]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/subst0/props.ma
baseuris removed from files
[helm.git] / helm / software / matita / contribs / LAMBDA-TYPES / LambdaDelta-1 / subst0 / props.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
16
17 include "subst0/fwd.ma".
18
19 include "lift/props.ma".
20
21 theorem subst0_refl:
22  \forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (d: nat).((subst0 d u t t) \to 
23 (\forall (P: Prop).P))))
24 \def
25  \lambda (u: T).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: 
26 nat).((subst0 d u t0 t0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n: 
27 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst0 d u (TSort n) (TSort 
28 n))).(\lambda (P: Prop).(subst0_gen_sort u (TSort n) d n H P))))) (\lambda 
29 (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst0 d u (TLRef n) (TLRef 
30 n))).(\lambda (P: Prop).(and_ind (eq nat n d) (eq T (TLRef n) (lift (S n) O 
31 u)) P (\lambda (_: (eq nat n d)).(\lambda (H1: (eq T (TLRef n) (lift (S n) O 
32 u))).(lift_gen_lref_false (S n) O n (le_O_n n) (le_n (plus O (S n))) u H1 
33 P))) (subst0_gen_lref u (TLRef n) d n H)))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: 
34 T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).((subst0 d u t0 t0) \to (\forall (P: 
35 Prop).P))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).((subst0 d u 
36 t1 t1) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (subst0 
37 d u (THead k t0 t1) (THead k t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(or3_ind (ex2 T 
38 (\lambda (u2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: 
39 T).(subst0 d u t0 u2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead 
40 k t0 t2))) (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))) (ex3_2 T T (\lambda 
41 (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda 
42 (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: 
43 T).(subst0 (s k d) u t1 t2)))) P (\lambda (H2: (ex2 T (\lambda (u2: T).(eq T 
44 (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 d u t0 
45 u2)))).(ex2_ind T (\lambda (u2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) 
46 (\lambda (u2: T).(subst0 d u t0 u2)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T 
47 (THead k t0 t1) (THead k x t1))).(\lambda (H4: (subst0 d u t0 x)).(let H5 
48 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) 
49 with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ t2 _) 
50 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x t1) H3) in (let H6 \def 
51 (eq_ind_r T x (\lambda (t2: T).(subst0 d u t0 t2)) H4 t0 H5) in (H d H6 
52 P)))))) H2)) (\lambda (H2: (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) 
53 (THead k t0 t2))) (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2)))).(ex2_ind T 
54 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k t0 t2))) (\lambda (t2: 
55 T).(subst0 (s k d) u t1 t2)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T (THead k 
56 t0 t1) (THead k t0 x))).(\lambda (H4: (subst0 (s k d) u t1 x)).(let H5 \def 
57 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with 
58 [(TSort _) \Rightarrow t1 | (TLRef _) \Rightarrow t1 | (THead _ _ t2) 
59 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k t0 x) H3) in (let H6 \def 
60 (eq_ind_r T x (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2)) H4 t1 H5) in (H0 (s 
61 k d) H6 P)))))) H2)) (\lambda (H2: (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: 
62 T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: 
63 T).(subst0 d u t0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 
64 t2))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 
65 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2))) 
66 (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))) P (\lambda (x0: 
67 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T (THead k t0 t1) (THead k x0 
68 x1))).(\lambda (H4: (subst0 d u t0 x0)).(\lambda (H5: (subst0 (s k d) u t1 
69 x1)).(let H6 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda 
70 (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead 
71 _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x0 x1) H3) in ((let H7 
72 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) 
73 with [(TSort _) \Rightarrow t1 | (TLRef _) \Rightarrow t1 | (THead _ _ t2) 
74 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x0 x1) H3) in (\lambda (H8: (eq T 
75 t0 x0)).(let H9 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 
76 t2)) H5 t1 H7) in (let H10 \def (eq_ind_r T x0 (\lambda (t2: T).(subst0 d u 
77 t0 t2)) H4 t0 H8) in (H d H10 P))))) H6))))))) H2)) (subst0_gen_head k u t0 
78 t1 (THead k t0 t1) d H1)))))))))) t)).
