helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/tlt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/tlt/defs.ma".
  18
  19 theorem wadd_le:
  20  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  21 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((le v w) \to
  22 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  23 \def
  24  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  25 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  26 nat).(\lambda (H0: (le v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  27 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) H0 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le
  28 (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0))) n))))))).
  29
  30 theorem wadd_lt:
  31  \forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
  32 nat).(le (f n) (g n)))) \to (\forall (v: nat).(\forall (w: nat).((lt v w) \to
  33 (\forall (n: nat).(le (wadd f v n) (wadd g w n))))))))
  34 \def
  35  \lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H:
  36 ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(\lambda (v: nat).(\lambda (w:
  37 nat).(\lambda (H0: (lt v w)).(\lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  38 nat).(le (wadd f v n0) (wadd g w n0))) (le_S_n v w (le_S (S v) w H0))
  39 (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le (wadd f v n0) (wadd g w n0))).(H n0)))
  40 n))))))).
  41
  42 theorem wadd_O:
  43  \forall (n: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_: nat).O) O n) O)
  44 \def
  45  \lambda (n: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat (wadd (\lambda (_:
  46 nat).O) O n0) O)) (refl_equal nat O) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (eq nat
  47 (wadd (\lambda (_: nat).O) O n0) O)).(refl_equal nat O))) n).
  48
  49 theorem weight_le:
  50  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  51 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t)
  52 (weight_map g t)))))
  53 \def
  54  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (f: ((nat \to
  55 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  56 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
  57 (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (_: ((\forall
  58 (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(le_n (weight_map g (TSort n))))))) (\lambda
  59 (n: nat).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda
  60 (H: ((\forall (n0: nat).(le (f n0) (g n0))))).(H n))))) (\lambda (k:
  61 K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to
  62 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  63 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1:
  64 T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  65 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))
  66 \to (\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  67 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f (THead k0 t0 t1))
  68 (weight_map g (THead k0 t0 t1))))))))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0:
  69 B).(\forall (t0: T).(((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
  70 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0)
  71 (weight_map g t0)))))) \to (\forall (t1: T).(((\forall (f: ((nat \to
  72 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  73 \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1)))))) \to (\forall (f: ((nat \to
  74 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  75 \to (le (match b0 with [Abbr \Rightarrow (S (plus (weight_map f t0)
  76 (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus
  77 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus
  78 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1)))]) (match b0 with [Abbr
  79 \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g
  80 t0))) t1))) | Abst \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g
  81 O) t1))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O)
  82 t1)))])))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to
  83 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
  84 \to (le (weight_map f t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
  85 (H0: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall
  86 (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g
  87 t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
  88 nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))).(le_n_S (plus
  89 (weight_map f t0) (weight_map (wadd f (S (weight_map f t0))) t1)) (plus
  90 (weight_map g t0) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1))
  91 (plus_le_compat (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f (S
  92 (weight_map f t0))) t1) (weight_map (wadd g (S (weight_map g t0))) t1) (H f g
  93 H1) (H0 (wadd f (S (weight_map f t0))) (wadd g (S (weight_map g t0)))
  94 (\lambda (n: nat).(wadd_le f g H1 (S (weight_map f t0)) (S (weight_map g t0))
  95 (le_n_S (weight_map f t0) (weight_map g t0) (H f g H1)) n))))))))))))
  96 (\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g:
  97 ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f
  98 t0) (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f:
  99 ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n)
 100 (g n)))) \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat
 101 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 102 (f n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))
 103 (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1)) (plus_le_compat
