helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/leq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/leq/props".
  18
  19 include "leq/defs.ma".
  20
  21 theorem leq_gen_sort:
  22  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
  23 g (ASort h1 n1) a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  24 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h2 n2))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda
  25 (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort
  26 h2 n2) k))))))))))
  27 \def
  28  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
  29 A).(\lambda (H: (leq g (ASort h1 n1) a2)).(let H0 \def (match H in leq return
  30 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (ASort
  31 h1 n1)) \to ((eq A a0 a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda
  32 (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h2 n2))))) (\lambda (n2:
  33 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k)
  34 (aplus g (ASort h2 n2) k))))))))))) with [(leq_sort h0 h2 n0 n2 k H0)
  35 \Rightarrow (\lambda (H1: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h1 n1))).(\lambda (H2:
  36 (eq A (ASort h2 n2) a2)).((let H3 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match
  37 e in A return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _
  38 _) \Rightarrow n0])) (ASort h0 n0) (ASort h1 n1) H1) in ((let H4 \def
  39 (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with
  40 [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow h0])) (ASort h0 n0)
  41 (ASort h1 n1) H1) in (eq_ind nat h1 (\lambda (n: nat).((eq nat n0 n1) \to
  42 ((eq A (ASort h2 n2) a2) \to ((eq A (aplus g (ASort n n0) k) (aplus g (ASort
  43 h2 n2) k)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  44 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda
  45 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort
  46 h3 n3) k0)))))))))) (\lambda (H5: (eq nat n0 n1)).(eq_ind nat n1 (\lambda (n:
  47 nat).((eq A (ASort h2 n2) a2) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n) k) (aplus g
  48 (ASort h2 n2) k)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  49 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda
  50 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort
  51 h3 n3) k0))))))))) (\lambda (H6: (eq A (ASort h2 n2) a2)).(eq_ind A (ASort h2
  52 n2) (\lambda (a: A).((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  53 k)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_:
  54 nat).(eq A a (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
  55 (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0))))))))
  56 (\lambda (H7: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  57 k))).(ex2_3_intro nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
  58 (_: nat).(eq A (ASort h2 n2) (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda
  59 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort
  60 h3 n3) k0))))) n2 h2 k (refl_equal A (ASort h2 n2)) H7)) a2 H6)) n0 (sym_eq
  61 nat n0 n1 H5))) h0 (sym_eq nat h0 h1 H4))) H3)) H2 H0))) | (leq_head a1 a0 H0
  62 a3 a4 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (AHead a1 a3) (ASort h1
  63 n1))).(\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) a2)).((let H4 \def (eq_ind A (AHead
  64 a1 a3) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with
  65 [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h1
  66 n1) H2) in (False_ind ((eq A (AHead a0 a4) a2) \to ((leq g a1 a0) \to ((leq g
  67 a3 a4) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  68 (_: nat).(eq A a2 (ASort h2 n2))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  69 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  70 k))))))))) H4)) H3 H0 H1)))]) in (H0 (refl_equal A (ASort h1 n1)) (refl_equal
  71 A a2))))))).
  72
  73 theorem leq_gen_head:
  74  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g
  75 (AHead a1 a2) a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A a
  76 (AHead a3 a4)))) (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda
  77 (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))))))))
  78 \def
  79  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
  80 (H: (leq g (AHead a1 a2) a)).(let H0 \def (match H in leq return (\lambda
  81 (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (leq ? a0 a3)).((eq A a0 (AHead a1 a2))
  82 \to ((eq A a3 a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a
  83 (AHead a4 a5)))) (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a4))) (\lambda
  84 (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a2 a5))))))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k
  85 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq A (ASort h1 n1) (AHead a1 a2))).(\lambda
  86 (H2: (eq A (ASort h2 n2) a)).((let H3 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda
  87 (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
  88 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 a2) H1) in
  89 (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) a) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k)
  90 (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (a4:
  91 A).(eq A a (AHead a3 a4)))) (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3)))
  92 (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4)))))) H3)) H2 H0))) | (leq_head
  93 a0 a3 H0 a4 a5 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (AHead a0 a4) (AHead a1
  94 a2))).(\lambda (H3: (eq A (AHead a3 a5) a)).((let H4 \def (f_equal A A
  95 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
  96 \Rightarrow a4 | (AHead _ a6) \Rightarrow a6])) (AHead a0 a4) (AHead a1 a2)
  97 H2) in ((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return
  98 (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a6 _)
  99 \Rightarrow a6])) (AHead a0 a4) (AHead a1 a2) H2) in (eq_ind A a1 (\lambda
 100 (a6: A).((eq A a4 a2) \to ((eq A (AHead a3 a5) a) \to ((leq g a6 a3) \to
 101 ((leq g a4 a5) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a
 102 (AHead a7 a8)))) (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda
 103 (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))))))))) (\lambda (H6: (eq A a4
 104 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a6: A).((eq A (AHead a3 a5) a) \to ((leq g a1 a3)
 105 \to ((leq g a6 a5) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a
 106 (AHead a7 a8)))) (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda
 107 (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8)))))))) (\lambda (H7: (eq A (AHead a3
 108 a5) a)).(eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (a6: A).((leq g a1 a3) \to ((leq g
 109 a2 a5) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a6 (AHead a7
 110 a8)))) (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda (_:
 111 A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))))))) (\lambda (H8: (leq g a1 a3)).(\lambda
 112 (H9: (leq g a2 a5)).(ex3_2_intro A A (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A
 113 (AHead a3 a5) (AHead a6 a7)))) (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
 114 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2 a7))) a3 a5 (refl_equal A
 115 (AHead a3 a5)) H8 H9))) a H7)) a4 (sym_eq A a4 a2 H6))) a0 (sym_eq A a0 a1
 116 H5))) H4)) H3 H0 H1)))]) in (H0 (refl_equal A (AHead a1 a2)) (refl_equal A
 117 a))))))).
