helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/lift/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/lift/props".
  18
  19 include "lift/fwd.ma".
  20
  21 include "s/props.ma".
  22
  23 theorem thead_x_lift_y_y:
  24  \forall (k: K).(\forall (t: T).(\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall
  25 (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t)) t) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  26 \def
  27  \lambda (k: K).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (v:
  28 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t0)) t0)
  29 \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  30 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k v (lift h d (TSort n)))
  31 (TSort n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead k v (lift h d
  32 (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
  33 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
  34 \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
  35 nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
  36 (THead k v (lift h d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  37 (eq_ind T (THead k v (lift h d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
  38 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
  39 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
  40 (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  41 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  42 h d t0)) t0) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0:
  43 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  44 h d t1)) t1) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  45 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  46 t1))) (THead k0 t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K
  47 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
  48 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k _ _) \Rightarrow k]))
  49 (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in ((let H3 \def
  50 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  51 [(TSort _) \Rightarrow v | (TLRef _) \Rightarrow v | (THead _ t _)
  52 \Rightarrow t])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1)
  53 in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
  54 (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat
  55 \to nat))) (d: nat) (t: T) on t: T \def (match t with [(TSort n) \Rightarrow
  56 (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d) with [true
  57 \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t0) \Rightarrow
  58 (THead k (lref_map f d u) (lref_map f (s k d) t0))]) in lref_map) (\lambda
  59 (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d: nat)
  60 (t: T) on t: T \def (match t with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef
  61 i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d) with [true \Rightarrow i | false
  62 \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t0) \Rightarrow (THead k (lref_map f d u)
  63 (lref_map f (s k d) t0))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0
  64 d) t1)) | (TLRef _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat \to
  65 nat))) (d: nat) (t: T) on t: T \def (match t with [(TSort n) \Rightarrow
  66 (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d) with [true
  67 \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t0) \Rightarrow
  68 (THead k (lref_map f d u) (lref_map f (s k d) t0))]) in lref_map) (\lambda
  69 (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d: nat)
  70 (t: T) on t: T \def (match t with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef
  71 i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d) with [true \Rightarrow i | false
  72 \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t0) \Rightarrow (THead k (lref_map f d u)
  73 (lref_map f (s k d) t0))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0
  74 d) t1)) | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  75 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in (\lambda (_: (eq T v t0)).(\lambda (H6: (eq K k
  76 k0)).(let H7 \def (eq_ind K k (\lambda (k: K).(\forall (v: T).(\forall (h:
  77 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t1)) t1) \to (\forall (P:
  78 Prop).P)))))) H0 k0 H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0 t1))
  79 (\lambda (t: T).(eq T t t1)) H4 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
  80 (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (H7 (lift h d t0) h (s k0 d) H8 P)))))) H3))
  81 H2)))))))))))) t)).
  82
  83 theorem lift_r:
  84  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t) t))
  85 \def
  86  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  87 t0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort n)))) (\lambda
  88 (n: nat).(\lambda (d: nat).(lt_le_e n d (eq T (lift O d (TLRef n)) (TLRef n))
  89 (\lambda (H: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef
  90 n))) (refl_equal T (TLRef n)) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_lt n O d H)))
  91 (\lambda (H: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n O)) (\lambda (t0: T).(eq T
  92 t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (plus n O) n (sym_eq nat n (plus n O)
  93 (plus_n_O n))) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_ge n O d H)))))) (\lambda (k:
  94 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  95 t0)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t1)
  96 t1)))).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d)
  97 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (THead k t0 t1))) (sym_equal T (THead k t0 t1)
  98 (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d) t1)) (sym_equal T (THead k (lift O d
  99 t0) (lift O (s k d) t1)) (THead k t0 t1) (sym_equal T (THead k t0 t1) (THead
 100 k (lift O d t0) (lift O (s k d) t1)) (f_equal3 K T T T THead k k t0 (lift O d
 101 t0) t1 (lift O (s k d) t1) (refl_equal K k) (sym_eq T (lift O d t0) t0 (H d))
 102 (sym_eq T (lift O (s k d) t1) t1 (H0 (s k d))))))) (lift O d (THead k t0 t1))
 103 (lift_head k t0 t1 O d)))))))) t).