 104 (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O) t1) (weight_map
 105 (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda (n:
 106 nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n)))))))))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (H:
 107 ((\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n:
 108 nat).(le (f n) (g n)))) \to (le (weight_map f t0) (weight_map g
 109 t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f: ((nat \to
 110 nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f n) (g n))))
 111 \to (le (weight_map f t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f: ((nat \to
 112 nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le (f
 113 n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f t0) (weight_map (wadd f O) t1))
 114 (plus (weight_map g t0) (weight_map (wadd g O) t1)) (plus_le_compat
 115 (weight_map f t0) (weight_map g t0) (weight_map (wadd f O) t1) (weight_map
 116 (wadd g O) t1) (H f g H1) (H0 (wadd f O) (wadd g O) (\lambda (n:
 117 nat).(wadd_le f g H1 O O (le_n O) n)))))))))))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda
 118 (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (f0: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 119 nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g n)))) \to (le (weight_map f0 t0)
 120 (weight_map g t0))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (f0: ((nat
 121 \to nat))).(\forall (g: ((nat \to nat))).(((\forall (n: nat).(le (f0 n) (g
 122 n)))) \to (le (weight_map f0 t1) (weight_map g t1))))))).(\lambda (f0: ((nat
 123 \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to nat))).(\lambda (H1: ((\forall (n: nat).(le
 124 (f0 n) (g n))))).(le_n_S (plus (weight_map f0 t0) (weight_map f0 t1)) (plus
 125 (weight_map g t0) (weight_map g t1)) (plus_le_compat (weight_map f0 t0)
 126 (weight_map g t0) (weight_map f0 t1) (weight_map g t1) (H f0 g H1) (H0 f0 g
 127 H1))))))))))) k)) t).
 128
 129 theorem weight_eq:
 130  \forall (t: T).(\forall (f: ((nat \to nat))).(\forall (g: ((nat \to
 131 nat))).(((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n)))) \to (eq nat (weight_map f
 132 t) (weight_map g t)))))
 133 \def
 134  \lambda (t: T).(\lambda (f: ((nat \to nat))).(\lambda (g: ((nat \to
 135 nat))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(eq nat (f n) (g n))))).(le_antisym
 136 (weight_map f t) (weight_map g t) (weight_le t f g (\lambda (n:
 137 nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0: nat).(le n0 (g n))) (le_n (g n)) (f n)
 138 (H n)))) (weight_le t g f (\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (g n) (\lambda (n0:
 139 nat).(le (g n) n0)) (le_n (g n)) (f n) (H n)))))))).
 140
 141 theorem weight_add_O:
 142  \forall (t: T).(eq nat (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 143 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 144 \def
 145  \lambda (t: T).(weight_eq t (wadd (\lambda (_: nat).O) O) (\lambda (_:
 146 nat).O) (\lambda (n: nat).(wadd_O n))).
 147
 148 theorem weight_add_S:
 149  \forall (t: T).(\forall (m: nat).(le (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O)
 150 O) t) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) t)))
 151 \def
 152  \lambda (t: T).(\lambda (m: nat).(weight_le t (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 153 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S m)) (\lambda (n: nat).(wadd_le (\lambda (_:
 154 nat).O) (\lambda (_: nat).O) (\lambda (_: nat).(le_n O)) O (S m) (le_S O m
 155 (le_O_n m)) n)))).
 156
 157 theorem tlt_trans:
 158  \forall (v: T).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((tlt u v) \to ((tlt v t) \to
 159 (tlt u t)))))
 160 \def
 161  \lambda (v: T).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (lt (weight u)
 162 (weight v))).(\lambda (H0: (lt (weight v) (weight t))).(lt_trans (weight u)
 163 (weight v) (weight t) H H0))))).
 164
 165 theorem tlt_head_sx:
 166  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt u (THead k u t))))
 167 \def
 168  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 169 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 170 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 171 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (match b0 with [Abbr
 172 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 173 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 174 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 175 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 176 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 177 (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus
 178 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 179 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_:
 180 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 181 nat).O) u))) t))))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map
 182 (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 183 (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 184 u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t))))) (\lambda (u: T).(\lambda
 185 (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda
 186 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)) (le_plus_l
 187 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O)
 188 t))))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(le_n_S
 189 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 190 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_l (weight_map (\lambda (_:
 191 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)))))) k).
