helm/software/matita/contribs/assembly/freescale/extra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                           Progetto FreeScale                           *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (* Sviluppato da:                                                         *)
  19 (*   Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                  *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* Questo materiale fa parte della tesi:                                  *)
  22 (*   "Formalizzazione Interattiva dei Microcontroller a 8bit FreeScale"   *)
  23 (*                                                                        *)
  24 (*                    data ultima modifica 15/11/2007                     *)
  25 (* ********************************************************************** *)
  26
  27 include "nat/div_and_mod.ma".
  28 include "nat/primes.ma".
  29 include "list/list.ma".
  30 include "datatypes/constructors.ma".
  31 include "logic/connectives.ma".
  32
  33 (* BOOLEANI *)
  34
  35 (* ridefinizione degli operatori booleani, per evitare l'overloading di quelli normali *)
  36 definition not_bool ≝
  37 λb:bool.match b with [ true ⇒ false | false ⇒ true ].
  38
  39 definition and_bool ≝
  40 λb1,b2:bool.match b1 with
  41  [ true ⇒ b2 | false ⇒ false ].
  42
  43 definition or_bool ≝
  44 λb1,b2:bool.match b1 with
  45  [ true ⇒ true | false ⇒ b2 ].
  46
  47 definition xor_bool ≝
  48 λb1,b2:bool.match b1 with
  49  [ true ⇒ not_bool b2
  50  | false ⇒ b2 ].
  51
  52 definition eq_bool ≝
  53 λb1,b2:bool.match b1 with
  54  [ true ⇒ b2
  55  | false ⇒ not_bool b2 ].
  56
  57 lemma eqbool_switch : ∀b1,b2.eq_bool b1 b2 = eq_bool b2 b1.
  58  do 2 intro;
  59  elim b1; elim b2;
  60  reflexivity.
  61 qed.
  62
  63 lemma andbool_switch : ∀b1,b2.and_bool b1 b2 = and_bool b2 b1.
  64  do 2 intro;
  65  elim b1; elim b2;
  66  reflexivity.
  67 qed.
  68
  69 lemma orbool_switch : ∀b1,b2.or_bool b1 b2 = or_bool b2 b1.
  70  do 2 intro;
  71  elim b1; elim b2;
  72  reflexivity.
  73 qed.
  74
  75 lemma xorbool_switch : ∀b1,b2.xor_bool b1 b2 = xor_bool b2 b1.
  76  do 2 intro;
  77  elim b1; elim b2;
  78  reflexivity.
  79 qed.
  80
  81 lemma eqbool_to_eq : ∀b1,b2:bool.(eq_bool b1 b2 = true) → (b1 = b2).
  82  unfold eq_bool;
  83  intros;
  84  elim b1 in H:(%);
  85  elim b2 in H:(%);
  86  normalize in H:(%);
  87  try reflexivity;
  88  destruct H.
  89 qed.
  90
  91 lemma eq_to_eqbool : ∀b1,b2.b1 = b2 → eq_bool b1 b2 = true.
  92  do 2 intro;
  93  elim b1 0;
  94  elim b2 0;
  95  intro;
  96  normalize in H:(%);
  97  try destruct H;
  98  reflexivity.
  99 qed.
 100
 101 (* \ominus *)
 102 notation "hvbox(⊖ a)" non associative with precedence 36
 103  for @{ 'not_bool $a }.
 104 interpretation "not_bool" 'not_bool x = (not_bool x).
 105
 106 (* \otimes *)
 107 notation "hvbox(a break ⊗ b)" left associative with precedence 35
 108  for @{ 'and_bool $a $b }.
 109 interpretation "and_bool" 'and_bool x y = (and_bool x y).
 110
 111 (* \oplus *)
 112 notation "hvbox(a break ⊕ b)" left associative with precedence 34
 113  for @{ 'or_bool $a $b }.
 114 interpretation "or_bool" 'or_bool x y = (or_bool x y).
 115
 116 (* \odot *)
 117 notation "hvbox(a break ⊙ b)" left associative with precedence 33
 118  for @{ 'xor_bool $a $b }.
 119 interpretation "xor_bool" 'xor_bool x y = (xor_bool x y).
 120
 121 (* ProdT e' gia' definito, aggiungo Prod3T e Prod4T e Prod5T *)
 122
 123 inductive Prod3T (T1:Type) (T2:Type) (T3:Type) : Type ≝
 124 tripleT : T1 → T2 → T3 → Prod3T T1 T2 T3.
 125
 126 definition fst3T ≝
 127 λT1.λT2.λT3.λp:Prod3T T1 T2 T3.match p with [ tripleT x _ _ ⇒ x ].
 128
 129 definition snd3T ≝
 130 λT1.λT2.λT3.λp:Prod3T T1 T2 T3.match p with [ tripleT _ x _ ⇒ x ].
 131
 132 definition thd3T ≝
 133 λT1.λT2.λT3.λp:Prod3T T1 T2 T3.match p with [ tripleT _ _ x ⇒ x ].
 134
 135 inductive Prod4T (T1:Type) (T2:Type) (T3:Type) (T4:Type) : Type ≝
 136 quadrupleT : T1 → T2 → T3 → T4 → Prod4T T1 T2 T3 T4.
 137
 138 definition fst4T ≝
 139 λT1.λT2.λT3.λT4.λp:Prod4T T1 T2 T3 T4.match p with [ quadrupleT x _ _ _ ⇒ x ].
