helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_support.ma".
  17 include "models/list_support.ma".
  18 include "cprop_connectives.ma".
  19
  20 definition bar ≝ ℚ × ℚ.
  21
  22 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  23 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  24
  25 definition empty_bar : bar ≝ 〈Qpos one,OQ〉.
  26 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  27 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  28
  29 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  30 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  31
  32 definition q2_lt := mk_rel bar (λx,y:bar.\fst x < \fst y).
  33
  34 interpretation "bar lt" 'lt x y = (rel_op _ q2_lt x y).
  35
  36 lemma q2_trans : ∀a,b,c:bar. a < b → b < c → a < c.
  37 intros 3; cases a; cases b; cases c; unfold q2_lt; simplify; intros;
  38 apply (q_lt_trans ??? H H1);
  39 qed.
  40
  41 definition q2_trel := mk_trans_rel bar q2_lt q2_trans.
  42
  43 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel q2_trel x y).
  44
  45 definition canonical_q_lt : rel bar → trans_rel ≝ λx:rel bar.q2_trel.
  46
  47 coercion canonical_q_lt with nocomposites.
  48
  49 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel (canonical_q_lt _) x y).
  50
  51 definition nth_base ≝ λf,n. \fst (\nth f ▭ n).
  52 definition nth_height ≝ λf,n. \snd (\nth f ▭ n).
  53
  54 record q_f : Type ≝ {
  55  bars: list bar;
  56  bars_sorted : sorted q2_lt bars;
  57  bars_begin_OQ : nth_base bars O = OQ;
  58  bars_end_OQ : nth_height bars (pred (\len bars)) = OQ
  59 }.
  60
  61 lemma len_bases_gt_O: ∀f.O < \len (bars f).
  62 intros; generalize in match (bars_begin_OQ f); cases (bars f); intros;
  63 [2: simplify; apply le_S_S; apply le_O_n;
  64 |1: normalize in H; destruct H;]
  65 qed.
  66
  67 lemma all_bases_positive : ∀f:q_f.∀i. OQ < nth_base (bars f) (S i).
  68 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
  69 cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); intros;
  70 cases (cmp_nat (\len l) i);
  71 [2: lapply (sorted_tail_bigger q2_lt ?? ▭ H ? H2) as K;
  72     simplify in H1; rewrite < H1; apply K;
  73 |1: simplify; elim l in i H2;[simplify; rewrite > nth_nil; apply (q_pos_OQ one)]
  74     cases n in H3; intros; [simplify in H3; cases (not_le_Sn_O ? H3)]
  75     apply (H2 n1); simplify in H3; apply (le_S_S_to_le ?? H3);]
  76 qed.
  77
  78 (*
  79 lemma lt_n_plus_n_Sm : ∀n,m:nat.n < n + S m.
  80 intros; rewrite > sym_plus; apply (le_S_S n (m+n)); apply (le_plus_n m n); qed.
  81 *)
  82
  83 (*
  84 lemma all_bigger_can_concat_bigger:
  85    ∀l1,l2,start,b,x,n.
  86     (∀i.i< len l1 → nth_base l1 i < \fst b) →
  87     (∀i.i< len l2 → \fst b ≤ nth_base l2 i) →
  88     (∀i.i< len l1 → start ≤ i → x ≤ nth_base l1 i) →
  89     start ≤ n → n < len (l1@b::l2) → x ≤ \fst b → x ≤ nth_base (l1@b::l2) n.
  90 intros; cases (cmp_nat n (len l1));
  91 [1: unfold nth_base;  rewrite > (nth_concat_lt_len ????? H6);
  92     apply (H2 n); assumption;
  93 |2: rewrite > H6; unfold nth_base; rewrite > nth_len; assumption;
  94 |3: unfold nth_base; rewrite > nth_concat_ge_len; [2: apply lt_to_le; assumption]
  95     rewrite > len_concat in H4; simplify in H4; rewrite < plus_n_Sm in H4;
  96     lapply linear le_S_S_to_le to H4 as K; rewrite > sym_plus in K;
  97     lapply linear le_plus_to_minus to K as X;
  98     generalize in match X; generalize in match (n - len l1); intro W; cases W; clear W X;
  99     [intros; assumption] intros;
 100     apply (q_le_trans ??? H5); apply (H1 n1); assumption;]
 101 qed.