79
80 theorem subst0_lift_lt:
81  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0 
82 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((lt i d) \to (\forall (h: nat).(subst0 i 
83 (lift h (minus d (S i)) u) (lift h d t1) (lift h d t2)))))))))
84 \def
85  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
86 (H: (subst0 i u t1 t2)).(subst0_ind (\lambda (n: nat).(\lambda (t: 
87 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (\forall 
88 (h: nat).(subst0 n (lift h (minus d (S n)) t) (lift h d t0) (lift h d 
89 t3))))))))) (\lambda (v: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda 
90 (H0: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(eq_ind_r T (TLRef i0) (\lambda (t: 
91 T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t (lift h d (lift (S i0) O v)))) 
92 (let w \def (minus d (S i0)) in (eq_ind nat (plus (S i0) (minus d (S i0))) 
93 (\lambda (n: nat).(subst0 i0 (lift h w v) (TLRef i0) (lift h n (lift (S i0) O 
94 v)))) (eq_ind_r T (lift (S i0) O (lift h (minus d (S i0)) v)) (\lambda (t: 
95 T).(subst0 i0 (lift h w v) (TLRef i0) t)) (subst0_lref (lift h (minus d (S 
96 i0)) v) i0) (lift h (plus (S i0) (minus d (S i0))) (lift (S i0) O v)) (lift_d 
97 v h (S i0) (minus d (S i0)) O (le_O_n (minus d (S i0))))) d (le_plus_minus_r 
98 (S i0) d H0))) (lift h d (TLRef i0)) (lift_lref_lt i0 h d H0))))))) (\lambda 
99 (v: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_: 
100 (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((lt i0 d) \to (\forall 
101 (h: nat).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (lift h d u1) (lift h d 
102 u2))))))).(\lambda (t: T).(\lambda (k: K).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (lt 
103 i0 d)).(\lambda (h: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) 
104 t)) (\lambda (t0: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t0 (lift h d 
105 (THead k u2 t)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift h (s k d) t)) 
106 (\lambda (t0: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (THead k (lift h d 
107 u1) (lift h (s k d) t)) t0)) (subst0_fst (lift h (minus d (S i0)) v) (lift h 
108 d u2) (lift h d u1) i0 (H1 d H2 h) (lift h (s k d) t) k) (lift h d (THead k 
109 u2 t)) (lift_head k u2 t h d)) (lift h d (THead k u1 t)) (lift_head k u1 t h 
110 d))))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: 
111 T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t3 t0)).(\lambda (H1: 
112 ((\forall (d: nat).((lt (s k i0) d) \to (\forall (h: nat).(subst0 (s k i0) 
113 (lift h (minus d (S (s k i0))) v) (lift h d t3) (lift h d t0))))))).(\lambda 
114 (u0: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(let H3 
115 \def (eq_ind_r nat (S (s k i0)) (\lambda (n: nat).(\forall (d0: nat).((lt (s 
116 k i0) d0) \to (\forall (h0: nat).(subst0 (s k i0) (lift h0 (minus d0 n) v) 
117 (lift h0 d0 t3) (lift h0 d0 t0)))))) H1 (s k (S i0)) (s_S k i0)) in (eq_ind_r 
118 T (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 
119 (lift h (minus d (S i0)) v) t (lift h d (THead k u0 t0)))) (eq_ind_r T (THead 
120 k (lift h d u0) (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h 
121 (minus d (S i0)) v) (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) t)) (eq_ind 
122 nat (minus (s k d) (s k (S i0))) (\lambda (n: nat).(subst0 i0 (lift h n v) 
123 (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) (THead k (lift h d u0) (lift h (s 
124 k d) t0)))) (subst0_snd k (lift h (minus (s k d) (s k (S i0))) v) (lift h (s 
125 k d) t0) (lift h (s k d) t3) i0 (H3 (s k d) (s_lt k i0 d H2) h) (lift h d 
126 u0)) (minus d (S i0)) (minus_s_s k d (S i0))) (lift h d (THead k u0 t0)) 
127 (lift_head k u0 t0 h d)) (lift h d (THead k u0 t3)) (lift_head k u0 t3 h 
