helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/lift1/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/lift1/props".
  18
  19 include "lift1/defs.ma".
  20
  21 include "lift/props.ma".
  22
  23 include "drop1/defs.ma".
  24
  25 theorem lift1_xhg:
  26  \forall (hds: PList).(\forall (t: T).(eq T (lift1 (Ss hds) (lift (S O) O t))
  27 (lift (S O) O (lift1 hds t))))
  28 \def
  29  \lambda (hds: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall (t: T).(eq T
  30 (lift1 (Ss p) (lift (S O) O t)) (lift (S O) O (lift1 p t))))) (\lambda (t:
  31 T).(refl_equal T (lift (S O) O t))) (\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  32 nat).(\lambda (p: PList).(\lambda (H: ((\forall (t: T).(eq T (lift1 (Ss p)
  33 (lift (S O) O t)) (lift (S O) O (lift1 p t)))))).(\lambda (t: T).(eq_ind_r T
  34 (lift (S O) O (lift1 p t)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift (S
  35 O) O (lift h d (lift1 p t))))) (eq_ind nat (plus (S O) d) (\lambda (n:
  36 nat).(eq T (lift h n (lift (S O) O (lift1 p t))) (lift (S O) O (lift h d
  37 (lift1 p t))))) (eq_ind_r T (lift (S O) O (lift h d (lift1 p t))) (\lambda
  38 (t0: T).(eq T t0 (lift (S O) O (lift h d (lift1 p t))))) (refl_equal T (lift
  39 (S O) O (lift h d (lift1 p t)))) (lift h (plus (S O) d) (lift (S O) O (lift1
  40 p t))) (lift_d (lift1 p t) h (S O) d O (le_O_n d))) (S d) (refl_equal nat (S
  41 d))) (lift1 (Ss p) (lift (S O) O t)) (H t))))))) hds).
  42
  43 theorem lifts1_xhg:
  44  \forall (hds: PList).(\forall (ts: TList).(eq TList (lifts1 (Ss hds) (lifts
  45 (S O) O ts)) (lifts (S O) O (lifts1 hds ts))))
  46 \def
  47  \lambda (hds: PList).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq
  48 TList (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t)) (lifts (S O) O (lifts1 hds t))))
  49 (refl_equal TList TNil) (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq
  50 TList (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t0)) (lifts (S O) O (lifts1 hds
  51 t0)))).(eq_ind_r T (lift (S O) O (lift1 hds t)) (\lambda (t1: T).(eq TList
  52 (TCons t1 (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t0))) (TCons (lift (S O) O (lift1
  53 hds t)) (lifts (S O) O (lifts1 hds t0))))) (eq_ind_r TList (lifts (S O) O
  54 (lifts1 hds t0)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift (S O) O (lift1
  55 hds t)) t1) (TCons (lift (S O) O (lift1 hds t)) (lifts (S O) O (lifts1 hds
  56 t0))))) (refl_equal TList (TCons (lift (S O) O (lift1 hds t)) (lifts (S O) O
  57 (lifts1 hds t0)))) (lifts1 (Ss hds) (lifts (S O) O t0)) H) (lift1 (Ss hds)
  58 (lift (S O) O t)) (lift1_xhg hds t))))) ts)).
  59
  60 theorem lift1_free:
  61  \forall (hds: PList).(\forall (i: nat).(\forall (t: T).(eq T (lift1 hds
  62 (lift (S i) O t)) (lift (S (trans hds i)) O (ctrans hds i t)))))
  63 \def
  64  \lambda (hds: PList).(PList_ind (\lambda (p: PList).(\forall (i:
  65 nat).(\forall (t: T).(eq T (lift1 p (lift (S i) O t)) (lift (S (trans p i)) O
  66 (ctrans p i t)))))) (\lambda (i: nat).(\lambda (t: T).(refl_equal T (lift (S
  67 i) O t)))) (\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (hds0:
  68 PList).(\lambda (H: ((\forall (i: nat).(\forall (t: T).(eq T (lift1 hds0
  69 (lift (S i) O t)) (lift (S (trans hds0 i)) O (ctrans hds0 i t))))))).(\lambda
  70 (i: nat).(\lambda (t: T).(eq_ind_r T (lift (S (trans hds0 i)) O (ctrans hds0
  71 i t)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h d t0) (lift (S (match (blt (trans hds0