 102 *)
 103
 104
 105 inductive value_spec (f : q_f) (i : ℚ) : ℚ → nat → CProp ≝
 106  value_of : ∀q,j.
 107    nth_height (bars f) j = q →
 108    nth_base (bars f) j < i →
 109    (∀n.j < n → n < \len (bars f) → i ≤ nth_base (bars f) n) → value_spec f i q j.
 110
 111
 112 inductive break_spec (T : Type) (n : nat) (l : list T) : list T → CProp ≝
 113 | break_to: ∀l1,x,l2. \len l1 = n → l = l1 @ [x] @ l2 → break_spec T n l l.
 114
 115 lemma list_break: ∀T,n,l. n < \len l → break_spec T n l l.
 116 intros 2; elim n;
 117 [1: elim l in H; [cases (not_le_Sn_O ? H)]
 118     apply (break_to ?? ? [] a l1); reflexivity;
 119 |2: cases (H l); [2: apply lt_S_to_lt; assumption;] cases l2 in H3; intros;
 120     [1: rewrite < H2 in H1; rewrite > H3 in H1; rewrite > append_nil in H1;
 121         rewrite > len_append in H1; rewrite > plus_n_SO in H1;
 122         cases (not_le_Sn_n ? H1);
 123     |2: apply (break_to ?? ? (l1@[x]) t l3);
 124         [2: simplify; rewrite > associative_append; assumption;
 125         |1: rewrite < H2; rewrite > len_append; rewrite > plus_n_SO; reflexivity]]]
 126 qed.
 127
 128 definition value :  ∀f:q_f.∀i:ratio.∃p:ℚ.∃j.value_spec f (Qpos i) p j.
 129 intros;
 130 letin P ≝
 131   (λx:bar.match q_cmp (Qpos i) (\fst x) with[ q_leq _ ⇒ true| q_gt _ ⇒ false]);
 132 exists [apply (nth_height (bars f) (pred (find ? P (bars f) ▭)));]
 133 exists [apply (pred (find ? P (bars f) ▭))] apply value_of;
 134 [1: reflexivity
 135 |2: cases (cases_find bar P (bars f) ▭);
 136     [1: cases i1 in H H1 H2 H3; simplify; intros;
 137         [1: generalize in match (bars_begin_OQ f);
 138             cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); simplify; intros;
 139             rewrite > H4; apply q_pos_OQ;
 140         |2: cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)) in H3;
 141             intros; lapply (H3 n (le_n ?)) as K; unfold P in K;
 142             cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ n))) in K;
 143             simplify; intros; [destruct H5] assumption]
 144     |2: destruct H; cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)) in H2;
 145         simplify; intros; lapply (H (\len l) (le_n ?)) as K; clear H;
 146         unfold P in K; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ (\len l)))) in K;
 147         simplify; intros; [destruct H2] assumption;]
 148 |3: intro; cases (cases_find bar P (bars f) ▭); intros;
 149     [1: generalize in match (bars_sorted f);
 150         cases (list_break ??? H) in H1; rewrite > H6;
 151         rewrite < H1; simplify; rewrite > nth_len; unfold P;
 152         cases (q_cmp (Qpos i) (\fst x)); simplify;
 153         intros (X Hs); [2: destruct X] clear X;
 154         cases (sorted_pivot q2_lt ??? ▭ Hs);
 155         cut (\len l1 ≤ n) as Hn; [2:
 156           rewrite > H1;  cases i1 in H4; simplify; intro X; [2: assumption]
 157           apply lt_to_le; assumption;]
 158         unfold nth_base; rewrite > (nth_append_ge_len ????? Hn);
 159         cut (n - \len l1 < \len (x::l2)) as K; [2:
 160           simplify; rewrite > H1; rewrite > (?:\len l2 = \len (bars f) - \len (l1 @ [x]));[2:
 161             rewrite > H6; repeat rewrite > len_append; simplify;
