helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pr2/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "pr2/defs.ma".
  18
  19 include "pr0/props.ma".
  20
  21 include "getl/drop.ma".
  22
  23 include "getl/clear.ma".
  24
  25 theorem pr2_thin_dx:
  26  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
  27 (u: T).(\forall (f: F).(pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
  28 t2)))))))
  29 \def
  30  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  31 t2)).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
  32 T).(\lambda (t0: T).(pr2 c0 (THead (Flat f) u t) (THead (Flat f) u t0)))))
  33 (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pr0 t0
  34 t3)).(pr2_free c0 (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u
  35 (pr0_refl u) t0 t3 H0 (Flat f))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d:
  36 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind
  37 Abbr) u0))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (pr0 t0
  38 t3)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u0 t3 t)).(pr2_delta c0 d u0 i
  39 H0 (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t0
  40 t3 H1 (Flat f)) (THead (Flat f) u t) (subst0_snd (Flat f) u0 t t3 i H2
  41 u)))))))))))) c t1 t2 H)))))).
  42
  43 theorem pr2_head_1:
  44  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr2 c u1 u2) \to (\forall
  45 (k: K).(\forall (t: T).(pr2 c (THead k u1 t) (THead k u2 t)))))))
  46 \def
  47  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr2 c u1
  48 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t0:
  49 T).(\lambda (t1: T).(pr2 c0 (THead k t0 t) (THead k t1 t))))) (\lambda (c0:
  50 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c0
  51 (THead k t1 t) (THead k t2 t) (pr0_comp t1 t2 H0 t t (pr0_refl t) k))))))
  52 (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  53 (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
  54 T).(\lambda (H1: (pr0 t1 t2)).(\lambda (t0: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t2
  55 t0)).(pr2_delta c0 d u i H0 (THead k t1 t) (THead k t2 t) (pr0_comp t1 t2 H1
  56 t t (pr0_refl t) k) (THead k t0 t) (subst0_fst u t0 t2 i H2 t k)))))))))))) c
  57 u1 u2 H)))))).
  58
  59 theorem pr2_head_2:
  60  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
  61 (k: K).((pr2 (CHead c k u) t1 t2) \to (pr2 c (THead k u t1) (THead k u
  62 t2)))))))
  63 \def
  64  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
  65 (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).((pr2 (CHead c k0 u) t1 t2) \to (pr2 c (THead
  66 k0 u t1) (THead k0 u t2)))) (\lambda (b: B).(\lambda (H: (pr2 (CHead c (Bind
  67 b) u) t1 t2)).(let H0 \def (match H in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda
  68 (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 (CHead c (Bind
  69 b) u)) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1)
  70 (THead (Bind b) u t2))))))))) with [(pr2_free c0 t0 t3 H0) \Rightarrow
  71 (\lambda (H1: (eq C c0 (CHead c (Bind b) u))).(\lambda (H2: (eq T t0
  72 t1)).(\lambda (H3: (eq T t3 t2)).(eq_ind C (CHead c (Bind b) u) (\lambda (_:
  73 C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c (THead (Bind
  74 b) u t1) (THead (Bind b) u t2)))))) (\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1
  75 (\lambda (t: T).((eq T t3 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c (THead (Bind b) u
  76 t1) (THead (Bind b) u t2))))) (\lambda (H5: (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2
  77 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b)
  78 u t2)))) (\lambda (H6: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c (THead (Bind b) u t1) (THead
  79 (Bind b) u t2) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t1 t2 H6 (Bind b)))) t3 (sym_eq T
  80 t3 t2 H5))) t0 (sym_eq T t0 t1 H4))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Bind b) u) H1)
  81 H2 H3 H0)))) | (pr2_delta c0 d u0 i H0 t0 t3 H1 t H2) \Rightarrow (\lambda
  82 (H3: (eq C c0 (CHead c (Bind b) u))).(\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(\lambda
  83 (H5: (eq T t t2)).(eq_ind C (CHead c (Bind b) u) (\lambda (c1: C).((eq T t0
  84 t1) \to ((eq T t t2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t0
  85 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b)
  86 u t2)))))))) (\lambda (H6: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T
  87 t t2) \to ((getl i (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0
  88 t4 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind
  89 b) u t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t4:
  90 T).((getl i (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t1 t3)
  91 \to ((subst0 i u0 t3 t4) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u
  92 t2)))))) (\lambda (H8: (getl i (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr)
  93 u0))).(\lambda (H9: (pr0 t1 t3)).(\lambda (H10: (subst0 i u0 t3 t2)).(nat_ind
  94 (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to
  95 ((subst0 n u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u
  96 t2))))) (\lambda (H11: (getl O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr)
  97 u0))).(\lambda (H12: (subst0 O u0 t3 t2)).(let H13 \def (f_equal C C (\lambda
  98 (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d
  99 | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b)
 100 u) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind
 101 b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H11))) in ((let H14 \def (f_equal C B (\lambda
 102 (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow
 103 Abbr | (CHead _ k0 _) \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).B)
