helm/software/matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/pr3/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Level-1/LambdaDelta/pr3/props".
  18
  19 include "pr3/defs.ma".
  20
  21 include "pr2/props.ma".
  22
  23 theorem clear_pr3_trans:
  24  \forall (c2: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c2 t1 t2) \to
  25 (\forall (c1: C).((clear c1 c2) \to (pr3 c1 t1 t2))))))
  26 \def
  27  \lambda (c2: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c2 t1
  28 t2)).(\lambda (c1: C).(\lambda (H0: (clear c1 c2)).(pr3_ind c2 (\lambda (t:
  29 T).(\lambda (t0: T).(pr3 c1 t t0))) (\lambda (t: T).(pr3_refl c1 t)) (\lambda
  30 (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (pr2 c2 t4 t3)).(\lambda (t5:
  31 T).(\lambda (_: (pr3 c2 t3 t5)).(\lambda (H3: (pr3 c1 t3 t5)).(pr3_sing c1 t3
  32 t4 (clear_pr2_trans c2 t4 t3 H1 c1 H0) t5 H3))))))) t1 t2 H)))))).
  33
  34 theorem pr3_pr2:
  35  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (pr3 c
  36 t1 t2))))
  37 \def
  38  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  39 t2)).(pr3_sing c t2 t1 H t2 (pr3_refl c t2))))).
  40
  41 theorem pr3_t:
  42  \forall (t2: T).(\forall (t1: T).(\forall (c: C).((pr3 c t1 t2) \to (\forall
  43 (t3: T).((pr3 c t2 t3) \to (pr3 c t1 t3))))))
  44 \def
  45  \lambda (t2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (c: C).(\lambda (H: (pr3 c t1
  46 t2)).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (t3: T).((pr3 c t0
  47 t3) \to (pr3 c t t3))))) (\lambda (t: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pr3
  48 c t t3)).H0))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pr2 c t3
  49 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_: (pr3 c t0 t4)).(\lambda (H2: ((\forall
  50 (t5: T).((pr3 c t4 t5) \to (pr3 c t0 t5))))).(\lambda (t5: T).(\lambda (H3:
  51 (pr3 c t4 t5)).(pr3_sing c t0 t3 H0 t5 (H2 t5 H3)))))))))) t1 t2 H)))).
  52
  53 theorem pr3_thin_dx:
  54  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t1 t2) \to (\forall
  55 (u: T).(\forall (f: F).(pr3 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
  56 t2)))))))
  57 \def
  58  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c t1
  59 t2)).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0:
  60 T).(pr3 c (THead (Flat f) u t) (THead (Flat f) u t0)))) (\lambda (t:
  61 T).(pr3_refl c (THead (Flat f) u t))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t3:
  62 T).(\lambda (H0: (pr2 c t3 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_: (pr3 c t0
  63 t4)).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u
  64 t4))).(pr3_sing c (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr2_thin_dx c
  65 t3 t0 H0 u f) (THead (Flat f) u t4) H2))))))) t1 t2 H)))))).
  66
  67 theorem pr3_head_1:
  68  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u1 u2) \to (\forall
  69 (k: K).(\forall (t: T).(pr3 c (THead k u1 t) (THead k u2 t)))))))
  70 \def
  71  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u1
  72 u2)).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (k: K).(\forall
  73 (t1: T).(pr3 c (THead k t t1) (THead k t0 t1)))))) (\lambda (t: T).(\lambda
  74 (k: K).(\lambda (t0: T).(pr3_refl c (THead k t t0))))) (\lambda (t2:
  75 T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: (pr2 c t1 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda
  76 (_: (pr3 c t2 t3)).(\lambda (H2: ((\forall (k: K).(\forall (t: T).(pr3 c
  77 (THead k t2 t) (THead k t3 t)))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(pr3_sing
  78 c (THead k t2 t) (THead k t1 t) (pr2_head_1 c t1 t2 H0 k t) (THead k t3 t)
  79 (H2 k t)))))))))) u1 u2 H)))).
