helm/software/matita/contribs/dama/dama/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16
  17 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  18    Left : A → Or A B
  19  | Right : B → Or A B.
  20
  21 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  22
  23 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  24  | Conj : A → B → And A B.
  25
  26 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  27
  28 inductive And3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  29  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  30
  31 notation < "a ∧ b ∧ c" left associative with precedence 60 for @{'and3 $a $b $c}.
  32
  33 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (Conj3 x y z).
  34
  35 inductive And4 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  36  | Conj4 : A → B → C → And4 A B C.
  37
  38 notation < "a ∧ b ∧ c ∧ d" left associative with precedence 60 for @{'and3 $a $b $c $d}.
  39
  40 interpretation "constructive quaternary and" 'and4 x y z t = (Conj4 x y z t).
  41
  42 inductive exT (A:Type) (P:A→CProp) : CProp ≝
  43   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
  44
  45 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT _ x).
  46
  47 inductive exT23 (A:Type) (P:A→CProp) (Q:A→CProp) (R:A→A→CProp) : CProp ≝
  48   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
  49
  50 notation < "'fst' \nbsp x" non associative with precedence 50 for @{'pi1 $x}.
  51 notation < "'snd' \nbsp x" non associative with precedence 50 for @{'pi2 $x}.
  52 notation > "'fst' x" non associative with precedence 50 for @{'pi1 $x}.
  53 notation > "'snd' x" non associative with precedence 50 for @{'pi2 $x}.
  54 notation < "'fst' \nbsp x \nbsp y" non associative with precedence 50 for @{'pi12 $x $y}.
  55 notation < "'snd' \nbsp x \nbsp y" non associative with precedence 50 for @{'pi22 $x $y}.
  56
  57 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
  58
  59 interpretation "exT fst" 'pi1 x = (pi1exT _ _ x).
  60 interpretation "exT fst 2" 'pi12 x y = (pi1exT _ _ x y).
  61
  62 definition pi1exT23 ≝
  63   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
  64 definition pi2exT23 ≝
  65   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
  66
  67 interpretation "exT2 fst" 'pi1 x = (pi1exT23 _ _ _ _ x).
  68 interpretation "exT2 snd" 'pi2 x = (pi2exT23 _ _ _ _ x).
  69 interpretation "exT2 fst 2" 'pi12 x y = (pi1exT23 _ _ _ _ x y).
  70 interpretation "exT2 snd 2" 'pi22 x y = (pi2exT23 _ _ _ _ x y).
  71
  72
  73 definition Not : CProp → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
  74
  75 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
  76
  77 definition cotransitive ≝
  78  λC:Type.λlt:C→C→CProp.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
  79
  80 definition coreflexive ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x:C. ¬ (lt x x).
  81
  82 definition symmetric ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  83
  84 definition antisymmetric ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
  85
  86 definition reflexive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
  87
  88 definition transitive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  89