 104
 105 theorem lift_lref_gt:
 106  \forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt d n) \to (eq T (lift (S O) d (TLRef
 107 (pred n))) (TLRef n))))
 108 \def
 109  \lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 110 (plus (pred n) (S O))) (\lambda (t: T).(eq T t (TLRef n))) (eq_ind nat (plus
 111 (S O) (pred n)) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (eq_ind nat n
 112 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) (S
 113 (pred n)) (S_pred n d H)) (plus (pred n) (S O)) (plus_comm (S O) (pred n)))
 114 (lift (S O) d (TLRef (pred n))) (lift_lref_ge (pred n) (S O) d (le_S_n d
 115 (pred n) (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le (S d) n0)) H (S (pred n))
 116 (S_pred n d H))))))).
 117
 118 theorem lift_inj:
 119  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 120 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 121 \def
 122  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 123 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 124 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 125 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 126 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 127 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 128 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 129 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 130 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 131 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 132 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 133 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 134 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 135 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 136 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 137 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 138 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t:
 139 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t)) \to
 140 (eq T t0 t)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 141 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 142 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 143 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 144 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t: T).(\forall
 145 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t)) \to (eq T t0
 146 t))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 147 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 148 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t: T).(eq T t (lift h d t1))) H1
 149 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 150 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 151 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 152 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 153 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 154 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 155 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 156 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 157 (sym_equal T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) t t0) (sym_equal T (THead
 158 (Bind b) t t0) (THead (Bind b) x0 x1) (sym_equal T (THead (Bind b) x0 x1)
 159 (THead (Bind b) t t0) (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) x0 t x1 t0
 160 (refl_equal K (Bind b)) (sym_eq T t x0 (H x0 h d H4)) (sym_eq T t0 x1 (H0 x1
 161 h (S d) H5)))))) t1 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t) (lift h (S d) t0)
 162 t1 h d H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall
 163 (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d
 164 t0)) \to (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t:
 165 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t)) \to
 166 (eq T t0 t))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 167 nat).(\lambda (H1: (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0)) (lift h d
 168 t1))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t:
 169 T).(eq T t (lift h d t1))) H1 (THead (Flat f) (lift h d t) (lift h d t0))
 170 (lift_flat f t t0 h d)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq
 171 T t1 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d
 172 t) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h d t0) (lift
 173 h d z)))) (eq T (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 174 T).(\lambda (H3: (eq T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift
 175 h d t) (lift h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0) (lift h d
 176 x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat
 177 f) t t0) t2)) (sym_equal T (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) t t0)
 178 (sym_equal T (THead (Flat f) t t0) (THead (Flat f) x0 x1) (sym_equal T (THead
 179 (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) t t0) (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat
 180 f) x0 t x1 t0 (refl_equal K (Flat f)) (sym_eq T t x0 (H x0 h d H4)) (sym_eq T
 181 t0 x1 (H0 x1 h d H5)))))) t1 H3)))))) (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d
 182 t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 183
 184 theorem lift_gen_lift:
 185  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 186 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 187 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 188 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 189 \def
 190  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 191 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 192 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 193 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 194 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 195 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 196 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 197 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 198 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 199 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 200 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 201 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 202 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 203 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 204 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 205 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 206 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 207 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 208 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 209 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 210 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 211 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 212 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 213 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 214 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 215 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 216 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 217 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 218 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 219 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 220 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 221 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 222 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 223 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 224 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 225 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 226 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 227 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 228 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 229 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 230 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 231 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 232 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 233 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 234 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (plus_lt_compat_r n d2 h1 H3) x
 235 H2))) (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2:
 236 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2
 237 t2)))) (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2
 238 h1) (plus n h1) (le_S_n (plus d2 h1) (plus n h1) (lt_le_S (plus d2 h1) (S
 239 (plus n h1)) (le_lt_n_Sm (plus d2 h1) (plus n h1) (plus_le_compat d2 n h1 h1
 240 H3 (le_n h1))))) (eq_ind_r nat (plus (plus d2 h2) h1) (\lambda (n0: nat).(lt
 241 (plus n h1) n0)) (lt_le_S (plus n h1) (plus (plus d2 h2) h1)
 242 (plus_lt_compat_r n (plus d2 h2) h1 H4)) (plus (plus d2 h1) h2)
 243 (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x H2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1
 244 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))) (\lambda (H4:
 245 (le (plus d2 h2) n)).(let H5 \def (eq_ind nat (plus n h1) (\lambda (n:
 246 nat).(eq T (TLRef n) (lift h2 (plus d2 h1) x))) H2 (plus (minus (plus n h1)
 247 h2) h2) (le_plus_minus_sym h2 (plus n h1) (le_plus_trans h2 n h1
