helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_support.ma".
  17 include "models/list_support.ma".
  18 include "cprop_connectives.ma".
  19
  20 definition bar ≝ ℚ × ℚ.
  21
  22 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  23 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  24
  25 definition empty_bar : bar ≝ 〈Qpos one,OQ〉.
  26 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  27 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  28
  29 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  30 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  31
  32 inductive sorted : list bar → Prop ≝
  33 | sorted_nil : sorted []
  34 | sorted_one : ∀x. sorted [x]
  35 | sorted_cons : ∀x,y,tl. \fst x < \fst y → sorted (y::tl) → sorted (x::y::tl).
  36
  37 definition nth_base ≝ λf,n. \fst (nth f ▭ n).
  38 definition nth_height ≝ λf,n. \snd (nth f ▭ n).
  39
  40 record q_f : Type ≝ {
  41  bars: list bar;
  42  bars_sorted : sorted bars;
  43  bars_begin_OQ : nth_base bars O = OQ;
  44  bars_tail_OQ : nth_height bars (pred (len bars)) = OQ
  45 }.
  46
  47 lemma nth_nil: ∀T,i.∀def:T. nth [] def i = def.
  48 intros; elim i; simplify; [reflexivity;] assumption; qed.
  49
  50 inductive non_empty_list (A:Type) : list A → Type :=
  51 | show_head: ∀x,l. non_empty_list A (x::l).
  52
  53 lemma bars_not_nil: ∀f:q_f.non_empty_list ? (bars f).
  54 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); cases (bars f);
  55 [1: intro X; normalize in X; destruct X;
  56 |2: intros; constructor 1;]
  57 qed.
  58
  59 lemma sorted_tail: ∀x,l.sorted (x::l) → sorted l.
  60 intros; inversion H; intros; [destruct H1;|destruct H1;constructor 1;]
  61 destruct H4; assumption;
  62 qed.
  63
  64 lemma sorted_skip: ∀x,y,l. sorted (x::y::l) → sorted (x::l).
  65 intros; inversion H; intros; [1,2: destruct H1]
  66 destruct H4; inversion H2; intros; [destruct H4]
  67 [1: destruct H4; constructor 2;
  68 |2: destruct H7; constructor 3; [apply (q_lt_trans ??? H1 H4);]
  69     apply (sorted_tail ?? H2);]
  70 qed.
  71
  72 lemma sorted_tail_bigger : ∀x,l.sorted (x::l) → ∀i. i < len l → \fst x < nth_base l i.
  73 intros 2; elim l; [ cases (not_le_Sn_O i H1);]
  74 cases i in H2;
  75 [2: intros; apply (H ? n);[apply (sorted_skip ??? H1)|apply le_S_S_to_le; apply H2]
  76 |1: intros; inversion H1; intros; [1,2: destruct H3]
  77     destruct H6; simplify; assumption;]
  78 qed.
  79
  80 lemma all_bases_positive : ∀f:q_f.∀i. OQ < nth_base (bars f) (S i).
  81 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
  82 cases (bars_not_nil f); intros;
  83 cases (cmp_nat i (len l));
  84 [1: lapply (sorted_tail_bigger ?? H ? H2) as K; simplify in H1;
  85     rewrite > H1 in K; apply K;
  86 |2: rewrite > H2; simplify; elim l; simplify; [apply (q_pos_OQ one)]
  87     assumption;
  88 |3: simplify; elim l in i H2;[simplify; rewrite > nth_nil; apply (q_pos_OQ one)]
  89     cases n in H3; intros; [cases (not_le_Sn_O ? H3)] apply (H2 n1);
  90     apply (le_S_S_to_le ?? H3);]
  91 qed.
  92
  93 definition eject_NxQ ≝
  94   λP.λp:∃x:nat × ℚ.P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  95 coercion eject_NxQ.
  96 definition inject_NxQ ≝ λP.λp:nat × ℚ.λh:P p. ex_introT ? P p h.
  97 coercion inject_NxQ with 0 1 nocomposites.
  98
  99 definition value_spec : q_f → ℚ → nat × ℚ → Prop ≝
 100   λf,i,q. nth_height (bars f) (\fst q) = \snd q ∧
 101         (nth_base (bars f) (\fst q)  < i ∧
 102          ∀n.\fst q < n → n < len (bars f) → i ≤ nth_base (bars f) n).
 103
 104 definition value :  ∀f:q_f.∀i:ratio.∃p:ℚ.∃j.value_spec f (Qpos i) 〈j,p〉.
 105 intros;
 106 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 107 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 108 alias symbol "lt" (instance 6) = "Q less than".
 109 alias symbol "leq" = "Q less or equal than".
 110 letin value_spec_aux ≝ (
 111   λf,i,q.
