helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NLE/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NLE/fwd".
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 include "Nat/fwd.ma".
  20 include "NLE/defs.ma".
  21
  22 theorem nle_gen_succ_1: \forall x,y. x < y \to
  23                          \exists z. y = succ z \land x <= z.
  24  intros. inversion H; clear H; intros;
  25  [ apply (eq_gen_succ_zero ? ? H)
  26  | lapply linear eq_gen_succ_succ to H2 as H0.
  27    rewrite > H0. clear H0.
  28    apply ex_intro; [|auto] (**)
  29  ].
  30 qed.
  31
  32 theorem nle_gen_succ_succ: \forall x,y. x < succ y \to x <= y.
  33  intros; inversion H; clear H; intros;
  34  [ apply (eq_gen_succ_zero ? ? H)
  35  | lapply linear eq_gen_succ_succ to H2 as H0.
  36    lapply linear eq_gen_succ_succ to H3 as H2.
  37    rewrite > H0. rewrite > H2. clear H0 H2.
  38    auto
  39  ].
  40 qed.
  41
  42 theorem nle_gen_succ_zero: \forall (P:Prop). \forall x. x < zero \to P.
  43  intros.
  44  lapply linear nle_gen_succ_1 to H. decompose.
  45  apply (eq_gen_zero_succ ? ? H1).
  46 qed.
  47
  48 theorem nle_gen_zero_2: \forall x. x <= zero \to x = zero.
  49  intros 1. elim x; clear x; intros;
  50  [ auto
  51  | apply (nle_gen_succ_zero ? ? H1)
  52  ].
  53 qed.
  54
  55 theorem nle_gen_succ_2: \forall y,x. x <= succ y \to
  56                          x = zero \lor \exists z. x = succ z \land z <= y.
  57  intros 2; elim x; clear x; intros;
  58  [ auto
  59  | lapply linear nle_gen_succ_succ to H1.
  60    right. apply ex_intro; [|auto] (**)
  61  ].
  62 qed.