  72 i) d) with [true \Rightarrow (trans hds0 i) | false \Rightarrow (plus (trans
  73 hds0 i) h)])) O (match (blt (trans hds0 i) d) with [true \Rightarrow (lift h
  74 (minus d (S (trans hds0 i))) (ctrans hds0 i t)) | false \Rightarrow (ctrans
  75 hds0 i t)])))) (xinduction bool (blt (trans hds0 i) d) (\lambda (b: bool).(eq
  76 T (lift h d (lift (S (trans hds0 i)) O (ctrans hds0 i t))) (lift (S (match b
  77 with [true \Rightarrow (trans hds0 i) | false \Rightarrow (plus (trans hds0
  78 i) h)])) O (match b with [true \Rightarrow (lift h (minus d (S (trans hds0
  79 i))) (ctrans hds0 i t)) | false \Rightarrow (ctrans hds0 i t)])))) (\lambda
  80 (x_x: bool).(bool_ind (\lambda (b: bool).((eq bool (blt (trans hds0 i) d) b)
  81 \to (eq T (lift h d (lift (S (trans hds0 i)) O (ctrans hds0 i t))) (lift (S
  82 (match b with [true \Rightarrow (trans hds0 i) | false \Rightarrow (plus
  83 (trans hds0 i) h)])) O (match b with [true \Rightarrow (lift h (minus d (S
  84 (trans hds0 i))) (ctrans hds0 i t)) | false \Rightarrow (ctrans hds0 i
  85 t)]))))) (\lambda (H0: (eq bool (blt (trans hds0 i) d) true)).(eq_ind_r nat
  86 (plus (S (trans hds0 i)) (minus d (S (trans hds0 i)))) (\lambda (n: nat).(eq
  87 T (lift h n (lift (S (trans hds0 i)) O (ctrans hds0 i t))) (lift (S (trans
  88 hds0 i)) O (lift h (minus d (S (trans hds0 i))) (ctrans hds0 i t)))))
  89 (eq_ind_r T (lift (S (trans hds0 i)) O (lift h (minus d (S (trans hds0 i)))
  90 (ctrans hds0 i t))) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (S (trans hds0 i)) O
  91 (lift h (minus d (S (trans hds0 i))) (ctrans hds0 i t))))) (refl_equal T
  92 (lift (S (trans hds0 i)) O (lift h (minus d (S (trans hds0 i))) (ctrans hds0
  93 i t)))) (lift h (plus (S (trans hds0 i)) (minus d (S (trans hds0 i)))) (lift
  94 (S (trans hds0 i)) O (ctrans hds0 i t))) (lift_d (ctrans hds0 i t) h (S
  95 (trans hds0 i)) (minus d (S (trans hds0 i))) O (le_O_n (minus d (S (trans
  96 hds0 i)))))) d (le_plus_minus (S (trans hds0 i)) d (bge_le (S (trans hds0 i))
  97 d (le_bge (S (trans hds0 i)) d (lt_le_S (trans hds0 i) d (blt_lt d (trans
  98 hds0 i) H0))))))) (\lambda (H0: (eq bool (blt (trans hds0 i) d)
  99 false)).(eq_ind_r T (lift (plus h (S (trans hds0 i))) O (ctrans hds0 i t))
 100 (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (ctrans hds0 i
 101 t)))) (eq_ind nat (S (plus h (trans hds0 i))) (\lambda (n: nat).(eq T (lift n
 102 O (ctrans hds0 i t)) (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (ctrans hds0 i t))))
 103 (eq_ind_r nat (plus (trans hds0 i) h) (\lambda (n: nat).(eq T (lift (S n) O
 104 (ctrans hds0 i t)) (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (ctrans hds0 i t))))
 105 (refl_equal T (lift (S (plus (trans hds0 i) h)) O (ctrans hds0 i t))) (plus h
 106 (trans hds0 i)) (plus_comm h (trans hds0 i))) (plus h (S (trans hds0 i)))
 107 (plus_n_Sm h (trans hds0 i))) (lift h d (lift (S (trans hds0 i)) O (ctrans
 108 hds0 i t))) (lift_free (ctrans hds0 i t) (S (trans hds0 i)) h O d (eq_ind nat
 109 (S (plus O (trans hds0 i))) (\lambda (n: nat).(le d n)) (eq_ind_r nat (plus
 110 (trans hds0 i) O) (\lambda (n: nat).(le d (S n))) (le_S d (plus (trans hds0
 111 i) O) (le_plus_trans d (trans hds0 i) O (bge_le d (trans hds0 i) H0))) (plus
 112 O (trans hds0 i)) (plus_comm O (trans hds0 i))) (plus O (S (trans hds0 i)))
 113 (plus_n_Sm O (trans hds0 i))) (le_O_n d)))) x_x))) (lift1 hds0 (lift (S i) O
 114 t)) (H i t)))))))) hds).
 115