 104 with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d
 105 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
 106 u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H11))) in
 107 ((let H15 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_:
 108 C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t4) \Rightarrow t4]))
 109 (CHead d (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c (CHead d
 110 (Bind Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)
 111 H11))) in (\lambda (H16: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H18
 112 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t4: T).(subst0 O t4 t3 t2)) H12 u H15) in (eq_ind
 113 B Abbr (\lambda (b0: B).(pr2 c (THead (Bind b0) u t1) (THead (Bind b0) u
 114 t2))) (pr2_free c (THead (Bind Abbr) u t1) (THead (Bind Abbr) u t2)
 115 (pr0_delta u u (pr0_refl u) t1 t3 H9 t2 H18)) b H16))))) H14)) H13))))
 116 (\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) u) (CHead d
 117 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 i0 u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1)
 118 (THead (Bind b) u t2)))))).(\lambda (H11: (getl (S i0) (CHead c (Bind b) u)
 119 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H12: (subst0 (S i0) u0 t3
 120 t2)).(pr2_delta c d u0 (r (Bind b) i0) (getl_gen_S (Bind b) c (CHead d (Bind
 121 Abbr) u0) u i0 H11) (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u t3) (pr0_comp u u
 122 (pr0_refl u) t1 t3 H9 (Bind b)) (THead (Bind b) u t2) (subst0_snd (Bind b) u0
 123 t2 t3 (r (Bind b) i0) H12 u)))))) i H8 H10)))) t (sym_eq T t t2 H7))) t0
 124 (sym_eq T t0 t1 H6))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Bind b) u) H3) H4 H5 H0 H1
 125 H2))))]) in (H0 (refl_equal C (CHead c (Bind b) u)) (refl_equal T t1)
 126 (refl_equal T t2))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H: (pr2 (CHead c (Flat f) u)
 127 t1 t2)).(let H0 \def (match H in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 128 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 (CHead c (Flat f)
 129 u)) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1)
 130 (THead (Flat f) u t2))))))))) with [(pr2_free c0 t0 t3 H0) \Rightarrow
 131 (\lambda (H1: (eq C c0 (CHead c (Flat f) u))).(\lambda (H2: (eq T t0
 132 t1)).(\lambda (H3: (eq T t3 t2)).(eq_ind C (CHead c (Flat f) u) (\lambda (_:
 133 C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c (THead (Flat
 134 f) u t1) (THead (Flat f) u t2)))))) (\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1
 135 (\lambda (t: T).((eq T t3 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c (THead (Flat f) u
 136 t1) (THead (Flat f) u t2))))) (\lambda (H5: (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2
 137 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f)
 138 u t2)))) (\lambda (H6: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c (THead (Flat f) u t1) (THead
 139 (Flat f) u t2) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t1 t2 H6 (Flat f)))) t3 (sym_eq T
 140 t3 t2 H5))) t0 (sym_eq T t0 t1 H4))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Flat f) u) H1)
 141 H2 H3 H0)))) | (pr2_delta c0 d u0 i H0 t0 t3 H1 t H2) \Rightarrow (\lambda
 142 (H3: (eq C c0 (CHead c (Flat f) u))).(\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(\lambda
 143 (H5: (eq T t t2)).(eq_ind C (CHead c (Flat f) u) (\lambda (c1: C).((eq T t0
 144 t1) \to ((eq T t t2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t0
 145 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f)
 146 u t2)))))))) (\lambda (H6: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T
 147 t t2) \to ((getl i (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0
 148 t4 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat
 149 f) u t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t4:
 150 T).((getl i (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t1 t3)
 151 \to ((subst0 i u0 t3 t4) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
 152 t2)))))) (\lambda (H8: (getl i (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr)
 153 u0))).(\lambda (H9: (pr0 t1 t3)).(\lambda (H10: (subst0 i u0 t3 t2)).(nat_ind
 154 (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to
 155 ((subst0 n u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
 156 t2))))) (\lambda (H11: (getl O (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr)
 157 u0))).(\lambda (H12: (subst0 O u0 t3 t2)).(pr2_delta c d u0 O (getl_intro O c
 158 (CHead d (Bind Abbr) u0) c (drop_refl c) (clear_gen_flat f c (CHead d (Bind
 159 Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H11)))
 160 (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t1 t3
 161 H9 (Flat f)) (THead (Flat f) u t2) (subst0_snd (Flat f) u0 t2 t3 O H12 u))))
 162 (\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Flat f) u) (CHead d
 163 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 i0 u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1)
 164 (THead (Flat f) u t2)))))).(\lambda (H11: (getl (S i0) (CHead c (Flat f) u)
 165 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H12: (subst0 (S i0) u0 t3
 166 t2)).(pr2_delta c d u0 (r (Flat f) i0) (getl_gen_S (Flat f) c (CHead d (Bind
 167 Abbr) u0) u i0 H11) (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u
 168 (pr0_refl u) t1 t3 H9 (Flat f)) (THead (Flat f) u t2) (subst0_snd (Flat f) u0
 169 t2 t3 (r (Flat f) i0) H12 u)))))) i H8 H10)))) t (sym_eq T t t2 H7))) t0
 170 (sym_eq T t0 t1 H6))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Flat f) u) H3) H4 H5 H0 H1
 171 H2))))]) in (H0 (refl_equal C (CHead c (Flat f) u)) (refl_equal T t1)
 172 (refl_equal T t2))))) k))))).
