helm/software/matita/contribs/dama/dama/bishop_set.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ordered_set.ma".
  16
  17 (* Definition 2.2, setoid *)
  18 record bishop_set: Type ≝ {
  19   bs_carr:> Type;
  20   bs_apart: bs_carr → bs_carr → CProp;
  21   bs_coreflexive: coreflexive ? bs_apart;
  22   bs_symmetric: symmetric ? bs_apart;
  23   bs_cotransitive: cotransitive ? bs_apart
  24 }.
  25
  26 interpretation "bishop set apartness" 'apart x y = (bs_apart _ x y).
  27
  28 definition bishop_set_of_ordered_set: ordered_set → bishop_set.
  29 intros (E); apply (mk_bishop_set E (λa,b:E. a ≰ b ∨ b ≰ a));
  30 [1: intro x; simplify; intro H; cases H; clear H;
  31     apply (exc_coreflexive x H1);
  32 |2: intros 3 (x y H); simplify in H ⊢ %; cases H; [right|left]assumption;
  33 |3: intros 4 (x y z H);  simplify in H ⊢ %; cases H; clear H;
  34     [ cases (exc_cotransitive x y z H1); [left;left|right;left] assumption;
  35     | cases (exc_cotransitive y x z H1); [right;right|left;right] assumption;]]
  36 qed.
  37
  38 (* Definition 2.2 (2) *)
  39 definition eq ≝ λA:bishop_set.λa,b:A. ¬ (a # b).
  40
  41 interpretation "Bishop set alikeness" 'napart a b = (eq _ a b).
  42
  43 lemma eq_reflexive:∀E:bishop_set. reflexive ? (eq E).
  44 intros (E); unfold; intros (x); apply bs_coreflexive;
  45 qed.
  46
  47 lemma eq_sym_:∀E:bishop_set.symmetric ? (eq E).
  48 intros 4 (E x y H); intro T; cases (H (bs_symmetric ??? T));
  49 qed.
  50
  51 lemma eq_sym:∀E:bishop_set.∀x,y:E.x ≈ y → y ≈ x ≝ eq_sym_.
  52
  53 lemma eq_trans_: ∀E:bishop_set.transitive ? (eq E).
  54 intros 6 (E x y z Exy Eyz); intro Axy; cases (bs_cotransitive ???y Axy);
  55 [apply Exy|apply Eyz] assumption.
  56 qed.
  57
  58 coercion bishop_set_of_ordered_set.
  59
  60 lemma le_antisymmetric:
  61   ∀E:ordered_set.antisymmetric E (le (os_l E)) (eq E).
  62 intros 5 (E x y Lxy Lyx); intro H;
  63 cases H; [apply Lxy;|apply Lyx] assumption;
  64 qed.
  65
  66 lemma le_le_eq: ∀E:ordered_set.∀a,b:E. a ≤ b → b ≤ a → a ≈ b.
  67 intros (E x y L1 L2); intro H; cases H; [apply L1|apply L2] assumption;
  68 qed.
  69
  70 (*
  71 definition lt ≝ λE:half_ordered_set.λa,b:E. a ≤ b ∧ a # b.
  72
  73 interpretation "ordered sets less than" 'lt a b = (lt _ a b).
  74
  75 lemma lt_coreflexive: ∀E.coreflexive ? (lt E).
  76 intros 2 (E x); intro H; cases H (_ ABS);
  77 apply (bs_coreflexive ? x ABS);
  78 qed.
  79
  80 lemma lt_transitive: ∀E.transitive ? (lt E).
  81 intros (E); unfold; intros (x y z H1 H2); cases H1 (Lxy Axy); cases H2 (Lyz Ayz);
  82 split; [apply (le_transitive E ??? Lxy Lyz)] clear H1 H2;
  83 cases Axy (H1 H1); cases Ayz (H2 H2); [1:cases (Lxy H1)|3:cases (Lyz H2)]clear Axy Ayz;
  84 [1: cases (hos_cotransitive E ?? y H1) (X X); [cases (Lxy X)|cases (hos_coreflexive E ? X)]
  85 |2: cases (hos_cotransitive E ?? x H2) (X X); [right;assumption|cases (Lxy X)]]
  86 qed.
  87
  88 theorem lt_to_excess: ∀E:ordered_set.∀a,b:E. (a < b) → (b ≰ a).
  89 intros (E a b Lab); cases Lab (LEab Aab); cases Aab (H H);[cases (LEab H)]
  90 assumption;
  91 qed.
  92 *)
  93
  94 definition bs_subset ≝ λO:bishop_set.λP,Q:O→Prop.∀x:O.P x → Q x.
  95
  96 interpretation "bishop set subset" 'subseteq a b = (bs_subset _ a b).
  97
  98 definition square_bishop_set : bishop_set → bishop_set.
  99 intro S; apply (mk_bishop_set (S × S));
 100 [1: intros (x y); apply ((\fst x # \fst y) ∨ (\snd x # \snd y));
 101 |2: intro x; simplify; intro; cases H (X X); clear H; apply (bs_coreflexive ?? X);
 102 |3: intros 2 (x y); simplify; intro H; cases H (X X); clear H; [left|right] apply (bs_symmetric ??? X);
 103 |4: intros 3 (x y z); simplify; intro H; cases H (X X); clear H;
 104     [1: cases (bs_cotransitive ??? (\fst z) X); [left;left|right;left]assumption;
 105     |2: cases (bs_cotransitive ??? (\snd z) X); [left;right|right;right]assumption;]]
 106 qed.
 107
 108 notation "s 2 \atop \neq" non associative with precedence 90
 109   for @{ 'square_bs $s }.
 110 notation > "s 'squareB'" non associative with precedence 90
 111   for @{ 'squareB $s }.
 112 interpretation "bishop set square" 'squareB x = (square_bishop_set x).
 113 interpretation "bishop set square" 'square_bs x = (square_bishop_set x).