 162             repeat rewrite < plus_n_Sm; rewrite < plus_n_O; simplify;
 163             rewrite > sym_plus; rewrite < minus_plus_m_m; reflexivity;]
 164           rewrite > len_append; rewrite > H1; simplify; rewrite < plus_n_SO;
 165           apply le_S_S; clear H1 H6 H7 Hs H8 H9 Hn x l2 l1 H4 H3 H2 H P i;
 166           elim (\len (bars f)) in i1 n H5; [cases (not_le_Sn_O ? H);]
 167           simplify; cases n2; [ repeat rewrite < minus_n_O; apply le_S_S_to_le; assumption]
 168           cases n1 in H1; [intros; rewrite > eq_minus_n_m_O; apply le_O_n]
 169           intros; simplify; apply H; apply le_S_S_to_le; assumption;]
 170         cases (n - \len l1) in K; simplify; intros; [ assumption]
 171         lapply (H9 ? (le_S_S_to_le ?? H10)) as W; apply (q_le_trans ??? H7);
 172         apply q_lt_to_le; apply W;
 173     |2: cases (not_le_Sn_n i1); rewrite > H in ⊢ (??%);
 174         apply (trans_le ??? ? H4); cases i1 in H3; intros; apply le_S_S;
 175         [ apply le_O_n; | assumption]]]
 176 qed.
 177
 178 lemma value_OQ_l:
 179   ∀l,i.i < start l → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 180 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 181 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (q_lt_le_incompat ?? H H6);
 182 qed.
 183
 184 lemma value_OQ_r:
 185   ∀l,i.start l + sum_bases (bars l) (len (bars l)) ≤ i → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 186 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 187 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (q_lt_le_incompat ?? H7 H);
 188 qed.
 189
 190 lemma value_OQ_e:
 191   ∀l,i.bars l = [] → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 192 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 193 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (H1 H);
 194 qed.
 195
 196 inductive value_ok_spec (f : q_f) (i : ℚ) : nat × ℚ → Type ≝
 197  | value_ok : ∀n,q. n ≤ (len (bars f)) →
 198       q = \snd (nth (bars f) ▭ n) →
 199       sum_bases (bars f) n ≤ ⅆ[i,start f] →
 200            ⅆ[i, start f] < sum_bases (bars f) (S n) → value_ok_spec f i 〈n,q〉.
 201
 202 lemma value_ok:
 203   ∀f,i.bars f ≠ [] → start f ≤ i → i < start f + sum_bases (bars f) (len (bars f)) →
 204     value_ok_spec f i (\fst (value f i)).
 205 intros; cases (value f i); simplify;
 206 cases H3; simplify; clear H3; cases H4; clear H4;
 207 [1,2,3: cases (?:False);
 208   [1: apply (q_lt_le_incompat ?? H3 H1);
 209   |2: apply (q_lt_le_incompat ?? H2 H3);
 210   |3: apply (H H3);]
 211 |4: cases H7; clear H7; cases w in H3 H4 H5 H6 H8; simplify; intros;
 212     constructor 1; assumption;]
 213 qed.
 214
 215 definition same_values ≝
 216   λl1,l2:q_f.
 217    ∀input.\snd (\fst (value l1 input)) = \snd (\fst (value l2 input)).
 218
 219 definition same_bases ≝
 220   λl1,l2:list bar. (∀i.\fst (nth l1 ▭ i) = \fst (nth l2 ▭ i)).
 221
 222 alias symbol "lt" = "Q less than".
 223 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 224 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 225 cases (?:False);
 226 [ apply (q_lt_corefl ? H)|apply (q_neg_gt ? H)]
 227 qed.
 228
 229 notation < "x \blacksquare" non associative with precedence 50 for @{'unpos $x}.
 230 interpretation "hide unpos proof" 'unpos x = (unpos x _).
 231