  80
  81 theorem pr3_head_2:
  82  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
  83 (k: K).((pr3 (CHead c k u) t1 t2) \to (pr3 c (THead k u t1) (THead k u
  84 t2)))))))
  85 \def
  86  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
  87 (k: K).(\lambda (H: (pr3 (CHead c k u) t1 t2)).(pr3_ind (CHead c k u)
  88 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(pr3 c (THead k u t) (THead k u t0))))
  89 (\lambda (t: T).(pr3_refl c (THead k u t))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t3:
  90 T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c k u) t3 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_:
  91 (pr3 (CHead c k u) t0 t4)).(\lambda (H2: (pr3 c (THead k u t0) (THead k u
  92 t4))).(pr3_sing c (THead k u t0) (THead k u t3) (pr2_head_2 c u t3 t0 k H0)
  93 (THead k u t4) H2))))))) t1 t2 H)))))).
  94
  95 theorem pr3_head_21:
  96  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u1 u2) \to (\forall
  97 (k: K).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 (CHead c k u1) t1 t2) \to (pr3
  98 c (THead k u1 t1) (THead k u2 t2)))))))))
  99 \def
 100  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u1
 101 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3
 102 (CHead c k u1) t1 t2)).(pr3_t (THead k u1 t2) (THead k u1 t1) c (pr3_head_2 c
 103 u1 t1 t2 k H0) (THead k u2 t2) (pr3_head_1 c u1 u2 H k t2))))))))).
 104
 105 theorem pr3_head_12:
 106  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u1 u2) \to (\forall
 107 (k: K).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pr3
 108 c (THead k u1 t1) (THead k u2 t2)))))))))
 109 \def
 110  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u1
 111 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3
 112 (CHead c k u2) t1 t2)).(pr3_t (THead k u2 t1) (THead k u1 t1) c (pr3_head_1 c
 113 u1 u2 H k t1) (THead k u2 t2) (pr3_head_2 c u2 t1 t2 k H0))))))))).
 114
 115 theorem pr3_cflat:
 116  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t1 t2) \to (\forall
 117 (f: F).(\forall (v: T).(pr3 (CHead c (Flat f) v) t1 t2))))))
 118 \def
 119  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr3 c t1
 120 t2)).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (f: F).(\forall (v:
 121 T).(pr3 (CHead c (Flat f) v) t t0))))) (\lambda (t: T).(\lambda (f:
 122 F).(\lambda (v: T).(pr3_refl (CHead c (Flat f) v) t)))) (\lambda (t3:
 123 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr2 c t4 t3)).(\lambda (t5: T).(\lambda
 124 (_: (pr3 c t3 t5)).(\lambda (H2: ((\forall (f: F).(\forall (v: T).(pr3 (CHead
 125 c (Flat f) v) t3 t5))))).(\lambda (f: F).(\lambda (v: T).(pr3_sing (CHead c
 126 (Flat f) v) t3 t4 (pr2_cflat c t4 t3 H0 f v) t5 (H2 f v)))))))))) t1 t2 H)))).
 127
 128 theorem pr3_flat:
 129  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u1 u2) \to (\forall
 130 (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 c t1 t2) \to (\forall (f: F).(pr3 c (THead
 131 (Flat f) u1 t1) (THead (Flat f) u2 t2)))))))))
 132 \def
 133  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u1
 134 u2)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 c t1 t2)).(\lambda
 135 (f: F).(pr3_head_12 c u1 u2 H (Flat f) t1 t2 (pr3_cflat c t1 t2 H0 f
 136 u2))))))))).