 173
 174 theorem clear_pr2_trans:
 175  \forall (c2: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c2 t1 t2) \to
 176 (\forall (c1: C).((clear c1 c2) \to (pr2 c1 t1 t2))))))
 177 \def
 178  \lambda (c2: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c2 t1
 179 t2)).(\lambda (c1: C).(\lambda (H0: (clear c1 c2)).(let H1 \def (match H in
 180 pr2 return (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2
 181 c t t0)).((eq C c c2) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c1 t1
 182 t2)))))))) with [(pr2_free c t0 t3 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq C c
 183 c2)).(\lambda (H3: (eq T t0 t1)).(\lambda (H4: (eq T t3 t2)).(eq_ind C c2
 184 (\lambda (_: C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c1
 185 t1 t2))))) (\lambda (H5: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t: T).((eq T t3
 186 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c1 t1 t2)))) (\lambda (H6: (eq T t3 t2)).(eq_ind
 187 T t2 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c1 t1 t2))) (\lambda (H7: (pr0 t1
 188 t2)).(pr2_free c1 t1 t2 H7)) t3 (sym_eq T t3 t2 H6))) t0 (sym_eq T t0 t1
 189 H5))) c (sym_eq C c c2 H2) H3 H4 H1)))) | (pr2_delta c d u i H1 t0 t3 H2 t
 190 H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq C c c2)).(\lambda (H5: (eq T t0
 191 t1)).(\lambda (H6: (eq T t t2)).(eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).((eq T t0 t1)
 192 \to ((eq T t t2) \to ((getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t3)
 193 \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c1 t1 t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t0
 194 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T t t2) \to ((getl i c2 (CHead d
 195 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t4 t3) \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c1 t1
 196 t2)))))) (\lambda (H8: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t4: T).((getl i c2
 197 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1 t3) \to ((subst0 i u t3 t4) \to (pr2 c1
 198 t1 t2))))) (\lambda (H9: (getl i c2 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H10:
 199 (pr0 t1 t3)).(\lambda (H11: (subst0 i u t3 t2)).(pr2_delta c1 d u i
 200 (clear_getl_trans i c2 (CHead d (Bind Abbr) u) H9 c1 H0) t1 t3 H10 t2 H11))))
 201 t (sym_eq T t t2 H8))) t0 (sym_eq T t0 t1 H7))) c (sym_eq C c c2 H4) H5 H6 H1
 202 H2 H3))))]) in (H1 (refl_equal C c2) (refl_equal T t1) (refl_equal T
 203 t2)))))))).
 204
 205 theorem pr2_cflat:
 206  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 207 (f: F).(\forall (v: T).(pr2 (CHead c (Flat f) v) t1 t2))))))
 208 \def
 209  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 210 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (f:
 211 F).(\forall (v: T).(pr2 (CHead c0 (Flat f) v) t t0)))))) (\lambda (c0:
 212 C).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(\lambda (f:
 213 F).(\lambda (v: T).(pr2_free (CHead c0 (Flat f) v) t3 t4 H0))))))) (\lambda
 214 (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 215 i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda
 216 (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t4 t)).(\lambda
 217 (f: F).(\lambda (v: T).(pr2_delta (CHead c0 (Flat f) v) d u i (getl_flat c0
 218 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 f v) t3 t4 H1 t H2))))))))))))) c t1 t2 H)))).