 112    \snd q = nth_height f (\fst q) ∧
 113     (nth_base f (\fst q) < i ∧ ∀n.(\fst q) < n → n < len f → i ≤ nth_base f n));
 114 alias symbol "lt" (instance 5) = "Q less than".
 115 letin value ≝ (
 116   let rec value (acc: nat × ℚ) (l : list bar) on l : nat × ℚ ≝
 117     match l with
 118     [ nil ⇒ acc
 119     | cons x tl ⇒
 120         match q_cmp (\fst x) (Qpos i) with
 121         [ q_leq _ ⇒ value 〈S (\fst acc), \snd x〉 tl
 122         | q_gt _ ⇒ acc]]
 123   in value :
 124   ∀acc,l.∃p:nat × ℚ.
 125     ∀story. story @ l = bars f →
 126     value_spec_aux story (Qpos i) acc →
 127     value_spec_aux l (Qpos i) p);
 128 [4: clearbody value;  unfold value_spec;
 129     generalize in match (bars_begin_OQ f);
 130     generalize in match (bars_sorted f);
 131     cases (bars_not_nil f) in value; intros (value S); generalize in match (sorted_tail_bigger ?? S);
 132     clear S; cases (value 〈O,\snd x〉 l) (p Hp); intros;
 133     exists[apply (\snd p)];exists [apply (S (\fst p))] simplify;
 134     cases (Hp [x] (refl_eq ??) ?) (Hg HV);
 135     [unfold; split[reflexivity]simplify;split;
 136       [rewrite > H;apply q_pos_OQ;
 137       |intros; cases n in H2 H3; [intro X; cases (not_le_Sn_O ? X)]
 138        intros; cases (not_le_Sn_O ? (le_S_S_to_le ?? H3))]]
 139     split;[rewrite > Hg; reflexivity]split; cases HV; [assumption;]
 140     intros; cases n in H4 H5; intros [cases (not_le_Sn_O ? H4)]
 141     apply (H3 n1);apply le_S_S_to_le; assumption;
 142 |1: unfold value_spec_aux; clear value value_spec_aux H2;intros; split[2:split]
 143     [1: apply (q_lt_le_trans ??? (H4 (\fst p))); clear H4 H5;
 144
 145 [5: clearbody value;
 146     cases (q_cmp i (start f));
 147     [2: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 1; split; try assumption;
 148         try reflexivity; apply q_lt_to_le; assumption;
 149     |1: cases (bars f); [exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 3; split;try assumption;reflexivity;]
 150         cases (value ⅆ[i,start f] (b::l)) (p Hp);
 151         cases (Hp (q_dist_ge_OQ ? ?)); clear Hp value; [cases H1; destruct H2]
 152         cases H1; clear H1; lapply (sum_bases_O (b::l) (\fst p)) as H1;
 153         [2: apply (q_le_trans ??? H2); rewrite > H; apply q_eq_to_le;
 154             rewrite > q_d_x_x; reflexivity;
 155         |1: exists [apply p] simplify; constructor 4; rewrite > H1; split;
 156             try split; try rewrite > q_d_x_x; try autobatch depth=2;
 157             [1: rewrite > H; rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_plus;
 158                 rewrite > q_plus_minus; apply q_lt_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
 159                 apply q_pos_lt_OQ;
 160             |2: rewrite > H; rewrite > q_d_x_x; apply q_eq_to_le; reflexivity;
 161             |3: rewrite > H; rewrite > q_d_x_x; apply q_lt_plus_trans;
 162                 try apply sum_bases_ge_OQ; apply q_pos_lt_OQ;]]
 163     |3: cases (q_cmp i (start f+sum_bases (bars f) (len (bars f))));
 164         [1: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 2; split; try assumption;
 165             try reflexivity; rewrite > H1; apply q_eq_to_le; reflexivity;
 166         |3: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 2; split; try assumption;
 167             try reflexivity; apply q_lt_to_le; assumption;
 168         |2: generalize in match (refl_eq ? (bars f): bars f = bars f);
 169             generalize in match (bars f) in ⊢ (??? % → %); intro X; cases X; clear X;
 170             intros;
 171             [1: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 3; split; reflexivity;
 172             |2: cases (value ⅆ[i,start f] (b::l)) (p Hp);
 173                 cases (Hp (q_dist_ge_OQ ? ?)); clear Hp value; [cases H3;destruct H4]
 174                 cases H3; clear H3;
 175                 exists [apply p]; constructor 4; split; try split; try assumption;
 176                 [1: intro X; destruct X;
 177                 |2: apply q_lt_to_le; assumption;
 178                 |3: rewrite < H2; assumption;
 179                 |4: cases (cmp_nat (\fst p) (len (bars f)));
 180                     [1:apply lt_to_le;rewrite <H2; assumption|rewrite > H3;rewrite < H2;apply le_n]
 181                     cases (?:False); cases (\fst p) in H3 H4 H6; clear H5;
 182                     [1: intros; apply (not_le_Sn_O ? H5);
 183                     |2: rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 184                         intros; lapply (q_lt_inj_plus_r ?? (Qopp (start f)) H1); clear H1;