 192
 193 theorem tlt_head_dx:
 194  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(tlt t (THead k u t))))
 195 \def
 196  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(lt
 197 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (\lambda (_: nat).O) (THead
 198 k0 u t)))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).(\forall (u: T).(\forall
 199 (t: T).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (match b0 with [Abbr
 200 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 201 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) | Abst
 202 \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd
 203 (\lambda (_: nat).O) O) t))) | Void \Rightarrow (S (plus (weight_map (\lambda
 204 (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)))]))))) (\lambda
 205 (u: T).(\lambda (t: T).(lt_le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S
 206 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (S (plus (weight_map (\lambda (_:
 207 nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_:
 208 nat).O) u))) t))) (lt_n_Sn (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_n_S
 209 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 210 (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O)
 211 u))) t)) (le_trans (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (weight_map (wadd
 212 (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t) (plus
 213 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) (S
 214 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)) (eq_ind nat (weight_map (wadd
 215 (\lambda (_: nat).O) O) t) (\lambda (n: nat).(le n (weight_map (wadd (\lambda
 216 (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t))) (weight_add_S t
 217 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)
 218 (weight_add_O t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 219 (wadd (\lambda (_: nat).O) (S (weight_map (\lambda (_: nat).O) u))) t)))))))
 220 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map (\lambda (_:
 221 nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (S (plus
 222 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_n_S (weight_map (\lambda (_:
 223 nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 224 nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map
 225 (\lambda (_: nat).O) t))) (weight_map (wadd (\lambda (_: nat).O) O) t)
 226 (weight_add_O t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(eq_ind_r nat (weight_map
 227 (\lambda (_: nat).O) t) (\lambda (n: nat).(lt (weight_map (\lambda (_:
 228 nat).O) t) (S (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) n)))) (le_n_S
 229 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus (weight_map (\lambda (_: nat).O) u)
 230 (weight_map (\lambda (_: nat).O) t)) (le_plus_r (weight_map (\lambda (_:
 231 nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))) (weight_map (wadd (\lambda
 232 (_: nat).O) O) t) (weight_add_O t)))) b)) (\lambda (_: F).(\lambda (u:
 233 T).(\lambda (t: T).(le_n_S (weight_map (\lambda (_: nat).O) t) (plus
 234 (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_: nat).O) t))
 235 (le_plus_r (weight_map (\lambda (_: nat).O) u) (weight_map (\lambda (_:
 236 nat).O) t)))))) k).
 237
 238 theorem tlt_wf__q_ind:
 239  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (n: nat).((\lambda (P0: ((T \to
 240 Prop))).(\lambda (n0: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t) n0) \to (P0
 241 t))))) P n))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 242 \def
 243  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 244 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 245 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq nat (weight t)
 246 n) \to (P t)))))).(\lambda (t: T).(H (weight t) t (refl_equal nat (weight
 247 t)))))).
 248
 249 theorem tlt_wf_ind:
 250  \forall (P: ((T \to Prop))).(((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((tlt v t)
 251 \to (P v)))) \to (P t)))) \to (\forall (t: T).(P t)))
 252 \def
 253  let Q \def (\lambda (P: ((T \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (t:
 254 T).((eq nat (weight t) n) \to (P t))))) in (\lambda (P: ((T \to
 255 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (t: T).(((\forall (v: T).((lt (weight v)
 256 (weight t)) \to (P v)))) \to (P t))))).(\lambda (t: T).(tlt_wf__q_ind
 257 (\lambda (t0: T).(P t0)) (\lambda (n: nat).(lt_wf_ind n (Q (\lambda (t0:
 258 T).(P t0))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: ((\forall (m: nat).((lt m n0)
 259 \to (Q (\lambda (t0: T).(P t0)) m))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H1: (eq nat
 260 (weight t0) n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1: nat).(\forall
 261 (m: nat).((lt m n1) \to (\forall (t1: T).((eq nat (weight t1) m) \to (P
 262 t1)))))) H0 (weight t0) H1) in (H t0 (\lambda (v: T).(\lambda (H3: (lt
 263 (weight v) (weight t0))).(H2 (weight v) H3 v (refl_equal nat (weight
 264 v))))))))))))) t)))).
 265