128 d)))))))))))))) (\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda 
129 (i0: nat).(\lambda (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: 
130 nat).((lt i0 d) \to (\forall (h: nat).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) 
131 (lift h d u1) (lift h d u2))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda 
132 (t3: T).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t0 t3)).(\lambda (H3: ((\forall (d: 
133 nat).((lt (s k i0) d) \to (\forall (h: nat).(subst0 (s k i0) (lift h (minus d 
134 (S (s k i0))) v) (lift h d t0) (lift h d t3))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda 
135 (H4: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(let H5 \def (eq_ind_r nat (S (s k i0)) 
136 (\lambda (n: nat).(\forall (d0: nat).((lt (s k i0) d0) \to (\forall (h0: 
137 nat).(subst0 (s k i0) (lift h0 (minus d0 n) v) (lift h0 d0 t0) (lift h0 d0 
138 t3)))))) H3 (s k (S i0)) (s_S k i0)) in (eq_ind_r T (THead k (lift h d u1) 
139 (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t 
140 (lift h d (THead k u2 t3)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift h (s k 
141 d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (THead k (lift 
142 h d u1) (lift h (s k d) t0)) t)) (subst0_both (lift h (minus d (S i0)) v) 
143 (lift h d u1) (lift h d u2) i0 (H1 d H4 h) k (lift h (s k d) t0) (lift h (s k 
144 d) t3) (eq_ind nat (minus (s k d) (s k (S i0))) (\lambda (n: nat).(subst0 (s 
145 k i0) (lift h n v) (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3))) (H5 (s k d) 
146 (s_lt k i0 d H4) h) (minus d (S i0)) (minus_s_s k d (S i0)))) (lift h d 
147 (THead k u2 t3)) (lift_head k u2 t3 h d)) (lift h d (THead k u1 t0)) 
148 (lift_head k u1 t0 h d))))))))))))))))) i u t1 t2 H))))).
149
150 theorem subst0_lift_ge:
151  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).(\forall 
152 (h: nat).((subst0 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (subst0 
153 (plus i h) u (lift h d t1) (lift h d t2)))))))))
154 \def
155  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
156 (h: nat).(\lambda (H: (subst0 i u t1 t2)).(subst0_ind (\lambda (n: 
157 nat).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\forall (d: nat).((le 
158 d n) \to (subst0 (plus n h) t (lift h d t0) (lift h d t3)))))))) (\lambda (v: 
159 T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i0)).(eq_ind_r T 
160 (TLRef (plus i0 h)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v t (lift h d (lift 
161 (S i0) O v)))) (eq_ind_r T (lift (plus h (S i0)) O v) (\lambda (t: T).(subst0 
162 (plus i0 h) v (TLRef (plus i0 h)) t)) (eq_ind nat (S (plus h i0)) (\lambda 
163 (n: nat).(subst0 (plus i0 h) v (TLRef (plus i0 h)) (lift n O v))) (eq_ind_r 
164 nat (plus h i0) (\lambda (n: nat).(subst0 n v (TLRef n) (lift (S (plus h i0)) 
165 O v))) (subst0_lref v (plus h i0)) (plus i0 h) (plus_comm i0 h)) (plus h (S 
166 i0)) (plus_n_Sm h i0)) (lift h d (lift (S i0) O v)) (lift_free v (S i0) h O d 
167 (le_S d i0 H0) (le_O_n d))) (lift h d (TLRef i0)) (lift_lref_ge i0 h d 
168 H0)))))) (\lambda (v: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i0: 
169 nat).(\lambda (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((le 
170 d i0) \to (subst0 (plus i0 h) v (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (t: 
171 T).(\lambda (k: K).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (le d i0)).(eq_ind_r T 
172 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t)) (\lambda (t0: T).(subst0 (plus i0 
173 h) v t0 (lift h d (THead k u2 t)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift 
174 h (s k d) t)) (\lambda (t0: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u1) 
