helm/software/matita/contribs/dama/dama/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16
  17 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  18  | Left : A → Or A B
  19  | Right : B → Or A B.
  20
  21 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  22
  23 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  24  | Conj : A → B → And A B.
  25
  26 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  27
  28 inductive And3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  29  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  30
  31 notation < "a ∧ b ∧ c" left associative with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  32
  33 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (Conj3 x y z).
  34
  35 inductive And4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  36  | Conj4 : A → B → C → D → And4 A B C D.
  37
  38 notation < "a ∧ b ∧ c ∧ d" left associative with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  39
  40 interpretation "constructive quaternary and" 'and4 x y z t = (Conj4 x y z t).
  41
  42 coinductive product (A,B:Type) : Type ≝ pair : ∀a:A.∀b:B.product A B.
  43
  44 notation "a \times b" left associative with precedence 70 for @{'product $a $b}.
  45 interpretation "prod" 'product a b = (product a b).
  46
  47 definition first : ∀A.∀P.A × P → A ≝ λA,P,s.match s with [pair x _ ⇒ x].
  48 definition second : ∀A.∀P.A × P → P ≝ λA,P,s.match s with [pair _ y ⇒ y].
  49
  50 interpretation "pair pi1" 'pi1 = (first _ _).
  51 interpretation "pair pi2" 'pi2 = (second _ _).
  52 interpretation "pair pi1" 'pi1a x = (first _ _ x).
  53 interpretation "pair pi2" 'pi2a x = (second _ _ x).
  54 interpretation "pair pi1" 'pi1b x y = (first _ _ x y).
  55 interpretation "pair pi2" 'pi2b x y = (second _ _ x y).
  56
  57 notation "hvbox(\langle a, break b\rangle)" left associative with precedence 70 for @{ 'pair $a $b}.
  58 interpretation "pair" 'pair a b = (pair _ _ a b).
  59
  60 inductive exT (A:Type) (P:A→CProp) : CProp ≝
  61   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
  62
  63 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT _ x).
  64 interpretation "dependent pair" 'pair a b = (ex_introT _ _ a b).
  65
  66 notation < "'fst' \nbsp x" non associative with precedence 90 for @{'pi1a $x}.
  67 notation < "'snd' \nbsp x" non associative with precedence 90 for @{'pi2a $x}.
  68 notation < "'fst' \nbsp x \nbsp y" non associative with precedence 90 for @{'pi1b $x $y}.
  69 notation < "'snd' \nbsp x \nbsp y" non associative with precedence 90 for @{'pi2b $x $y}.
  70 notation > "'fst'" non associative with precedence 90 for @{'pi1}.
  71 notation > "'snd'" non associative with precedence 90 for @{'pi2}.
  72
  73 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
  74 definition pi2exT ≝
  75   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
  76
  77 interpretation "exT fst" 'pi1 = (pi1exT _ _).
  78 interpretation "exT fst" 'pi1a x = (pi1exT _ _ x).
  79 interpretation "exT fst" 'pi1b x y = (pi1exT _ _ x y).
  80 interpretation "exT snd" 'pi2 = (pi2exT _ _).
  81 interpretation "exT snd" 'pi2a x = (pi2exT _ _ x).
  82 interpretation "exT snd" 'pi2b x y = (pi2exT _ _ x y).
  83
  84 inductive exT23 (A:Type) (P:A→CProp) (Q:A→CProp) (R:A→A→CProp) : CProp ≝
  85   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
  86
  87 definition pi1exT23 ≝
  88   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
  89 definition pi2exT23 ≝
  90   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
  91
  92 interpretation "exT2 fst" 'pi1 = (pi1exT23 _ _ _ _).
  93 interpretation "exT2 snd" 'pi2 = (pi2exT23 _ _ _ _).
  94 interpretation "exT2 fst" 'pi1a x = (pi1exT23 _ _ _ _ x).
  95 interpretation "exT2 snd" 'pi2a x = (pi2exT23 _ _ _ _ x).
  96 interpretation "exT2 fst" 'pi1b x y = (pi1exT23 _ _ _ _ x y).
  97 interpretation "exT2 snd" 'pi2b x y = (pi2exT23 _ _ _ _ x y).
  98
  99 definition Not : CProp → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
 100
 101 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 102
 103 definition cotransitive ≝
 104  λC:Type.λlt:C→C→CProp.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 105
 106 definition coreflexive ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 107
 108 definition symmetric ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 109
 110 definition antisymmetric ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 111
 112 definition reflexive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
 113
 114 definition transitive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.