 219
 220 theorem pr2_ctail:
 221  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 222 (k: K).(\forall (u: T).(pr2 (CTail k u c) t1 t2))))))
 223 \def
 224  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 225 t2)).(\lambda (k: K).(\lambda (u: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 226 T).(\lambda (t0: T).(pr2 (CTail k u c0) t t0)))) (\lambda (c0: C).(\lambda
 227 (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(pr2_free (CTail k u c0)
 228 t3 t4 H0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i:
 229 nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (t3:
 230 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2:
 231 (subst0 i u0 t4 t)).(pr2_delta (CTail k u c0) (CTail k u d) u0 i (getl_ctail
 232 Abbr c0 d u0 i H0 k u) t3 t4 H1 t H2))))))))))) c t1 t2 H)))))).
 233
 234 theorem pr2_change:
 235  \forall (b: B).((not (eq B b Abbr)) \to (\forall (c: C).(\forall (v1:
 236 T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 (CHead c (Bind b) v1) t1 t2) \to
 237 (\forall (v2: T).(pr2 (CHead c (Bind b) v2) t1 t2))))))))
 238 \def
 239  \lambda (b: B).(\lambda (H: (not (eq B b Abbr))).(\lambda (c: C).(\lambda
 240 (v1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c (Bind
 241 b) v1) t1 t2)).(\lambda (v2: T).(insert_eq C (CHead c (Bind b) v1) (\lambda
 242 (c0: C).(pr2 c0 t1 t2)) (\lambda (_: C).(pr2 (CHead c (Bind b) v2) t1 t2))
 243 (\lambda (y: C).(\lambda (H1: (pr2 y t1 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0:
 244 C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).((eq C c0 (CHead c (Bind b) v1)) \to (pr2
 245 (CHead c (Bind b) v2) t t0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t3: T).(\lambda
 246 (t4: T).(\lambda (H2: (pr0 t3 t4)).(\lambda (_: (eq C c0 (CHead c (Bind b)
 247 v1))).(pr2_free (CHead c (Bind b) v2) t3 t4 H2)))))) (\lambda (c0:
 248 C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H2: (getl i c0
 249 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H3:
 250 (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H4: (subst0 i u t4 t)).(\lambda (H5:
 251 (eq C c0 (CHead c (Bind b) v1))).(let H6 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1:
 252 C).(getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u))) H2 (CHead c (Bind b) v1) H5) in
 253 (nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind
 254 Abbr) u)) \to ((subst0 n u t4 t) \to (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t3 t))))
 255 (\lambda (H7: (getl O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr)
 256 u))).(\lambda (H8: (subst0 O u t4 t)).(let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e:
 257 C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d |
 258 (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b)
 259 v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) v1 (getl_gen_O (CHead c (Bind
 260 b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in ((let H10 \def (f_equal C B (\lambda
 261 (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow
 262 Abbr | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).B) with
 263 [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind
 264 Abbr) u) (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) v1
 265 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in ((let H11
 266 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 267 with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d
 268 (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
 269 u) v1 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in
 270 (\lambda (H12: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H14 \def (eq_ind
 271 T u (\lambda (t0: T).(subst0 O t0 t4 t)) H8 v1 H11) in (let H15 \def
 272 (eq_ind_r B b (\lambda (b0: B).(not (eq B b0 Abbr))) H Abbr H12) in (eq_ind B
 273 Abbr (\lambda (b0: B).(pr2 (CHead c (Bind b0) v2) t3 t)) (let H16 \def (match
 274 (H15 (refl_equal B Abbr)) in False return (\lambda (_: False).(pr2 (CHead c
 275 (Bind Abbr) v2) t3 t)) with []) in H16) b H12)))))) H10)) H9)))) (\lambda
 276 (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr)
 277 u)) \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t3 t))))).(\lambda
 278 (H7: (getl (S i0) (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda
 279 (H8: (subst0 (S i0) u t4 t)).(pr2_delta (CHead c (Bind b) v2) d u (S i0)
 280 (getl_head (Bind b) i0 c (CHead d (Bind Abbr) u) (getl_gen_S (Bind b) c
 281 (CHead d (Bind Abbr) u) v1 i0 H7) v2) t3 t4 H3 t H8))))) i H6 H4)))))))))))))
 282 y t1 t2 H1))) H0)))))))).
