helm/software/matita/contribs/RELATIONAL-ARITHMETICS/Plus_props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/RELATIONAL-ARITHMETICsucc/Plus_props".
  16
  17 include "Plus_fwd.ma".
  18
  19 theorem Plus_zero_1: \forall q. Plus zero q q.
  20  intros. elim q; clear q; auto.
  21 qed.
  22
  23 theorem Plus_succ_1: \forall p,q,r. Plus p q r \to Plus (succ p) q (succ r).
  24  intros 2. elim q; clear q;
  25  [ lapply linear Plus_gen_zero_2 to H as H0.
  26    rewrite > H0. clear H0 p
  27  | lapply linear Plus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  28    decompose.
  29    rewrite > H2. clear H2 r
  30  ]; auto.
  31 qed.
  32
  33 theorem Plus_sym: \forall p,q,r. Plus p q r \to Plus q p r.
  34  intros 2. elim q; clear q;
  35  [ lapply linear Plus_gen_zero_2 to H as H0.
  36    rewrite > H0. clear H0 p
  37  | lapply linear Plus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  38    decompose.
  39    rewrite > H2. clear H2 r
  40  ]; auto.
  41 qed.
  42
  43 theorem Plus_shift_succ_sx: \forall p,q,r.
  44                             Plus p (succ q) r \to Plus (succ p) q r.
  45  intros.
  46  lapply linear Plus_gen_succ_2 to H as H0.
  47  decompose.
  48  rewrite > H1. clear H1 r.
  49  auto.
  50 qed.
  51
  52 theorem Plus_shift_succ_dx: \forall p,q,r.
  53                             Plus (succ p) q r \to Plus p (succ q) r.
  54  intros.
  55  lapply linear Plus_gen_succ_1 to H as H0.
  56  decompose.
  57  rewrite > H1. clear H1 r.
  58  auto.
  59 qed.
  60
  61 theorem Plus_trans_1: \forall p,q1,r1. Plus p q1 r1 \to
  62                       \forall q2,r2. Plus r1 q2 r2 \to
  63                       \exists q. Plus q1 q2 q \land Plus p q r2.
  64  intros 2; elim q1; clear q1; intros;
  65  [ lapply linear Plus_gen_zero_2 to H as H0.
  66    rewrite > H0. clear H0 p
  67  | lapply linear Plus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  68    decompose.
  69    rewrite > H3. rewrite > H3 in H2. clear H3 r1.
  70    lapply linear Plus_gen_succ_1 to H2 as H0.
  71    decompose.
  72    rewrite > H2. clear H2 r2.
  73    lapply linear H to H4, H3 as H0.
  74    decompose.
  75  ]; apply ex_intro; [| auto || auto ]. (**)
  76 qed.
  77
  78 theorem Plus_trans_2: \forall p1,q,r1. Plus p1 q r1 \to
  79                       \forall p2,r2. Plus p2 r1 r2 \to
  80                       \exists p. Plus p1 p2 p \land Plus p q r2.
  81  intros 2; elim q; clear q; intros;
  82  [ lapply linear Plus_gen_zero_2 to H as H0.
  83    rewrite > H0. clear H0 p1
  84  | lapply linear Plus_gen_succ_2 to H1 as H0.
  85    decompose.
  86    rewrite > H3. rewrite > H3 in H2. clear H3 r1.
  87    lapply linear Plus_gen_succ_2 to H2 as H0.
  88    decompose.
  89    rewrite > H2. clear H2 r2.
  90    lapply linear H to H4, H3 as H0.
  91    decompose.
  92  ]; apply ex_intro; [| auto || auto ]. (**)
  93 qed.
  94
  95 theorem Plus_conf: \forall p,q,r1. Plus p q r1 \to
  96                    \forall r2. Plus p q r2 \to r1 = r2.
  97  intros 2. elim q; clear q; intros;
  98  [ lapply linear Plus_gen_zero_2 to H as H0.
  99    rewrite > H0 in H1. clear H0 p
 100  | lapply linear Plus_gen_succ_2 to H1 as H0.
 101    decompose.
 102    rewrite > H3. clear H3 r1.
 103    lapply linear Plus_gen_succ_2 to H2 as H0.
 104    decompose.
 105    rewrite > H2. clear H2 r2.
 106  ]; auto.
 107 qed.