 118
 119 theorem leq_refl:
 120  \forall (g: G).(\forall (a: A).(leq g a a))
 121 \def
 122  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(leq g a0 a0))
 123 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(leq_sort g n n n0 n0 O (refl_equal A
 124 (aplus g (ASort n n0) O))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (leq g a0
 125 a0)).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (leq g a1 a1)).(leq_head g a0 a0 H a1 a1
 126 H0))))) a)).
 127
 128 theorem leq_eq:
 129  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((eq A a1 a2) \to (leq g a1
 130 a2))))
 131 \def
 132  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (eq A a1
 133 a2)).(eq_ind_r A a2 (\lambda (a: A).(leq g a a2)) (leq_refl g a2) a1 H)))).
 134
 135 theorem leq_sym:
 136  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
 137 a2 a1))))
 138 \def
 139  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
 140 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g a0 a))) (\lambda (h1:
 141 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
 142 nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
 143 k))).(leq_sort g h2 h1 n2 n1 k (sym_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
 144 (ASort h2 n2) k) H0)))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 145 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: (leq g a4 a3)).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
 146 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g a6 a5)).(leq_head g a4 a3
 147 H1 a6 a5 H3))))))))) a1 a2 H)))).
 148
 149 axiom leq_trans:
 150  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
 151 (a3: A).((leq g a2 a3) \to (leq g a1 a3))))))
 152 .
 153
 154 theorem leq_ahead_false:
 155  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2) a1)
 156 \to (\forall (P: Prop).P))))
 157 \def
 158  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 159 A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 160 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead (ASort n
 161 n0) a2) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).((match n in nat return (\lambda
 162 (n1: nat).((leq g (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P)) with [O
 163 \Rightarrow (\lambda (H0: (leq g (AHead (ASort O n0) a2) (ASort O n0))).(let
 164 H1 \def (match H0 in leq return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_:
 165 (leq ? a a0)).((eq A a (AHead (ASort O n0) a2)) \to ((eq A a0 (ASort O n0))
 166 \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A
 167 (ASort h1 n1) (AHead (ASort O n0) a2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n2)
 168 (ASort O n0))).((let H4 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e
 169 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 170 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead (ASort O n0) a2) H2) in (False_ind ((eq A
 171 (ASort h2 n2) (ASort O n0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
 172 (ASort h2 n2) k)) \to P)) H4)) H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5 H2)
 173 \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) (AHead (ASort O n0)
 174 a2))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0))).((let H5 \def (f_equal
 175 A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 176 \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort O
 177 n0) a2) H3) in ((let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 178 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _)
 179 \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort O n0) a2) H3) in (eq_ind A
 180 (ASort O n0) (\lambda (a: A).((eq A a4 a2) \to ((eq A (AHead a3 a5) (ASort O
 181 n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g a4 a5) \to P))))) (\lambda (H7: (eq A a4
 182 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a: A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to
 183 ((leq g (ASort O n0) a3) \to ((leq g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A
 184 (AHead a3 a5) (ASort O n0))).(let H9 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda
 185 (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 186 \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort O n0) H8) in
 187 (False_ind ((leq g (ASort O n0) a3) \to ((leq g a2 a5) \to P)) H9))) a4
 188 (sym_eq A a4 a2 H7))) a0 (sym_eq A a0 (ASort O n0) H6))) H5)) H4 H1 H2)))])
 189 in (H1 (refl_equal A (AHead (ASort O n0) a2)) (refl_equal A (ASort O n0)))))
 190 | (S n1) \Rightarrow (\lambda (H0: (leq g (AHead (ASort (S n1) n0) a2) (ASort
 191 (S n1) n0))).(let H1 \def (match H0 in leq return (\lambda (a: A).(\lambda
 192 (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (AHead (ASort (S n1) n0) a2)) \to
 193 ((eq A a0 (ASort (S n1) n0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n2 n3 k H1)
 194 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n2) (AHead (ASort (S n1) n0)
