helm/software/matita/contribs/RELATIONAL/NPlus/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL/NPlus/props".
  16
  17 include "NPlus/inv.ma".
  18
  19 (* Monoidal properties *)
  20
  21 theorem nplus_conf: \forall p,q,r1. (p + q == r1) \to
  22                     \forall r2. (p + q == r2) \to r1 = r2.
  23  intros 4. elim H; clear H q r1;
  24  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H1
  25  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H3. decompose
  26  ]; subst; auto.
  27 qed.
  28
  29 theorem nplus_zero_1: \forall q. zero + q == q.
  30  intros. elim q; clear q; auto.
  31 qed.
  32
  33 theorem nplus_succ_1: \forall p,q,r. NPlus p q r \to
  34                       (succ p) + q == (succ r).
  35  intros. elim H; clear H q r; auto.
  36 qed.
  37
  38 theorem nplus_comm: \forall p,q,r. (p + q == r) \to q + p == r.
  39  intros. elim H; clear H q r; auto.
  40 qed.
  41
  42 (* Corollaries *)
  43
  44 theorem nplus_comm_1: \forall p1,q,r1. (p1 + q == r1) \to
  45                       \forall p2,r2. (p2 + q == r2) \to
  46                       \forall s. (p1 + r2 == s) \to (p2 + r1 == s).
  47  intros 4. elim H; clear H q r1;
  48  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H1. subst
  49  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H3. decompose. subst.
  50    lapply linear nplus_gen_succ_2 to H4. decompose. subst
  51  ]; auto.
  52 qed.
  53
  54 (*
  55 theorem nplus_shift_succ_sx: \forall p,q,r.
  56                              (p + (succ q) == r) \to (succ p) + q == r.
  57  intros.
  58  lapply linear nplus_gen_succ_2 to H as H0.
  59  decompose. subst. auto new timeout=100.
  60 qed.
  61
  62 theorem nplus_shift_succ_dx: \forall p,q,r.
  63                              ((succ p) + q == r) \to p + (succ q) == r.
  64  intros.
  65  lapply linear nplus_gen_succ_1 to H as H0.
  66  decompose. subst. auto new timeout=100.
  67 qed.
  68
  69 theorem nplus_trans_1: \forall p,q1,r1. (p + q1 == r1) \to
  70                        \forall q2,r2. (r1 + q2 == r2) \to
  71                        \exists q. (q1 + q2 == q) \land p + q == r2.
  72  intros 2; elim q1; clear q1; intros;
  73  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H as H0.
  74    subst.
  75  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  76    decompose. subst.
  77    lapply linear nplus_gen_succ_1 to H2 as H0.
  78    decompose. subst.
  79    lapply linear H to H4, H3 as H0.
  80    decompose.
  81  ]; apply ex_intro; [| auto new timeout=100 || auto new timeout=100 ]. (**)
  82 qed.
  83
  84 theorem nplus_trans_2: \forall p1,q,r1. (p1 + q == r1) \to
  85                        \forall p2,r2. (p2 + r1 == r2) \to
  86                        \exists p. (p1 + p2 == p) \land p + q == r2.
  87  intros 2; elim q; clear q; intros;
  88  [ lapply linear nplus_gen_zero_2 to H as H0.
  89    subst
  90  | lapply linear nplus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  91    decompose. subst.
  92    lapply linear nplus_gen_succ_2 to H2 as H0.
  93    decompose. subst.
  94    lapply linear H to H4, H3 as H0.
  95    decompose.
  96  ]; apply ex_intro; [| auto new timeout=100 || auto new timeout=100 ]. (**)
  97 qed.
  98 *)
  99