 K).(\lambda (H0: (pc3 (CHead c k t) t1 t2)).H0))))) (\lambda (t2: T).(\lambda
 415 (t1: T).(\lambda (H0: (pr2 c t1 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (pr3 c t2
 416 t3)).(\lambda (H2: ((\forall (t4: T).(\forall (t5: T).(\forall (k: K).((pc3
 417 (CHead c k t2) t4 t5) \to (pc3 (CHead c k t3) t4 t5))))))).(\lambda (t0:
 418 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H3: (pc3 (CHead c k t1) t0
 419 t4)).(H2 t0 t4 k (let H4 \def H3 in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c
 420 k t1) t0 t)) (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c k t1) t4 t)) (pc3 (CHead c k t2)
 421 t0 t4) (\lambda (x: T).(\lambda (H5: (pr3 (CHead c k t1) t0 x)).(\lambda (H6:
 422 (pr3 (CHead c k t1) t4 x)).(pc3_t x (CHead c k t2) t0 (pc3_pr2_pr3_t c t1 t0
 423 x k H5 t2 H0) t4 (pc3_s (CHead c k t2) x t4 (pc3_pr2_pr3_t c t1 t4 x k H6 t2
 424 H0)))))) H4))))))))))))) u2 u1 H)))).
 425
 426 theorem pc3_lift:
 427  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h
 428 d c e) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 e t1 t2) \to (pc3 c (lift
 429 h d t1) (lift h d t2)))))))))
 430 \def
 431  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 432 (H: (drop h d c e)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pc3 e t1
 433 t2)).(let H1 \def H0 in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 e t1 t)) (\lambda (t:
 434 T).(pr3 e t2 t)) (pc3 c (lift h d t1) (lift h d t2)) (\lambda (x: T).(\lambda
 435 (H2: (pr3 e t1 x)).(\lambda (H3: (pr3 e t2 x)).(pc3_pr3_t c (lift h d t1)
 436 (lift h d x) (pr3_lift c e h d H t1 x H2) (lift h d t2) (pr3_lift c e h d H
 437 t2 x H3))))) H1))))))))).
 438
 439 theorem pc3_eta:
 440  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((pc3 c t
 441 (THead (Bind Abst) w u)) \to (\forall (v: T).((pc3 c v w) \to (pc3 c (THead
 442 (Bind Abst) v (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O t))) t)))))))
 443 \def
 444  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
 445 (pc3 c t (THead (Bind Abst) w u))).(\lambda (v: T).(\lambda (H0: (pc3 c v
 446 w)).(pc3_t (THead (Bind Abst) w (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O
 447 (THead (Bind Abst) w u)))) c (THead (Bind Abst) v (THead (Flat Appl) (TLRef
 448 O) (lift (S O) O t))) (pc3_head_21 c v w H0 (Bind Abst) (THead (Flat Appl)
 449 (TLRef O) (lift (S O) O t)) (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O (THead
 450 (Bind Abst) w u))) (pc3_thin_dx (CHead c (Bind Abst) v) (lift (S O) O t)
 451 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) w u)) (pc3_lift (CHead c (Bind Abst) v) c (S
 452 O) O (drop_drop (Bind Abst) O c c (drop_refl c) v) t (THead (Bind Abst) w u)
 453 H) (TLRef O) Appl)) t (pc3_t (THead (Bind Abst) w u) c (THead (Bind Abst) w
 454 (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O (THead (Bind Abst) w u))))
 455 (pc3_pr3_r c (THead (Bind Abst) w (THead (Flat Appl) (TLRef O) (lift (S O) O
 456 (THead (Bind Abst) w u)))) (THead (Bind Abst) w u) (pr3_eta c w u w (pr3_refl
 457 c w))) t (pc3_s c (THead (Bind Abst) w u) t H))))))))).
 458