helm/software/matita/contribs/POPLmark/Fsub/part1a.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Fsub/defn.ma".
  16
  17 axiom daemon : False.
  18
  19 (*** Lemma A.1 (Reflexivity) ***)
  20 theorem JS_Refl : ∀T,G.WFType G T → WFEnv G → G ⊢ T ⊴  T.
  21 intros 3; elim H;
  22  [1,2,3: autobatch
  23  | apply SA_All; [ autobatch | intros;autobatch depth=4 size=10]]
  24 qed.
  25
  26 (*
  27  * A slightly more general variant to lemma A.2.2, where weakening isn't
  28  * defined as concatenation of any two disjoint environments, but as
  29  * set inclusion.
  30  *)
  31
  32 lemma JS_weakening : ∀G,T,U.G ⊢ T ⊴ U → ∀H.WFEnv H → incl ? G H → H ⊢ T ⊴ U.
  33 intros 4; elim H;
  34  [1,2,3,4: autobatch depth=4 size=7
  35  | apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7));
  36    intros; apply H4;autobatch depth=4 size=7]
  37 qed.
  38
  39 inverter JS_indinv for JSubtype (%?%).
  40
  41 theorem narrowing:∀X,G,G1,U,P,M,N.
  42   G1 ⊢ P ⊴ U → (∀G2,T.G2@G1 ⊢ U ⊴ T → G2@G1 ⊢ P ⊴ T) → G ⊢ M ⊴ N →
  43   ∀l.G=l@(mk_bound true X U::G1) → l@(mk_bound true X P::G1) ⊢ M ⊴ N.
  44 intros 10.elim H2; destruct;
  45  [letin x \def fv_env. letin y ≝incl. autobatch depth=4 size=8.
  46  | autobatch depth=4 size=7;
  47  | elim (decidable_eq_nat X n)
  48     [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P); destruct;
  49       [ autobatch
  50       | lapply (WFE_bound_bound true X t1 U ? ? H3); autobatch]
  51     | apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1); autobatch]
  52  | autobatch
  53  | apply SA_All;
  54     [ autobatch
  55     | intros; apply (H6 ? ? (mk_bound true X1 t2::l1)); autobatch]]
  56 qed.
  57
  58 lemma JS_trans_prova: ∀T,G1.WFType G1 T →
  59 ∀G,R,U.incl ? (fv_env G1) (fv_env G) → G ⊢ R ⊴ T → G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ R ⊴ U.
  60 intros 3;elim H;clear H;
  61   [elim H3 using JS_indinv;destruct;autobatch
  62   |inversion H3; intros; destruct; assumption
  63   |*: elim H6 using JS_indinv;destruct;
  64     [1,3: autobatch
  65     |*: inversion H7; intros; destruct;
  66       [1,2: autobatch depth=4 width=4 size=9
  67       | apply SA_Top
  68          [ assumption
  69          | apply WFT_Forall;intros;autobatch depth=4]
  70       | apply SA_All
  71          [ autobatch
  72          | intros;apply (H4 X);simplify;
  73             [4: apply (narrowing X (mk_bound true X t::G) ? ? ? ? ? H11 ? ? [])
  74                [intros;apply H2;try unfold;intros;autobatch;
  75                |*:autobatch]
  76             |*:autobatch]]]]]
  77 qed.
  78
  79 theorem JS_trans : ∀G,T,U,V.G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ U ⊴ V → G ⊢ T ⊴ V.
  80 intros 5; apply (JS_trans_prova ? G); autobatch depth=2.
  81 qed.
  82
  83 theorem JS_narrow : ∀G1,G2,X,P,Q,T,U.
  84                        (G2 @ (mk_bound true X Q :: G1)) ⊢ T ⊴ U → G1 ⊢ P ⊴ Q →
  85                        (G2 @ (mk_bound true X P :: G1)) ⊢ T ⊴ U.
  86 intros;apply (narrowing ? ? ? ? ? ? ? H1 ? H) [|autobatch]
  87 intros;apply (JS_trans ? ? ? ? ? H2);apply (JS_weakening ? ? ? H1);autobatch.
  88 qed.