helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NLE/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NLE/fwd".
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 include "NPlus/fwd.ma".
  20 include "NLE/defs.ma".
  21
  22 theorem nle_gen_succ_1: \forall x,y. x < y \to
  23                         \exists z. y = succ z \land x <= z.
  24  unfold NLE.
  25  intros. decompose.
  26  lapply linear nplus_gen_succ_2 to H1 as H.
  27  decompose. subst.
  28  apply ex_intro;[| auto] (**)
  29 qed.
  30
  31
  32 theorem nle_gen_succ_succ: \forall x,y. x < succ y \to x <= y.
  33  intros.
  34  lapply linear nle_gen_succ_1 to H as H0. decompose H0.
  35  lapply linear eq_gen_succ_succ to H1 as H. subst.
  36  auto.
  37 qed.
  38
  39 theorem nle_gen_succ_zero: \forall x. x < zero \to False.
  40  intros.
  41  lapply linear nle_gen_succ_1 to H. decompose.
  42  lapply linear eq_gen_zero_succ to H1. decompose.
  43 qed.
  44
  45 theorem nle_gen_zero_2: \forall x. x <= zero \to x = zero.
  46  intros 1. elim x; clear x; intros;
  47  [ auto new timeout=30
  48  | lapply linear nle_gen_succ_zero to H1. decompose.
  49  ].
  50 qed.
  51
  52 theorem nle_gen_succ_2: \forall y,x. x <= succ y \to
  53                         x = zero \lor \exists z. x = succ z \land z <= y.
  54  intros 2; elim x; clear x; intros;
  55  [ auto new timeout=30
  56  | lapply linear nle_gen_succ_succ to H1.
  57    right. apply ex_intro; [|auto new timeout=30] (**)
  58  ].
  59 qed.