 185                         generalize in match Hletin;
 186                         rewrite > (q_plus_sym (start f)); rewrite < q_plus_assoc;
 187                         do 2 rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus;
 188                         rewrite > q_plus_OQ; intro K; apply (q_lt_corefl (i-start f));
 189                         apply (q_lt_le_trans ???? H3); rewrite < H2;
 190                         apply (q_lt_trans ??? K); apply sum_bases_increasing;
 191                         assumption;]]]]]
 192 |1,3: intros; right; split;
 193      [1,4: clear H2; cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1);
 194            cases (H2 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 195            [1: intro; apply q_lt_to_le;assumption;
 196            |3: simplify; cases H4; apply q_le_minus; assumption;
 197            |2,5: simplify; cases H4; rewrite > H5; rewrite > H6;
 198                  apply q_le_minus; apply sum_bases_empty_nat_of_q_le_q;
 199            |4: intro X; rewrite > X; apply q_eq_to_le; reflexivity;
 200            |*: simplify; apply q_le_minus; cases H4; assumption;]
 201     |2,5: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1);
 202           cases (H4 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 203           [1,4: intros; [apply q_lt_to_le|apply q_eq_to_le;symmetry] assumption;
 204           |3,6: cases H5; simplify; change with (q < sum_bases l1 (S (\fst w)) + Qpos (\fst b));
 205                 apply q_lt_plus; assumption;
 206           |2,5: simplify; cases H5; rewrite > H6; simplify; rewrite > H7;
 207                 apply q_lt_plus; apply sum_bases_empty_nat_of_q_le_q_one;]
 208     |*: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1); simplify;
 209         cases (H4 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 210         [1,4: intros; [apply q_lt_to_le|apply q_eq_to_le;symmetry] assumption;
 211         |3,6: cases H5; assumption;
 212         |*: cases H5; rewrite > H6; rewrite > H8;
 213             elim (\fst w); [1,3:reflexivity;] simplify; assumption;]]
 214 |2: clear value H2; simplify; intros; right; split; [assumption|3:reflexivity]
 215     rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption;
 216 |4: intros; left; split; reflexivity;]
 217 qed.
 218
 219 lemma value_OQ_l:
 220   ∀l,i.i < start l → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 221 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 222 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (q_lt_le_incompat ?? H H6);
 223 qed.
 224
 225 lemma value_OQ_r:
 226   ∀l,i.start l + sum_bases (bars l) (len (bars l)) ≤ i → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 227 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 228 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (q_lt_le_incompat ?? H7 H);
 229 qed.
 230
 231 lemma value_OQ_e:
 232   ∀l,i.bars l = [] → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 233 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 234 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (H1 H);
 235 qed.
 236
 237 inductive value_ok_spec (f : q_f) (i : ℚ) : nat × ℚ → Type ≝
 238  | value_ok : ∀n,q. n ≤ (len (bars f)) →
 239       q = \snd (nth (bars f) ▭ n) →
 240       sum_bases (bars f) n ≤ ⅆ[i,start f] →
 241            ⅆ[i, start f] < sum_bases (bars f) (S n) → value_ok_spec f i 〈n,q〉.
 242
 243 lemma value_ok:
 244   ∀f,i.bars f ≠ [] → start f ≤ i → i < start f + sum_bases (bars f) (len (bars f)) →
 245     value_ok_spec f i (\fst (value f i)).
 246 intros; cases (value f i); simplify;
 247 cases H3; simplify; clear H3; cases H4; clear H4;
 248 [1,2,3: cases (?:False);
 249   [1: apply (q_lt_le_incompat ?? H3 H1);
 250   |2: apply (q_lt_le_incompat ?? H2 H3);
 251   |3: apply (H H3);]
 252 |4: cases H7; clear H7; cases w in H3 H4 H5 H6 H8; simplify; intros;
 253     constructor 1; assumption;]
 254 qed.
 255
 256 definition same_values ≝
 257   λl1,l2:q_f.
 258    ∀input.\snd (\fst (value l1 input)) = \snd (\fst (value l2 input)).
 259
 260 definition same_bases ≝
 261   λl1,l2:list bar. (∀i.\fst (nth l1 ▭ i) = \fst (nth l2 ▭ i)).
 262
 263 alias symbol "lt" = "Q less than".
 264 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 265 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 266 cases (?:False);
 267 [ apply (q_lt_corefl ? H)|apply (q_neg_gt ? H)]
 268 qed.
 269
 270 notation < "x \blacksquare" non associative with precedence 50 for @{'unpos $x}.
 271 interpretation "hide unpos proof" 'unpos x = (unpos x _).
 272