 248 (le_trans_plus_r d2 h2 n H4)))) in (eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n h1) h2))
 249 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda
 250 (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq
 251 T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 252 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef (minus n h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n
 253 h2) h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h1 d1 (TLRef (minus n
 254 h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus n h2) h1)) (\lambda (t: T).(eq T
 255 (TLRef (plus (minus n h2) h1)) t)) (refl_equal T (TLRef (plus (minus n h2)
 256 h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))) (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1
 257 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H (le_minus d2 n h2 H4)))) (minus (plus n h1)
 258 h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans_plus_r d2 h2 n H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus
 259 (minus n h2) h2) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef
 260 (minus n0 h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2)
 261 h2)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (f_equal nat T
 262 TLRef (plus (minus n h2) h2) (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)
 263 (f_equal2 nat nat nat plus (minus n h2) (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2
 264 h2 (sym_eq nat (minus (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) (minus_plus_r
 265 (minus n h2) h2)) (refl_equal nat h2))) (lift h2 d2 (TLRef (minus (plus
 266 (minus n h2) h2) h2))) (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 d2
 267 (le_minus d2 (plus (minus n h2) h2) h2 (plus_le_compat d2 (minus n h2) h2 h2
 268 (le_minus d2 n h2 H4) (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n
 269 (le_trans_plus_r d2 h2 n H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2 (plus d2 h1) (minus
 270 (plus n h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x H5)))))))))))))))))) (\lambda (k:
 271 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall
 272 (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift
 273 h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift
 274 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda
 275 (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 276 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 277 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 278 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x:
 279 T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2:
 280 nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t
 281 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1
 282 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 283 x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2
 284 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t
 285 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 286 (Bind b) t t0)) (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3 (THead
 287 (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1)) in
 288 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 289 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 290 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2
 291 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 292 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 293 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda
 294 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 295 (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind
 296 b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 297 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 298 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 299 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1
 300 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 301 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 302 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 303 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 304 T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 305 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1
 306 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0)
 307 (lift h2 d2 t3))))) (let H10 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let
 308 H11 \def (eq_ind nat (S (plus d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1)
 309 t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2:
 310 T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2)
 311 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift
 312 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift
 313 h2 d2 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1)
 314 x3))).(\lambda (H13: (eq T t0 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S
 315 d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 316 h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 317 h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda
 318 (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 319 h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 320 h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 321 (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 322 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2
 323 t2))) (THead (Bind b) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 324 (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 325 (lift h1 (S d1) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 326 h1 (S d1) x3))) (lift h1 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1
 327 d1)) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 328 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 329 t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)))
 330 (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1
 331 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2) (le_S_n (S d1) (S d2) (lt_le_S (S d1) (S
 332 (S d2)) (lt_n_S d1 (S d2) (le_lt_n_Sm d1 d2 H1)))) H11)))) t H9) x0 H8)))) (H
 333 x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1 (S
 334 d1) t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T (lift
 335 h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind
 336 T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus
 337 d2 h1) x))) H3 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0)) (lift_flat f t
 338 t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead
 339 (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift
 340 h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 d1 t0)
 341 (lift h2 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 342 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 343 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 344 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 345 (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0
 346 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 347 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 348 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 349 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1
 350 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 351 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 352 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 353 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 354 T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 355 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1
 356 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0)
 357 (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2)))
 358 (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 359 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 360 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x3:
 361 T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda (H11: (eq T t0 (lift h2
 362 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 363 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 364 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T
 365 (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat
 366 f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T
 367 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda
 368 (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1
 369 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3))
 370 (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1
 371 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1
 372 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift
 373 h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1))
 374 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2:
 375 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T
 376 (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f)
 377 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1
 378 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f
 379 (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) k H2)))))))))))))
 380 t1).