 137
 138 theorem pr3_pr0_pr2_t:
 139  \forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr0 u1 u2) \to (\forall (c: C).(\forall
 140 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pr3
 141 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 142 \def
 143  \lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr0 u1 u2)).(\lambda (c:
 144 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H0: (pr2
 145 (CHead c k u2) t1 t2)).(let H1 \def (match H0 in pr2 return (\lambda (c0:
 146 C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0
 147 (CHead c k u2)) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr3 (CHead c k u1) t1
 148 t2)))))))) with [(pr2_free c0 t0 t3 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq C c0
 149 (CHead c k u2))).(\lambda (H3: (eq T t0 t1)).(\lambda (H4: (eq T t3
 150 t2)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda (_: C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2)
 151 \to ((pr0 t0 t3) \to (pr3 (CHead c k u1) t1 t2))))) (\lambda (H5: (eq T t0
 152 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t: T).((eq T t3 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr3
 153 (CHead c k u1) t1 t2)))) (\lambda (H6: (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2 (\lambda
 154 (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr3 (CHead c k u1) t1 t2))) (\lambda (H7: (pr0 t1
 155 t2)).(pr3_pr2 (CHead c k u1) t1 t2 (pr2_free (CHead c k u1) t1 t2 H7))) t3
 156 (sym_eq T t3 t2 H6))) t0 (sym_eq T t0 t1 H5))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c k u2)
 157 H2) H3 H4 H1)))) | (pr2_delta c0 d u i H1 t0 t3 H2 t H3) \Rightarrow (\lambda
 158 (H4: (eq C c0 (CHead c k u2))).(\lambda (H5: (eq T t0 t1)).(\lambda (H6: (eq
 159 T t t2)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda (c1: C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t
 160 t2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t3) \to ((subst0 i
 161 u t3 t) \to (pr3 (CHead c k u1) t1 t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t0
 162 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T t t2) \to ((getl i (CHead c k u2)
 163 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t4 t3) \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr3
 164 (CHead c k u1) t1 t2)))))) (\lambda (H8: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda
 165 (t4: T).((getl i (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1 t3) \to
 166 ((subst0 i u t3 t4) \to (pr3 (CHead c k u1) t1 t2))))) (\lambda (H9: (getl i
 167 (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H10: (pr0 t1 t3)).(\lambda
 168 (H11: (subst0 i u t3 t2)).(nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c k u2)
 169 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 n u t3 t2) \to (pr3 (CHead c k u1) t1
 170 t2)))) (\lambda (H12: (getl O (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr)
 171 u))).(\lambda (H13: (subst0 O u t3 t2)).(K_ind (\lambda (k0: K).((getl O
 172 (CHead c k0 u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to (pr3 (CHead c k0 u1) t1 t2)))
 173 (\lambda (b: B).(\lambda (H14: (getl O (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind
 174 Abbr) u))).(let H15 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
 175 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow
 176 c1])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c
 177 (CHead d (Bind Abbr) u) u2 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind
 178 Abbr) u) H14))) in ((let H16 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C
 179 return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k0 _)
 180 \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b0)
 181 \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind Abbr) u)
 182 (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) u2
 183 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind Abbr) u) H14))) in ((let H17
 184 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 185 with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t4) \Rightarrow t4])) (CHead d
 186 (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
 187 u) u2 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind Abbr) u) H14))) in
 188 (\lambda (H18: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H20 \def (eq_ind