175 (lift h (s k d) t)) t0)) (subst0_fst v (lift h d u2) (lift h d u1) (plus i0 
176 h) (H1 d H2) (lift h (s k d) t) k) (lift h d (THead k u2 t)) (lift_head k u2 
177 t h d)) (lift h d (THead k u1 t)) (lift_head k u1 t h d)))))))))))) (\lambda 
178 (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (i0: 
179 nat).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t3 t0)).(\lambda (H1: ((\forall (d: 
180 nat).((le d (s k i0)) \to (subst0 (plus (s k i0) h) v (lift h d t3) (lift h d 
181 t0)))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (le d i0)).(let H3 
182 \def (eq_ind_r nat (plus (s k i0) h) (\lambda (n: nat).(\forall (d0: 
183 nat).((le d0 (s k i0)) \to (subst0 n v (lift h d0 t3) (lift h d0 t0))))) H1 
184 (s k (plus i0 h)) (s_plus k i0 h)) in (eq_ind_r T (THead k (lift h d u0) 
185 (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v t (lift h d (THead 
186 k u0 t0)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t0)) (\lambda 
187 (t: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) t)) 
188 (subst0_snd k v (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3) (plus i0 h) (H3 (s k 
189 d) (s_le k d i0 H2)) (lift h d u0)) (lift h d (THead k u0 t0)) (lift_head k 
190 u0 t0 h d)) (lift h d (THead k u0 t3)) (lift_head k u0 t3 h d))))))))))))) 
191 (\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda 
192 (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((le d i0) \to 
193 (subst0 (plus i0 h) v (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (k: 
194 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t0 
195 t3)).(\lambda (H3: ((\forall (d: nat).((le d (s k i0)) \to (subst0 (plus (s k 
196 i0) h) v (lift h d t0) (lift h d t3)))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (H4: (le 
197 d i0)).(let H5 \def (eq_ind_r nat (plus (s k i0) h) (\lambda (n: 
198 nat).(\forall (d0: nat).((le d0 (s k i0)) \to (subst0 n v (lift h d0 t0) 
199 (lift h d0 t3))))) H3 (s k (plus i0 h)) (s_plus k i0 h)) in (eq_ind_r T 
200 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 
201 h) v t (lift h d (THead k u2 t3)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift 
202 h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u1) 
203 (lift h (s k d) t0)) t)) (subst0_both v (lift h d u1) (lift h d u2) (plus i0 
204 h) (H1 d H4) k (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3) (H5 (s k d) (s_le k d 
205 i0 H4))) (lift h d (THead k u2 t3)) (lift_head k u2 t3 h d)) (lift h d (THead 
206 k u1 t0)) (lift_head k u1 t0 h d)))))))))))))))) i u t1 t2 H)))))).
207
208 theorem subst0_lift_ge_S:
209  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0 
210 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (subst0 (S i) u (lift (S O) d 
211 t1) (lift (S O) d t2))))))))
212 \def
213  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
214 (H: (subst0 i u t1 t2)).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i)).(eq_ind nat 
215 (plus i (S O)) (\lambda (n: nat).(subst0 n u (lift (S O) d t1) (lift (S O) d 
216 t2))) (subst0_lift_ge t1 t2 u i (S O) H d H0) (S i) (eq_ind_r nat (plus (S O) 
217 i) (\lambda (n: nat).(eq nat n (S i))) (refl_equal nat (S i)) (plus i (S O)) 
218 (plus_comm i (S O)))))))))).
219
220 theorem subst0_lift_ge_s:
221  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0 
222 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (\forall (b: B).(subst0 (s 
223 (Bind b) i) u (lift (S O) d t1) (lift (S O) d t2)))))))))
224 \def
225  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda 
226 (H: (subst0 i u t1 t2)).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i)).(\lambda 
227 (_: B).(subst0_lift_ge_S t1 t2 u i H d H0)))))))).
228