 381
 382 theorem lift_free:
 383  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 384 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 385 (lift h d t)) (lift (plus k h) d t))))))))
 386 \def
 387  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 388 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 389 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0))))))))) (\lambda (n:
 390 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e:
 391 nat).(\lambda (_: (le e (plus d h))).(\lambda (_: (le d e)).(eq_ind_r T
 392 (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TSort
 393 n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 394 (TSort n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0))
 395 (refl_equal T (TSort n)) (lift (plus k h) d (TSort n)) (lift_sort n (plus k
 396 h) d)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e)) (lift h d (TSort n))
 397 (lift_sort n h d))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k:
 398 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e (plus d
 399 h))).(\lambda (H0: (le d e)).(lt_le_e n d (eq T (lift k e (lift h d (TLRef
 400 n))) (lift (plus k h) d (TLRef n))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T
 401 (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TLRef
 402 n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 403 (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 404 (refl_equal T (TLRef n)) (lift (plus k h) d (TLRef n)) (lift_lref_lt n (plus
 405 k h) d H1)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e (lt_le_trans n d e H1
 406 H0))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1))) (\lambda (H1: (le d
 407 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift
 408 (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k)) (\lambda
 409 (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n
 410 (plus k h))) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n h) k)) t0)) (f_equal
 411 nat T TLRef (plus (plus n h) k) (plus n (plus k h))
 412 (plus_permute_2_in_3_assoc n h k)) (lift (plus k h) d (TLRef n))
 413 (lift_lref_ge n (plus k h) d H1)) (lift k e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge
 414 (plus n h) k e (le_trans e (plus d h) (plus n h) H (plus_le_compat d n h h H1
 415 (le_n h))))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1))))))))))) (\lambda
 416 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k:
 417 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 418 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0)))))))))).(\lambda (t1:
 419 T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 420 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 421 (lift h d t1)) (lift (plus k h) d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 422 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e (plus d
 423 h))).(\lambda (H2: (le d e)).(eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 424 d) t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (lift k0 e t2) (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 425 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift
 426 h (s k d) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 427 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift (plus k0 h) d t0) (lift (plus k0 h) (s k d)
 428 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k
 429 e) (lift h (s k d) t1))) t2)) (f_equal3 K T T T THead k k (lift k0 e (lift h
 430 d t0)) (lift (plus k0 h) d t0) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (lift
 431 (plus k0 h) (s k d) t1) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1 H2) (H0 h k0 (s k d)
 432 (s k e) (eq_ind nat (s k (plus d h)) (\lambda (n: nat).(le (s k e) n)) (s_le
 433 k e (plus d h) H1) (plus (s k d) h) (s_plus k d h)) (s_le k d e H2))) (lift
 434 (plus k0 h) d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 (plus k0 h) d)) (lift k0 e
 435 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k (lift h d t0) (lift
 436 h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 h
 437 d))))))))))))) t).
