helm/software/matita/contribs/dama/dama/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16
  17 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  18    Left : A → Or A B
  19  | Right : B → Or A B.
  20
  21 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  22
  23 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  24  | Conj : A → B → And A B.
  25
  26 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  27
  28 inductive exT (A:Type) (P:A→CProp) : CProp ≝
  29   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
  30
  31 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT _ x).
  32
  33 definition Not : CProp → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
  34
  35 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
  36
  37 definition cotransitive ≝
  38  λC:Type.λlt:C→C→CProp.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
  39
  40 definition coreflexive ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x:C. ¬ (lt x x).
  41
  42 definition symmetric ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  43
  44 definition antisymmetric ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
  45
  46 definition reflexive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
  47
  48 definition transitive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  49