 140
 141 definition snd4T ≝
 142 λT1.λT2.λT3.λT4.λp:Prod4T T1 T2 T3 T4.match p with [ quadrupleT _ x _ _ ⇒ x ].
 143
 144 definition thd4T ≝
 145 λT1.λT2.λT3.λT4.λp:Prod4T T1 T2 T3 T4.match p with [ quadrupleT _ _ x _ ⇒ x ].
 146
 147 definition fth4T ≝
 148 λT1.λT2.λT3.λT4.λp:Prod4T T1 T2 T3 T4.match p with [ quadrupleT _ _ _ x ⇒ x ].
 149
 150 inductive Prod5T (T1:Type) (T2:Type) (T3:Type) (T4:Type) (T5:Type) : Type ≝
 151 quintupleT : T1 → T2 → T3 → T4 → T5 → Prod5T T1 T2 T3 T4 T5.
 152
 153 definition fst5T ≝
 154 λT1.λT2.λT3.λT4.λT5.λp:Prod5T T1 T2 T3 T4 T5.match p with [ quintupleT x _ _ _ _ ⇒ x ].
 155
 156 definition snd5T ≝
 157 λT1.λT2.λT3.λT4.λT5.λp:Prod5T T1 T2 T3 T4 T5.match p with [ quintupleT _ x _ _ _ ⇒ x ].
 158
 159 definition thd5T ≝
 160 λT1.λT2.λT3.λT4.λT5.λp:Prod5T T1 T2 T3 T4 T5.match p with [ quintupleT _ _ x _ _ ⇒ x ].
 161
 162 definition frth5T ≝
 163 λT1.λT2.λT3.λT4.λT5.λp:Prod5T T1 T2 T3 T4 T5.match p with [ quintupleT _ _ _ x _ ⇒ x ].
 164
 165 definition ffth5T ≝
 166 λT1.λT2.λT3.λT4.λT5.λp:Prod5T T1 T2 T3 T4 T5.match p with [ quintupleT _ _ _ _ x ⇒ x ].
 167
 168 (* OPTIOTN MAP *)
 169
 170 (* option map = match ... with [ None ⇒ None ? | Some .. ⇒ .. ] *)
 171 definition opt_map ≝
 172 λT1,T2:Type.λt:option T1.λf:T1 → option T2.
 173  match t with [ None ⇒ None ? | Some x ⇒ (f x) ].
 174
 175 (* ********************** *)
 176 (* TEOREMI/LEMMMI/ASSIOMI *)
 177 (* ********************** *)
 178
 179 axiom mod_plus: ∀a,b,m. (a + b) \mod m = (a \mod m + b \mod m) \mod m.
 180 axiom mod_mod: ∀a,n,m. n∣m → a \mod n = a \mod n \mod m.
 181 axiom eq_mod_times_n_m_m_O: ∀n,m. O < m → n * m \mod m = O.
 182 axiom eq_mod_to_eq_plus_mod: ∀a,b,c,m. a \mod m = b \mod m → (a+c) \mod m = (b+c) \mod m.
 183 axiom eq_mod_times_times_mod: ∀a,b,n,m. m = a*n → (a*b) \mod m = a * (b \mod n).
 184 axiom divides_to_eq_mod_mod_mod: ∀a,n,m. n∣m → a \mod m \mod n = a \mod n.
 185 axiom le_to_le_plus_to_le : ∀a,b,c,d.b\leq d\rarr a+b\leq c+d\rarr a\leq c.
 186 axiom or_lt_le : ∀n,m. n < m ∨ m ≤ n.
 187
 188 lemma le_to_lt: ∀n,m. n ≤ m → n < S m.
 189  intros;
 190  autobatch.
 191 qed.
 192
 193 alias num (instance 0) = "natural number".
 194 definition nat_of_bool ≝
 195  λb:bool.match b return λ_.nat with [ true ⇒ 1 | false ⇒ 0 ].
 196
 197 theorem lt_trans: ∀x,y,z. x < y → y < z → x < z.
 198  unfold lt;
 199  intros;
 200  autobatch.
 201 qed.
 202
 203 lemma leq_m_n_to_eq_div_n_m_S: ∀n,m:nat. 0 < m → m ≤ n → ∃z. n/m = S z.
 204  intros;
 205  unfold div;
 206  apply (ex_intro ? ? (div_aux (pred n) (n-m) (pred m)));
 207  cut (∃w.m = S w);
 208   [ elim Hcut;
 209     rewrite > H2;
 210     rewrite > H2 in H1;
 211     clear Hcut; clear H2; clear H;
 212     simplify;
 213     unfold in ⊢ (? ? % ?);
 214     cut (∃z.n = S z);
 215      [ elim Hcut; clear Hcut;
 216        rewrite > H in H1;
 217        rewrite > H; clear m;
 218        change in ⊢ (? ? % ?)  with
 219         (match leb (S a1) a with
 220          [ true ⇒ O
 221          | false ⇒ S (div_aux a1 ((S a1) - S a) a)]);
 222        cut (S a1 ≰ a);
 223         [ apply (leb_elim (S a1) a);
 224            [ intro;
 225              elim (Hcut H2)
 226            | intro;
 227              simplify;
 228              reflexivity
 229            ]
 230         | intro;
 231           autobatch
 232         ]
 233      | elim H1; autobatch
 234      ]
 235   | autobatch
 236   ].
 237 qed.
 238
 239 axiom daemon: False.