helm/software/matita/contribs/character/preamble.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat/exp.ma".
  16 include "nat/relevant_equations.ma".
  17
  18 alias num (instance 0) = "natural number".
  19
  20 theorem plus_inv_O3: \forall m,n. 0 = n + m \to 0 = n \land 0 = m.
  21  intros 2; elim n names 0; clear n; simplify; intros;
  22  [ autobatch | destruct ].
  23 qed.
  24
  25 theorem times_inv_O3_S: \forall x,y. 0 = x * (S y) -> x = 0.
  26  intros; rewrite < times_n_Sm in H;
  27  lapply linear plus_inv_O3 to H; decompose; destruct; autobatch.
  28 qed.
  29
  30 theorem not_3_divides_1: \forall n. 1 = n * 3 \to False.
  31  intros 1; rewrite > sym_times; simplify;
  32  elim n names 0; simplify; intros; destruct;
  33  rewrite > sym_plus in Hcut; simplify in Hcut; destruct Hcut.
  34 qed.
  35
  36 theorem le_inv_S_S: \forall m,n. S m <= S n \to m <= n.
  37  intros; inversion H; clear H; intros; destruct; autobatch.
  38 qed.
  39
  40 theorem plus_inv_S_S_S: \forall x,y,z. S x = S y + S z \to S y <= x \land S z <= x.
  41  simplify; intros; destruct;
  42  rewrite < plus_n_Sm in \vdash (? (? ? %) ?); autobatch depth = 3.
  43 qed.
  44
  45 theorem times_inv_S_m_SS: \forall k,n,m. S n = m * (S (S k)) \to m \le n.
  46  intros 3; elim m names 0; clear m; simplify; intros; destruct;
  47  clear H; apply le_S_S; rewrite < sym_times; simplify;
  48  autobatch depth = 2.
  49 qed.
  50
  51 theorem plus_3_S3n: \forall n. S (S n * 3) = 3 + S (n * 3).
  52  intros; simplify; autobatch.
  53 qed.
  54
  55 theorem times_exp_x_y_Sz: \forall x,y,z. x * y \sup (S z) = (x * y \sup z) * y.
  56  intros; simplify; autobatch depth = 1.
  57 qed.
  58
  59 definition acc_nat \def \lambda P:nat \to Prop. \lambda n.
  60                    \forall m. m <= n \to P m.
  61
  62 theorem wf_le: \forall P.
  63                P 0 \to (\forall n. acc_nat P n \to P (S n)) \to
  64                \forall n. acc_nat P n.
  65  unfold acc_nat; intros 4; elim n names 0; clear n;
  66  [ intros; lapply linear le_n_O_to_eq to H2; destruct; autobatch
  67  | intros 3; elim m; clear m; intros; clear H3;
  68    [ clear H H1; autobatch
  69    | clear H; lapply linear le_inv_S_S to H4;
  70      apply H1; clear H1; intros;
  71      apply H2; clear H2; autobatch depth = 2
  72    ]
  73  ].
  74 qed.
  75
  76 theorem wf_nat_ind: \forall P:nat \to Prop.
  77                     P O \to
  78                     (\forall n. (\forall m. m <= n \to P m) \to P (S n)) \to
  79                     \forall n. P n.
  80  intros; lapply linear depth=2 wf_le to H, H1 as H0;
  81  unfold acc_nat in H0; apply (H0 n n); autobatch.
  82 qed.