 189 T u (\lambda (t4: T).(subst0 O t4 t3 t2)) H13 u2 H17) in (eq_ind B Abbr
 190 (\lambda (b0: B).(pr3 (CHead c (Bind b0) u1) t1 t2)) (ex2_ind T (\lambda (t4:
 191 T).(subst0 O u1 t3 t4)) (\lambda (t4: T).(pr0 t4 t2)) (pr3 (CHead c (Bind
 192 Abbr) u1) t1 t2) (\lambda (x: T).(\lambda (H21: (subst0 O u1 t3 x)).(\lambda
 193 (H22: (pr0 x t2)).(pr3_sing (CHead c (Bind Abbr) u1) x t1 (pr2_delta (CHead c
 194 (Bind Abbr) u1) c u1 O (getl_refl Abbr c u1) t1 t3 H10 x H21) t2 (pr3_pr2
 195 (CHead c (Bind Abbr) u1) x t2 (pr2_free (CHead c (Bind Abbr) u1) x t2
 196 H22)))))) (pr0_subst0_back u2 t3 t2 O H20 u1 H)) b H18))))) H16)) H15))))
 197 (\lambda (f: F).(\lambda (H14: (getl O (CHead c (Flat f) u2) (CHead d (Bind
 198 Abbr) u))).(pr3_pr2 (CHead c (Flat f) u1) t1 t2 (pr2_cflat c t1 t2 (pr2_delta
 199 c d u O (getl_intro O c (CHead d (Bind Abbr) u) c (drop_refl c)
 200 (clear_gen_flat f c (CHead d (Bind Abbr) u) u2 (getl_gen_O (CHead c (Flat f)
 201 u2) (CHead d (Bind Abbr) u) H14))) t1 t3 H10 t2 H13) f u1)))) k H12)))
 202 (\lambda (i0: nat).(\lambda (IHi: (((getl i0 (CHead c k u2) (CHead d (Bind
 203 Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t3 t2) \to (pr3 (CHead c k u1) t1
 204 t2))))).(\lambda (H12: (getl (S i0) (CHead c k u2) (CHead d (Bind Abbr)
 205 u))).(\lambda (H13: (subst0 (S i0) u t3 t2)).(K_ind (\lambda (k0: K).((getl
 206 (S i0) (CHead c k0 u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((((getl i0 (CHead c k0
 207 u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t3 t2) \to (pr3 (CHead c k0
 208 u1) t1 t2)))) \to (pr3 (CHead c k0 u1) t1 t2)))) (\lambda (b: B).(\lambda
 209 (H14: (getl (S i0) (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda
 210 (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 i0
 211 u t3 t2) \to (pr3 (CHead c (Bind b) u1) t1 t2))))).(pr3_pr2 (CHead c (Bind b)
 212 u1) t1 t2 (pr2_delta (CHead c (Bind b) u1) d u (S i0) (getl_head (Bind b) i0
 213 c (CHead d (Bind Abbr) u) (getl_gen_S (Bind b) c (CHead d (Bind Abbr) u) u2
 214 i0 H14) u1) t1 t3 H10 t2 H13))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H14: (getl (S i0)
 215 (CHead c (Flat f) u2) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (_: (((getl i0
 216 (CHead c (Flat f) u2) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0 i0 u t3 t2) \to
 217 (pr3 (CHead c (Flat f) u1) t1 t2))))).(pr3_pr2 (CHead c (Flat f) u1) t1 t2
 218 (pr2_cflat c t1 t2 (pr2_delta c d u (r (Flat f) i0) (getl_gen_S (Flat f) c
 219 (CHead d (Bind Abbr) u) u2 i0 H14) t1 t3 H10 t2 H13) f u1))))) k H12 IHi)))))
 220 i H9 H11)))) t (sym_eq T t t2 H8))) t0 (sym_eq T t0 t1 H7))) c0 (sym_eq C c0
 221 (CHead c k u2) H4) H5 H6 H1 H2 H3))))]) in (H1 (refl_equal C (CHead c k u2))
 222 (refl_equal T t1) (refl_equal T t2)))))))))).
 223
 224 theorem pr3_pr2_pr2_t:
 225  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr2 c u1 u2) \to (\forall
 226 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pr3
 227 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 228 \def
 229  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr2 c u1
 230 u2)).(let H0 \def (match H in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 231 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 c) \to ((eq T t u1)
 232 \to ((eq T t0 u2) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr2
 233 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pr3 (CHead c k u1) t1 t2)))))))))))) with
 234 [(pr2_free c0 t1 t2 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq C c0 c)).(\lambda (H2:
 235 (eq T t1 u1)).(\lambda (H3: (eq T t2 u2)).(eq_ind C c (\lambda (_: C).((eq T
 236 t1 u1) \to ((eq T t2 u2) \to ((pr0 t1 t2) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4:
 237 T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pr3 (CHead c k u1) t3
 238 t4))))))))) (\lambda (H4: (eq T t1 u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t: T).((eq T
 239 t2 u2) \to ((pr0 t t2) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).(\forall (k:
 240 K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t4)))))))) (\lambda
 241 (H5: (eq T t2 u2)).(eq_ind T u2 (\lambda (t: T).((pr0 u1 t) \to (\forall (t3:
 242 T).(\forall (t4: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pr3
 243 (CHead c k u1) t3 t4))))))) (\lambda (H6: (pr0 u1 u2)).(\lambda (t3:
