helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NLE/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NLE/fwd".
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 include "NPlus/fwd.ma".
  20 include "NLE/defs.ma".
  21
  22 theorem nle_inv_succ_1: \forall x,y. x < y \to
  23                          \exists z. y = succ z \land x <= z.
  24  intros. elim H.
  25  lapply linear nplus_gen_succ_2 to H1.
  26  decompose. subst. auto depth = 4.
  27 qed.
  28
  29 theorem nle_inv_succ_succ: \forall x,y. x < succ y \to x <= y.
  30  intros.
  31  lapply linear nle_inv_succ_1 to H. decompose.
  32  lapply linear eq_gen_succ_succ to H1. subst.
  33  auto.
  34 qed.
  35
  36 theorem nle_inv_succ_zero: \forall x. x < zero \to False.
  37  intros.
  38  lapply linear nle_inv_succ_1 to H. decompose.
  39  lapply linear eq_gen_zero_succ to H1. decompose.
  40 qed.
  41
  42 theorem nle_inv_zero_2: \forall x. x <= zero \to x = zero.
  43  intros 1. elim x; clear x; intros;
  44  [ auto
  45  | lapply linear nle_inv_succ_zero to H1. decompose.
  46  ].
  47 qed.
  48
  49 theorem nle_inv_succ_2: \forall y,x. x <= succ y \to
  50                         x = zero \lor \exists z. x = succ z \land z <= y.
  51  intros 2; elim x; clear x; intros;
  52  [ auto
  53  | lapply linear nle_inv_succ_succ to H1.
  54    auto depth = 4.
  55  ].
  56 qed.