helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_support.ma".
  17 include "models/list_support.ma".
  18 include "logic/cprop_connectives.ma".
  19
  20 definition bar ≝ ℚ × (ℚ × ℚ).
  21
  22 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  23 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  24
  25 definition empty_bar : bar ≝ 〈Qpos one,〈OQ,OQ〉〉.
  26 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  27 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  28
  29 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  30 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  31
  32 definition q2_lt := mk_rel bar (λx,y:bar.\fst x < \fst y).
  33
  34 interpretation "bar lt" 'lt x y = (rel_op _ q2_lt x y).
  35
  36 lemma q2_trans : ∀a,b,c:bar. a < b → b < c → a < c.
  37 intros 3; cases a; cases b; cases c; unfold q2_lt; simplify; intros;
  38 apply (q_lt_trans ??? H H1);
  39 qed.
  40
  41 definition q2_trel := mk_trans_rel bar q2_lt q2_trans.
  42
  43 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel q2_trel x y).
  44
  45 definition canonical_q_lt : rel bar → trans_rel ≝ λx:rel bar.q2_trel.
  46
  47 coercion canonical_q_lt with nocomposites.
  48
  49 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel (canonical_q_lt _) x y).
  50
  51 definition nth_base ≝ λf,n. \fst (\nth f ▭ n).
  52 definition nth_height ≝ λf,n. \snd (\nth f ▭ n).
  53
  54 record q_f : Type ≝ {
  55  bars: list bar;
  56  bars_sorted : sorted q2_lt bars;
  57  bars_begin_OQ : nth_base bars O = OQ;
  58  bars_end_OQ : nth_height bars (pred (\len bars)) = 〈OQ,OQ〉
  59 }.
  60
  61 lemma len_bases_gt_O: ∀f.O < \len (bars f).
  62 intros; generalize in match (bars_begin_OQ f); cases (bars f); intros;
  63 [2: simplify; apply le_S_S; apply le_O_n;
  64 |1: normalize in H; destruct H;]
  65 qed.
  66
  67 lemma all_bases_positive : ∀f:q_f.∀i. OQ < nth_base (bars f) (S i).
  68 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
  69 cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); intros;
  70 cases (cmp_nat (\len l) i);
  71 [2: lapply (sorted_tail_bigger q2_lt ?? ▭ H ? H2) as K;
  72     simplify in H1; rewrite < H1; apply K;
  73 |1: simplify; elim l in i H2;[simplify; rewrite > nth_nil; apply (q_pos_OQ one)]
  74     cases n in H3; intros; [simplify in H3; cases (not_le_Sn_O ? H3)]
  75     apply (H2 n1); simplify in H3; apply (le_S_S_to_le ?? H3);]
  76 qed.
  77
  78 alias symbol "lt" (instance 9) = "Q less than".
  79 alias symbol "lt" (instance 7) = "natural 'less than'".
  80 alias symbol "lt" (instance 6) = "natural 'less than'".
  81 alias symbol "lt" (instance 5) = "Q less than".
  82 alias symbol "lt" (instance 4) = "natural 'less than'".
  83 alias symbol "lt" (instance 2) = "natural 'less than'".
  84 alias symbol "leq" = "Q less or equal than".
  85 coinductive value_spec (f : list bar) (i : ℚ) : ℚ × ℚ → CProp ≝
  86 | value_of : ∀j,q.
  87     nth_height f j = q →  nth_base f j < i → j < \len f →
  88     (∀n.n<j → nth_base f n < i) →
  89     (∀n.j < n → n < \len f → i ≤ nth_base f n) → value_spec f i q.
  90
  91 alias symbol "lt" (instance 5) = "Q less than".
  92 alias symbol "lt" (instance 6) = "natural 'less than'".
  93 definition value_lemma :
  94   ∀f:list bar.sorted q2_lt f → O < length bar f →
  95   ∀i:ratio.nth_base f O  < Qpos i → ∃p:ℚ×ℚ.value_spec f (Qpos i) p.