 438
 439 theorem lift_d:
 440  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 441 nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t))
 442 (lift k e (lift h d t))))))))
 443 \def
 444  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 445 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 446 d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h d t0))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 447 (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (_:
 448 (le e d)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0)
 449 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 450 T t0 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0:
 451 T).(eq T (TSort n) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 452 T (TSort n) t0)) (refl_equal T (TSort n)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k
 453 e)) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d)) (lift h (plus k d) (TSort n))
 454 (lift_sort n h (plus k d))) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e))))))))
 455 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d:
 456 nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e d)).(lt_le_e n e (eq T (lift h
 457 (plus k d) (lift k e (TLRef n))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))) (\lambda
 458 (H0: (lt n e)).(let H1 \def (lt_le_trans n e d H0 H) in (eq_ind_r T (TLRef n)
 459 (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0) (lift k e (lift h d (TLRef
 460 n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d
 461 (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) (lift k
 462 e t0))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 463 (refl_equal T (TLRef n)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)) (lift
 464 h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus k d) (TLRef n))
 465 (lift_lref_lt n h (plus k d) (lt_le_trans n d (plus k d) H1 (le_plus_r k
 466 d)))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)))) (\lambda (H0: (le e
 467 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d)
 468 t0) (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r nat (plus d k) (\lambda (n0:
 469 nat).(eq T (lift h n0 (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))))
 470 (lt_le_e n d (eq T (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d
 471 (TLRef n)))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda
 472 (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n)
 473 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 474 (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) t0)) (refl_equal T
 475 (TLRef (plus n k))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e H0)) (lift h d
 476 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k)))
 477 (lift_lref_lt (plus n k) h (plus d k) (lt_le_S (plus n k) (plus d k)
 478 (plus_lt_compat_r n d k H1))))) (\lambda (H1: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 479 (plus (plus n k) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef
 480 n))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus
 481 (plus n k) h)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k))
 482 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) t0)) (f_equal nat T TLRef
 483 (plus (plus n k) h) (plus (plus n h) k) (sym_eq nat (plus (plus n h) k) (plus
 484 (plus n k) h) (plus_permute_2_in_3 n h k))) (lift k e (TLRef (plus n h)))
 485 (lift_lref_ge (plus n h) k e (le_S_n e (plus n h) (lt_le_S e (S (plus n h))
 486 (le_lt_n_Sm e (plus n h) (le_plus_trans e n h H0)))))) (lift h d (TLRef n))
 487 (lift_lref_ge n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift_lref_ge
 488 (plus n k) h (plus d k) (le_S_n (plus d k) (plus n k) (lt_le_S (plus d k) (S
 489 (plus n k)) (le_lt_n_Sm (plus d k) (plus n k) (plus_le_compat d n k k H1
 490 (le_n k))))))))) (plus k d) (plus_comm k d)) (lift k e (TLRef n))
 491 (lift_lref_ge n k e H0)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda
 492 (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e:
 493 nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h
 494 d t0)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k:
 495 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 496 d) (lift k e t1)) (lift k e (lift h d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 497 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e
 498 d)).(eq_ind_r T (THead k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1)) (\lambda (t2:
 499 T).(eq T (lift h (plus k0 d) t2) (lift k0 e (lift h d (THead k t0 t1)))))
 500 (eq_ind_r T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 501 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift k0 e (lift h d
 502 (THead k t0 t1))))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 503 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h
 504 (s k (plus k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (lift k0 e t2))) (eq_ind_r T (THead
 505 k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1))) (\lambda
 506 (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 507 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) t2)) (eq_ind_r nat (plus k0 (s k d)) (\lambda
 508 (n: nat).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h n (lift
 509 k0 (s k e) t1))) (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h
 510 (s k d) t1))))) (f_equal3 K T T T THead k k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e
 511 t0)) (lift k0 e (lift h d t0)) (lift h (plus k0 (s k d)) (lift k0 (s k e)
 512 t1)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1)
 513 (H0 h k0 (s k d) (s k e) (s_le k e d H1))) (s k (plus k0 d)) (s_plus_sym k k0
 514 d)) (lift k0 e (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k
 515 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1))
 516 (lift_head k t0 t1 h d)) (lift h (plus k0 d) (THead k (lift k0 e t0) (lift k0
 517 (s k e) t1))) (lift_head k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1) h (plus k0
 518 d))) (lift k0 e (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 k0 e)))))))))))) t).
 519