 244 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H7: (pr2 (CHead c k u2) t3
 245 t4)).(pr3_pr0_pr2_t u1 u2 H6 c t3 t4 k H7)))))) t2 (sym_eq T t2 u2 H5))) t1
 246 (sym_eq T t1 u1 H4))) c0 (sym_eq C c0 c H1) H2 H3 H0)))) | (pr2_delta c0 d u
 247 i H0 t1 t2 H1 t H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq C c0 c)).(\lambda (H4: (eq
 248 T t1 u1)).(\lambda (H5: (eq T t u2)).(eq_ind C c (\lambda (c1: C).((eq T t1
 249 u1) \to ((eq T t u2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1
 250 t2) \to ((subst0 i u t2 t) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).(\forall (k:
 251 K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t4)))))))))))
 252 (\lambda (H6: (eq T t1 u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t0: T).((eq T t u2) \to
 253 ((getl i c (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t2) \to ((subst0 i u t2 t)
 254 \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3
 255 t4) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t4)))))))))) (\lambda (H7: (eq T t
 256 u2)).(eq_ind T u2 (\lambda (t0: T).((getl i c (CHead d (Bind Abbr) u)) \to
 257 ((pr0 u1 t2) \to ((subst0 i u t2 t0) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4:
 258 T).(\forall (k: K).((pr2 (CHead c k u2) t3 t4) \to (pr3 (CHead c k u1) t3
 259 t4))))))))) (\lambda (H8: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H9:
 260 (pr0 u1 t2)).(\lambda (H10: (subst0 i u t2 u2)).(\lambda (t3: T).(\lambda
 261 (t0: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H11: (pr2 (CHead c k u2) t3 t0)).(let H12
 262 \def (match H11 in pr2 return (\lambda (c1: C).(\lambda (t4: T).(\lambda (t5:
 263 T).(\lambda (_: (pr2 c1 t4 t5)).((eq C c1 (CHead c k u2)) \to ((eq T t4 t3)
 264 \to ((eq T t5 t0) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t0)))))))) with [(pr2_free c1 t4
 265 t5 H12) \Rightarrow (\lambda (H13: (eq C c1 (CHead c k u2))).(\lambda (H14:
 266 (eq T t4 t3)).(\lambda (H15: (eq T t5 t0)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda
 267 (_: C).((eq T t4 t3) \to ((eq T t5 t0) \to ((pr0 t4 t5) \to (pr3 (CHead c k
 268 u1) t3 t0))))) (\lambda (H16: (eq T t4 t3)).(eq_ind T t3 (\lambda (t6:
 269 T).((eq T t5 t0) \to ((pr0 t6 t5) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t0)))) (\lambda
 270 (H17: (eq T t5 t0)).(eq_ind T t0 (\lambda (t6: T).((pr0 t3 t6) \to (pr3
 271 (CHead c k u1) t3 t0))) (\lambda (H18: (pr0 t3 t0)).(pr3_pr2 (CHead c k u1)
 272 t3 t0 (pr2_free (CHead c k u1) t3 t0 H18))) t5 (sym_eq T t5 t0 H17))) t4
 273 (sym_eq T t4 t3 H16))) c1 (sym_eq C c1 (CHead c k u2) H13) H14 H15 H12)))) |
 274 (pr2_delta c1 d0 u0 i0 H12 t4 t5 H13 t6 H14) \Rightarrow (\lambda (H15: (eq C
 275 c1 (CHead c k u2))).(\lambda (H16: (eq T t4 t3)).(\lambda (H17: (eq T t6
 276 t0)).(eq_ind C (CHead c k u2) (\lambda (c2: C).((eq T t4 t3) \to ((eq T t6
 277 t0) \to ((getl i0 c2 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t4 t5) \to ((subst0
 278 i0 u0 t5 t6) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t0))))))) (\lambda (H18: (eq T t4
 279 t3)).(eq_ind T t3 (\lambda (t7: T).((eq T t6 t0) \to ((getl i0 (CHead c k u2)
 280 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t7 t5) \to ((subst0 i0 u0 t5 t6) \to
 281 (pr3 (CHead c k u1) t3 t0)))))) (\lambda (H19: (eq T t6 t0)).(eq_ind T t0
 282 (\lambda (t7: T).((getl i0 (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to
 283 ((pr0 t3 t5) \to ((subst0 i0 u0 t5 t7) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t0)))))
 284 (\lambda (H20: (getl i0 (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(\lambda
 285 (H21: (pr0 t3 t5)).(\lambda (H22: (subst0 i0 u0 t5 t0)).(nat_ind (\lambda (n:
 286 nat).((getl n (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 n u0 t5
 287 t0) \to (pr3 (CHead c k u1) t3 t0)))) (\lambda (H23: (getl O (CHead c k u2)
 288 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H24: (subst0 O u0 t5 t0)).(K_ind
 289 (\lambda (k0: K).((clear (CHead c k0 u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to (pr3
 290 (CHead c k0 u1) t3 t0))) (\lambda (b: B).(\lambda (H25: (clear (CHead c (Bind
 291 b) u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(let H26 \def (f_equal C C (\lambda (e:
 292 C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d0 |