  96 intros (f bars_sorted_f len_bases_gt_O_f i bars_begin_OQ_f);
  97 letin P ≝
  98   (λx:bar.match q_cmp (Qpos i) (\fst x) with[ q_leq _ ⇒ true| q_gt _ ⇒ false]);
  99 exists [apply (nth_height f (pred (find ? P f ▭)));]
 100 apply (value_of ?? (pred (find ? P f ▭)));
 101 [1: reflexivity
 102 |2: cases (cases_find bar P f ▭);
 103     [1: cases i1 in H H1 H2 H3; simplify; intros;
 104         [1: generalize in match (bars_begin_OQ_f);
 105             cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O_f)); simplify; intros;
 106             assumption;
 107         |2: cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O_f)) in H3;
 108             intros; lapply (H3 n (le_n ?)) as K; unfold P in K;
 109             cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ n))) in K;
 110             simplify; intros; [destruct H5] assumption]
 111     |2: destruct H; cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O_f)) in H2;
 112         simplify; intros; lapply (H (\len l) (le_n ?)) as K; clear H;
 113         unfold P in K; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ (\len l)))) in K;
 114         simplify; intros; [destruct H2] assumption;]
 115 |5: intro; cases (cases_find bar P f ▭); intros;
 116     [1: generalize in match (bars_sorted_f);
 117         cases (list_break ??? H) in H1; rewrite > H6;
 118         rewrite < H1; simplify; rewrite > nth_len; unfold P;
 119         cases (q_cmp (Qpos i) (\fst x)); simplify;
 120         intros (X Hs); [2: destruct X] clear X;
 121         cases (sorted_pivot q2_lt ??? ▭ Hs);
 122         cut (\len l1 ≤ n) as Hn; [2:
 123           rewrite > H1;  cases i1 in H4; simplify; intro X; [2: assumption]
 124           apply lt_to_le; assumption;]
 125         unfold nth_base; rewrite > (nth_append_ge_len ????? Hn);
 126         cut (n - \len l1 < \len (x::l2)) as K; [2:
 127           simplify; rewrite > H1; rewrite > (?:\len l2 = \len f - \len (l1 @ [x]));[2:
 128             rewrite > H6; repeat rewrite > len_append; simplify;
 129             repeat rewrite < plus_n_Sm; rewrite < plus_n_O; simplify;
 130             rewrite > sym_plus; rewrite < minus_plus_m_m; reflexivity;]
 131           rewrite > len_append; rewrite > H1; simplify; rewrite < plus_n_SO;
 132           apply le_S_S; clear H1 H6 H7 Hs H8 H9 Hn x l2 l1 H4 H3 H2 H P;
 133           elim (\len f) in i1 n H5; [cases (not_le_Sn_O ? H);]
 134           simplify; cases n2; [ repeat rewrite < minus_n_O; apply le_S_S_to_le; assumption]
 135           cases n1 in H1; [intros; rewrite > eq_minus_n_m_O; apply le_O_n]
 136           intros; simplify; apply H; apply le_S_S_to_le; assumption;]
 137         cases (n - \len l1) in K; simplify; intros; [ assumption]
 138         lapply (H9 ? (le_S_S_to_le ?? H10)) as W; apply (q_le_trans ??? H7);
 139         apply q_lt_to_le; apply W;
 140     |2: cases (not_le_Sn_n i1); rewrite > H in ⊢ (??%);
 141         apply (trans_le ??? ? H4); cases i1 in H3; intros; apply le_S_S;
 142         [ apply le_O_n; | assumption]]
 143 |3: cases (cases_find bar P f ▭); [
 144       cases i1 in H; intros; simplify; [assumption]
 145       apply lt_S_to_lt; assumption;]
 146     rewrite > H; cases (\len f) in len_bases_gt_O_f; intros; [cases (not_le_Sn_O ? H3)]
 147     simplify; apply le_n;
 148 |4: intros; cases (cases_find bar P f ▭) in H; simplify; intros;
 149     [1: lapply (H3 n); [2: cases i1 in H4; intros [assumption] apply le_S; assumption;]
 150         unfold P in Hletin; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth f ▭ n))) in Hletin;
 151         simplify; intros; [destruct H6] assumption;
 152     |2: destruct H; cases f in len_bases_gt_O_f H2 H3; clear H1; simplify; intros;
 153         [cases (not_le_Sn_O ? H)] lapply (H1 n); [2: apply le_S; assumption]
 154         unfold P in Hletin; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (b::l) ▭ n))) in Hletin;
 155         simplify; intros; [destruct H4] assumption;]]
 156 qed.
 157
 158 lemma bars_begin_lt_Qpos : ∀q,r. nth_base (bars q) O<Qpos r.
 159 intros; rewrite > bars_begin_OQ; apply q_pos_OQ;
 160 qed.
 161
 162 lemma value : q_f → ratio → ℚ × ℚ.
 163 intros; cases (value_lemma (bars q) ?? r);
 164 [ apply bars_sorted.
 165 | apply len_bases_gt_O;
 166 | apply w;
 167 | apply bars_begin_lt_Qpos;]
 168 qed.
 169
 170 alias symbol "lt" (instance 5) = "natural 'less than'".
 171 alias symbol "lt" (instance 4) = "Q less than".
 172 lemma value_simpl:
 173  ∀f:list bar.sorted q2_lt f → O < (length bar f) →
 174   ∀i:ratio.nth_base f O  < Qpos i → ℚ × ℚ.
 175 intros; cases (value_lemma f H H1 i H2); assumption;
 176 qed.
 177
 178 lemma cases_value : ∀f,i. value_spec (bars f) (Qpos i) (value f i).
 179 intros; unfold value;
 180 cases (value_lemma (bars f) (bars_sorted f) (len_bases_gt_O f) i (bars_begin_lt_Qpos f i));
 181 assumption;
 182 qed.
 183
 184 lemma cases_value_simpl :
 185  ∀f,H1,H2,i,Hi.value_spec f (Qpos i) (value_simpl f H1 H2 i Hi).
 186 intros; unfold value_simpl; cases (value_lemma f H1 H2 i Hi);
 187 assumption;
 188 qed.
 189
 190 definition same_values ≝ λl1,l2:q_f.∀input. value l1 input = value l2 input.