 195 a2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n3) (ASort (S n1) n0))).((let H4 \def
 196 (eq_ind A (ASort h1 n2) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_:
 197 A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow
 198 False])) I (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H2) in (False_ind ((eq A (ASort h2
 199 n3) (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n2) k) (aplus g (ASort
 200 h2 n3) k)) \to P)) H4)) H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5 H2) \Rightarrow
 201 (\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S n1) n0) a2))).(\lambda
 202 (H4: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).((let H5 \def (f_equal A A
 203 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 204 \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S
 205 n1) n0) a2) H3) in ((let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 206 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _)
 207 \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H3) in (eq_ind A
 208 (ASort (S n1) n0) (\lambda (a: A).((eq A a4 a2) \to ((eq A (AHead a3 a5)
 209 (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g a4 a5) \to P))))) (\lambda
 210 (H7: (eq A a4 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a: A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort
 211 (S n1) n0)) \to ((leq g (ASort (S n1) n0) a3) \to ((leq g a a5) \to P))))
 212 (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).(let H9 \def (eq_ind A
 213 (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with
 214 [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort (S
 215 n1) n0) H8) in (False_ind ((leq g (ASort (S n1) n0) a3) \to ((leq g a2 a5)
 216 \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 a2 H7))) a0 (sym_eq A a0 (ASort (S n1) n0)
 217 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead (ASort (S n1) n0) a2))
 218 (refl_equal A (ASort (S n1) n0)))))]) H)))))) (\lambda (a: A).(\lambda (H:
 219 ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P:
 220 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead
 221 a0 a2) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (leq
 222 g (AHead (AHead a a0) a2) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 223 (match H1 in leq return (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (leq ?
 224 a3 a4)).((eq A a3 (AHead (AHead a a0) a2)) \to ((eq A a4 (AHead a a0)) \to
 225 P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 226 (ASort h1 n1) (AHead (AHead a a0) a2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort h2 n2)
 227 (AHead a a0))).((let H5 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e
 228 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 229 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead (AHead a a0) a2) H3) in (False_ind ((eq A
 230 (ASort h2 n2) (AHead a a0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
 231 (ASort h2 n2) k)) \to P)) H5)) H4 H2))) | (leq_head a3 a4 H2 a5 a6 H3)
 232 \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (AHead (AHead a a0)
 233 a2))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).((let H6 \def (f_equal
 234 A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 235 \Rightarrow a5 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead (AHead a
 236 a0) a2) H4) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 237 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a7 _)
 238 \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead (AHead a a0) a2) H4) in (eq_ind A
 239 (AHead a a0) (\lambda (a7: A).((eq A a5 a2) \to ((eq A (AHead a4 a6) (AHead a
 240 a0)) \to ((leq g a7 a4) \to ((leq g a5 a6) \to P))))) (\lambda (H8: (eq A a5
 241 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a7: A).((eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0)) \to
 242 ((leq g (AHead a a0) a4) \to ((leq g a7 a6) \to P)))) (\lambda (H9: (eq A
 243 (AHead a4 a6) (AHead a a0))).(let H10 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 244 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a6 |
 245 (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0) H9) in ((let H11
 246 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A)
 247 with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead a7 _) \Rightarrow a7])) (AHead a4
 248 a6) (AHead a a0) H9) in (eq_ind A a (\lambda (a7: A).((eq A a6 a0) \to ((leq
 249 g (AHead a a0) a7) \to ((leq g a2 a6) \to P)))) (\lambda (H12: (eq A a6
 250 a0)).(eq_ind A a0 (\lambda (a7: A).((leq g (AHead a a0) a) \to ((leq g a2 a7)
 251 \to P))) (\lambda (H13: (leq g (AHead a a0) a)).(\lambda (_: (leq g a2
 252 a0)).(H a0 H13 P))) a6 (sym_eq A a6 a0 H12))) a4 (sym_eq A a4 a H11))) H10)))
 253 a5 (sym_eq A a5 a2 H8))) a3 (sym_eq A a3 (AHead a a0) H7))) H6)) H5 H2
 254 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (AHead (AHead a a0) a2)) (refl_equal A (AHead a
 255 a0))))))))))) a1)).
 256