 293 (CHead c2 _ _) \Rightarrow c2])) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b)
 294 u2) (clear_gen_bind b c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 H25)) in ((let H27 \def
 295 (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with
 296 [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k0 _) \Rightarrow (match k0 in K
 297 return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _)
 298 \Rightarrow Abbr])])) (CHead d0 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u2)
 299 (clear_gen_bind b c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 H25)) in ((let H28 \def
 300 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 301 [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t7) \Rightarrow t7])) (CHead d0 (Bind
 302 Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u2) (clear_gen_bind b c (CHead d0 (Bind Abbr) u0)
 303 u2 H25)) in (\lambda (H29: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d0 c)).(let H31
 304 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t7: T).(subst0 O t7 t5 t0)) H24 u2 H28) in
 305 (eq_ind B Abbr (\lambda (b0: B).(pr3 (CHead c (Bind b0) u1) t3 t0)) (ex2_ind
 306 T (\lambda (t7: T).(subst0 O t2 t5 t7)) (\lambda (t7: T).(subst0 (S (plus i
 307 O)) u t7 t0)) (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t3 t0) (\lambda (x: T).(\lambda
 308 (H32: (subst0 O t2 t5 x)).(\lambda (H33: (subst0 (S (plus i O)) u x t0)).(let
 309 H34 \def (f_equal nat nat S (plus i O) i (sym_eq nat i (plus i O) (plus_n_O
 310 i))) in (let H35 \def (eq_ind nat (S (plus i O)) (\lambda (n: nat).(subst0 n
 311 u x t0)) H33 (S i) H34) in (ex2_ind T (\lambda (t7: T).(subst0 O u1 t5 t7))
 312 (\lambda (t7: T).(pr0 t7 x)) (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t3 t0) (\lambda
 313 (x0: T).(\lambda (H36: (subst0 O u1 t5 x0)).(\lambda (H37: (pr0 x0
 314 x)).(pr3_sing (CHead c (Bind Abbr) u1) x0 t3 (pr2_delta (CHead c (Bind Abbr)
 315 u1) c u1 O (getl_refl Abbr c u1) t3 t5 H21 x0 H36) t0 (pr3_pr2 (CHead c (Bind
 316 Abbr) u1) x0 t0 (pr2_delta (CHead c (Bind Abbr) u1) d u (S i)
 317 (getl_clear_bind Abbr (CHead c (Bind Abbr) u1) c u1 (clear_bind Abbr c u1)
 318 (CHead d (Bind Abbr) u) i H8) x0 x H37 t0 H35)))))) (pr0_subst0_back t2 t5 x
 319 O H32 u1 H9))))))) (subst0_subst0 t5 t0 u2 O H31 t2 u i H10)) b H29)))))
 320 H27)) H26)))) (\lambda (f: F).(\lambda (H25: (clear (CHead c (Flat f) u2)
 321 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(pr3_pr2 (CHead c (Flat f) u1) t3 t0 (pr2_cflat c
 322 t3 t0 (pr2_delta c d0 u0 O (getl_intro O c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) c
 323 (drop_refl c) (clear_gen_flat f c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 H25)) t3 t5
 324 H21 t0 H24) f u1)))) k (getl_gen_O (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)
 325 H23)))) (\lambda (i1: nat).(\lambda (_: (((getl i1 (CHead c k u2) (CHead d0
 326 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 i1 u0 t5 t0) \to (pr3 (CHead c k u1) t3
 327 t0))))).(\lambda (H23: (getl (S i1) (CHead c k u2) (CHead d0 (Bind Abbr)
 328 u0))).(\lambda (H24: (subst0 (S i1) u0 t5 t0)).(K_ind (\lambda (k0: K).((getl
 329 (S i1) (CHead c k0 u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0)) \to (pr3 (CHead c k0 u1) t3
 330 t0))) (\lambda (b: B).(\lambda (H25: (getl (S i1) (CHead c (Bind b) u2)
 331 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(pr3_pr2 (CHead c (Bind b) u1) t3 t0 (pr2_delta
 332 (CHead c (Bind b) u1) d0 u0 (S i1) (getl_head (Bind b) i1 c (CHead d0 (Bind
 333 Abbr) u0) (getl_gen_S (Bind b) c (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 i1 H25) u1) t3
 334 t5 H21 t0 H24)))) (\lambda (f: F).(\lambda (H25: (getl (S i1) (CHead c (Flat
 335 f) u2) (CHead d0 (Bind Abbr) u0))).(pr3_pr2 (CHead c (Flat f) u1) t3 t0
 336 (pr2_cflat c t3 t0 (pr2_delta c d0 u0 (r (Flat f) i1) (getl_gen_S (Flat f) c
 337 (CHead d0 (Bind Abbr) u0) u2 i1 H25) t3 t5 H21 t0 H24) f u1)))) k H23))))) i0
 338 H20 H22)))) t6 (sym_eq T t6 t0 H19))) t4 (sym_eq T t4 t3 H18))) c1 (sym_eq C
 339 c1 (CHead c k u2) H15) H16 H17 H12 H13 H14))))]) in (H12 (refl_equal C (CHead
 340 c k u2)) (refl_equal T t3) (refl_equal T t0)))))))))) t (sym_eq T t u2 H7)))
 341 t1 (sym_eq T t1 u1 H6))) c0 (sym_eq C c0 c H3) H4 H5 H0 H1 H2))))]) in (H0
 342 (refl_equal C c) (refl_equal T u1) (refl_equal T u2)))))).