 191 definition same_values_simpl ≝
 192   λl1,l2:list bar.∀H1,H2,H3,H4,input,Hi1,Hi2.
 193    value_simpl l1 H1 H2 input Hi1 = value_simpl l2 H3 H4 input Hi2.
 194
 195 lemma value_head :
 196  ∀x,y,l,H1,H2,i,H3.
 197     Qpos i ≤ \fst x → value_simpl (y::x::l) H1 H2 i H3  = \snd y.
 198 intros; cases (cases_value_simpl ? H1 H2 i H3);
 199 cases j in H4 H5 H6 H7 H8 (j); simplify; intros;
 200 [1: symmetry; assumption;
 201 |2: cases (?:False); cases j in H4 H5 H6 H7 H8; intros;
 202     [1: lapply (q_le_lt_trans ??? H H5) as K;cases (q_lt_corefl ? K);
 203     |2: lapply (H7 1); [2: do 2 apply le_S_S; apply le_O_n;]
 204         simplify in Hletin;
 205         lapply (q_le_lt_trans ??? H Hletin) as K;cases (q_lt_corefl ? K);]]
 206 qed.
 207
 208 lemma same_values_simpl_to_same_values:
 209   ∀b1,b2,Hs1,Hs2,Hb1,Hb2,He1,He2,input.
 210    same_values_simpl b1 b2 →
 211    value (mk_q_f b1 Hs1 Hb1 He1) input =
 212    value (mk_q_f b2 Hs2 Hb2 He2) input.
 213 intros;
 214 lapply (len_bases_gt_O (mk_q_f b1 Hs1 Hb1 He1));
 215 lapply (len_bases_gt_O (mk_q_f b2 Hs2 Hb2 He2));
 216 lapply (H ???? input) as K; try assumption;
 217 [2: rewrite > Hb1; apply q_pos_OQ;
 218 |3: rewrite > Hb2; apply q_pos_OQ;
 219 |1: apply K;]
 220 qed.
 221
 222 include "russell_support.ma".
 223
 224 lemma value_tail :
 225  ∀x,y,l,H1,H2,i,H3.
 226     \fst x < Qpos i →
 227       value_simpl (y::x::l) H1 H2 i H3  =
 228       value_simpl (x::l) ?? i ?.
 229 [1: apply hide; apply (sorted_tail q2_lt); [apply y| assumption]
 230 |2: apply hide; simplify; apply le_S_S; apply le_O_n;
 231 |3: apply hide; assumption;]
 232 intros;cases (cases_value_simpl ? H1 H2 i H3);
 233 generalize in ⊢ (? ? ? (? ? % ? ? ?)); intro;
 234 generalize in ⊢ (? ? ? (? ? ? % ? ?)); intro;
 235 generalize in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? %)); intro;
 236 cases (cases_value_simpl (x::l) H9 H10 i H11);
 237 cut (j = S j1) as E; [ destruct E; destruct H12; reflexivity;]
 238 clear H12 H4; cases j in H8 H5 H6 H7;
 239 [1: intros;cases (?:False); lapply (H7 1 (le_n ?)); [2: simplify; do 2 apply le_S_S; apply le_O_n]
 240     simplify in Hletin; apply (q_lt_corefl (\fst x));
 241     apply (q_lt_le_trans ??? H Hletin);
 242 |2: simplify; intros; clear q q1 j H11 H10 H1 H2; simplify in H3 H14; apply eq_f;
 243     cases (cmp_nat n j1); [cases (cmp_nat j1 n);[apply le_to_le_to_eq; assumption]]
 244     [1: clear H1; cases (?:False);
 245         lapply (H7 (S j1)); [2: cases j1 in H2; intros[cases (not_le_Sn_O ? H1)] apply le_S_S; assumption]
 246         [2: apply le_S_S; assumption;] simplify in Hletin;
 247         apply (q_lt_corefl ? (q_le_lt_trans ??? Hletin H13));
 248     |2: cases (?:False);
 249         lapply (H16 n); [2: assumption|3:simplify; apply le_S_S_to_le; assumption]
 250         apply (q_lt_corefl ? (q_le_lt_trans ??? Hletin H4));]]
 251 qed.
 252
 253 definition same_bases ≝ λl1,l2:list bar. ∀i.\fst (\nth l1 ▭ i) = \fst (\nth l2 ▭ i).
 254
 255 lemma same_bases_cons: ∀a,b,l1,l2.
 256   same_bases l1 l2 → \fst a = \fst b → same_bases (a::l1) (b::l2).
 257 intros; intro; cases i; simplify; [assumption;] apply (H n);
 258 qed.
 259
 260 alias symbol "lt" = "Q less than".
 261 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 262 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 263 cases (?:False);
 264 [ apply (q_lt_corefl ? H)| cases (q_lt_le_incompat ?? (q_neg_gt ?) (q_lt_to_le ?? H))]
 265 qed.
 266
 267 notation < "x \blacksquare" non associative with precedence 50 for @{'unpos $x}.
 268 interpretation "hide unpos proof" 'unpos x = (unpos x _).
 269