 283
 284 theorem pr2_lift:
 285  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h
 286 d c e) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 e t1 t2) \to (pr2 c (lift
 287 h d t1) (lift h d t2)))))))))
 288 \def
 289  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 290 (H: (drop h d c e)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 e t1
 291 t2)).(let H1 \def (match H0 in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 292 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 e) \to ((eq T t t1)
 293 \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2))))))))) with
 294 [(pr2_free c0 t0 t3 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq C c0 e)).(\lambda (H3:
 295 (eq T t0 t1)).(\lambda (H4: (eq T t3 t2)).(eq_ind C e (\lambda (_: C).((eq T
 296 t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d
 297 t2)))))) (\lambda (H5: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t: T).((eq T t3
 298 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2))))) (\lambda (H6:
 299 (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c (lift h d
 300 t1) (lift h d t2)))) (\lambda (H7: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c (lift h d t1)
 301 (lift h d t2) (pr0_lift t1 t2 H7 h d))) t3 (sym_eq T t3 t2 H6))) t0 (sym_eq T
 302 t0 t1 H5))) c0 (sym_eq C c0 e H2) H3 H4 H1)))) | (pr2_delta c0 d0 u i H1 t0
 303 t3 H2 t H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq C c0 e)).(\lambda (H5: (eq T t0
 304 t1)).(\lambda (H6: (eq T t t2)).(eq_ind C e (\lambda (c1: C).((eq T t0 t1)
 305 \to ((eq T t t2) \to ((getl i c1 (CHead d0 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t3)
 306 \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2)))))))) (\lambda
 307 (H7: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T t t2) \to ((getl i e
 308 (CHead d0 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t4 t3) \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c
 309 (lift h d t1) (lift h d t2))))))) (\lambda (H8: (eq T t t2)).(eq_ind T t2
 310 (\lambda (t4: T).((getl i e (CHead d0 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1 t3) \to
 311 ((subst0 i u t3 t4) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2)))))) (\lambda (H9:
 312 (getl i e (CHead d0 (Bind Abbr) u))).(\lambda (H10: (pr0 t1 t3)).(\lambda
 313 (H11: (subst0 i u t3 t2)).(lt_le_e i d (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2))
 314 (\lambda (H12: (lt i d)).(let H13 \def (drop_getl_trans_le i d (le_S_n i d
 315 (le_S (S i) d H12)) c e h H (CHead d0 (Bind Abbr) u) H9) in (ex3_2_ind C C
 316 (\lambda (e0: C).(\lambda (_: C).(drop i O c e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda
 317 (e1: C).(drop h (minus d i) e0 e1))) (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear
 318 e1 (CHead d0 (Bind Abbr) u)))) (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2)) (\lambda
 319 (x0: C).(\lambda (x1: C).(\lambda (H14: (drop i O c x0)).(\lambda (H15: (drop
 320 h (minus d i) x0 x1)).(\lambda (H16: (clear x1 (CHead d0 (Bind Abbr)
 321 u))).(let H17 \def (eq_ind nat (minus d i) (\lambda (n: nat).(drop h n x0
 322 x1)) H15 (S (minus d (S i))) (minus_x_Sy d i H12)) in (let H18 \def
 323 (drop_clear_S x1 x0 h (minus d (S i)) H17 Abbr d0 u H16) in (ex2_ind C
 324 (\lambda (c1: C).(clear x0 (CHead c1 (Bind Abbr) (lift h (minus d (S i))
 325 u)))) (\lambda (c1: C).(drop h (minus d (S i)) c1 d0)) (pr2 c (lift h d t1)
 326 (lift h d t2)) (\lambda (x: C).(\lambda (H19: (clear x0 (CHead x (Bind Abbr)
 327 (lift h (minus d (S i)) u)))).(\lambda (_: (drop h (minus d (S i)) x
 328 d0)).(pr2_delta c x (lift h (minus d (S i)) u) i (getl_intro i c (CHead x
 329 (Bind Abbr) (lift h (minus d (S i)) u)) x0 H14 H19) (lift h d t1) (lift h d
 330 t3) (pr0_lift t1 t3 H10 h d) (lift h d t2) (subst0_lift_lt t3 t2 u i H11 d
 331 H12 h))))) H18)))))))) H13))) (\lambda (H12: (le d i)).(pr2_delta c d0 u
 332 (plus i h) (drop_getl_trans_ge i c e d h H (CHead d0 (Bind Abbr) u) H9 H12)
 333 (lift h d t1) (lift h d t3) (pr0_lift t1 t3 H10 h d) (lift h d t2)
 334 (subst0_lift_ge t3 t2 u i h H11 d H12))))))) t (sym_eq T t t2 H8))) t0
 335 (sym_eq T t0 t1 H7))) c0 (sym_eq C c0 e H4) H5 H6 H1 H2 H3))))]) in (H1
 336 (refl_equal C e) (refl_equal T t1) (refl_equal T t2)))))))))).
 337