 343
 344 theorem pr3_pr2_pr3_t:
 345  \forall (c: C).(\forall (u2: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
 346 (k: K).((pr3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (\forall (u1: T).((pr2 c u1 u2) \to
 347 (pr3 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 348 \def
 349  \lambda (c: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
 350 (k: K).(\lambda (H: (pr3 (CHead c k u2) t1 t2)).(pr3_ind (CHead c k u2)
 351 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (u1: T).((pr2 c u1 u2) \to (pr3
 352 (CHead c k u1) t t0))))) (\lambda (t: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (_: (pr2 c
 353 u1 u2)).(pr3_refl (CHead c k u1) t)))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t3:
 354 T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c k u2) t3 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_:
 355 (pr3 (CHead c k u2) t0 t4)).(\lambda (H2: ((\forall (u1: T).((pr2 c u1 u2)
 356 \to (pr3 (CHead c k u1) t0 t4))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (H3: (pr2 c u1
 357 u2)).(pr3_t t0 t3 (CHead c k u1) (pr3_pr2_pr2_t c u1 u2 H3 t3 t0 k H0) t4 (H2
 358 u1 H3)))))))))) t1 t2 H)))))).
 359
 360 theorem pr3_pr3_pr3_t:
 361  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr3 c u1 u2) \to (\forall
 362 (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (k: K).((pr3 (CHead c k u2) t1 t2) \to (pr3
 363 (CHead c k u1) t1 t2))))))))
 364 \def
 365  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr3 c u1
 366 u2)).(pr3_ind c (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (t1: T).(\forall
 367 (t2: T).(\forall (k: K).((pr3 (CHead c k t0) t1 t2) \to (pr3 (CHead c k t) t1
 368 t2))))))) (\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (k:
 369 K).(\lambda (H0: (pr3 (CHead c k t) t1 t2)).H0))))) (\lambda (t2: T).(\lambda
 370 (t1: T).(\lambda (H0: (pr2 c t1 t2)).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (pr3 c t2
 371 t3)).(\lambda (H2: ((\forall (t4: T).(\forall (t5: T).(\forall (k: K).((pr3
 372 (CHead c k t3) t4 t5) \to (pr3 (CHead c k t2) t4 t5))))))).(\lambda (t0:
 373 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (k: K).(\lambda (H3: (pr3 (CHead c k t3) t0
 374 t4)).(pr3_pr2_pr3_t c t2 t0 t4 k (H2 t0 t4 k H3) t1 H0))))))))))) u1 u2 H)))).
 375
 376 theorem pr3_lift:
 377  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h
 378 d c e) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr3 e t1 t2) \to (pr3 c (lift
 379 h d t1) (lift h d t2)))))))))
 380 \def
 381  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 382 (H: (drop h d c e)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 e t1
 383 t2)).(pr3_ind e (\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(pr3 c (lift h d t) (lift h
 384 d t0)))) (\lambda (t: T).(pr3_refl c (lift h d t))) (\lambda (t0: T).(\lambda
 385 (t3: T).(\lambda (H1: (pr2 e t3 t0)).(\lambda (t4: T).(\lambda (_: (pr3 e t0
 386 t4)).(\lambda (H3: (pr3 c (lift h d t0) (lift h d t4))).(pr3_sing c (lift h d
 387 t0) (lift h d t3) (pr2_lift c e h d H t3 t0 H1) (lift h d t4) H3))))))) t1 t2
 388 H0)))))))).
 389