helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_support.ma".
  17 include "models/list_support.ma".
  18 include "logic/cprop_connectives.ma".
  19
  20 definition bar ≝ ℚ × (ℚ × ℚ).
  21
  22 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  23 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  24
  25 definition empty_bar : bar ≝ 〈Qpos one,〈OQ,OQ〉〉.
  26 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  27 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  28
  29 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  30 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  31
  32 definition q2_lt := mk_rel bar (λx,y:bar.\fst x < \fst y).
  33
  34 interpretation "bar lt" 'lt x y = (rel_op _ q2_lt x y).
  35
  36 lemma q2_trans : ∀a,b,c:bar. a < b → b < c → a < c.
  37 intros 3; cases a; cases b; cases c; unfold q2_lt; simplify; intros;
  38 apply (q_lt_trans ??? H H1);
  39 qed.
  40
  41 definition q2_trel := mk_trans_rel bar q2_lt q2_trans.
  42
  43 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel q2_trel x y).
  44
  45 definition canonical_q_lt : rel bar → trans_rel ≝ λx:rel bar.q2_trel.
  46
  47 coercion canonical_q_lt with nocomposites.
  48
  49 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel (canonical_q_lt _) x y).
  50
  51 definition nth_base ≝ λf,n. \fst (\nth f ▭ n).
  52 definition nth_height ≝ λf,n. \snd (\nth f ▭ n).
  53
  54 record q_f : Type ≝ {
  55  bars: list bar;
  56  bars_sorted : sorted q2_lt bars;
  57  bars_begin_OQ : nth_base bars O = OQ;
  58  bars_end_OQ : nth_height bars (pred (\len bars)) = 〈OQ,OQ〉
  59 }.
  60
  61 lemma len_bases_gt_O: ∀f.O < \len (bars f).
  62 intros; generalize in match (bars_begin_OQ f); cases (bars f); intros;
  63 [2: simplify; apply le_S_S; apply le_O_n;
  64 |1: normalize in H; destruct H;]
  65 qed.
  66
  67 lemma all_bases_positive : ∀f:q_f.∀i. OQ < nth_base (bars f) (S i).
  68 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
  69 cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); intros;
  70 cases (cmp_nat (\len l) i);
  71 [2: lapply (sorted_tail_bigger q2_lt ?? ▭ H ? H2) as K;
  72     simplify in H1; rewrite < H1; apply K;
  73 |1: simplify; elim l in i H2;[simplify; rewrite > nth_nil; apply (q_pos_OQ one)]
  74     cases n in H3; intros; [simplify in H3; cases (not_le_Sn_O ? H3)]
  75     apply (H2 n1); simplify in H3; apply (le_S_S_to_le ?? H3);]
  76 qed.
  77
  78 coinductive value_spec (f : q_f) (i : ℚ) : ℚ × ℚ → CProp ≝
  79 | value_of : ∀j,q.
  80     nth_height (bars f) j = q →  nth_base (bars f) j < i →
  81     (∀n.j < n → n < \len (bars f) → i ≤ nth_base (bars f) n) → value_spec f i q.
  82
  83 definition value_lemma :  ∀f:q_f.∀i:ratio.∃p:ℚ×ℚ.value_spec f (Qpos i) p.
  84 intros;
  85 letin P ≝
  86   (λx:bar.match q_cmp (Qpos i) (\fst x) with[ q_leq _ ⇒ true| q_gt _ ⇒ false]);
  87 exists [apply (nth_height (bars f) (pred (find ? P (bars f) ▭)));]
  88 apply (value_of ?? (pred (find ? P (bars f) ▭)));
  89 [1: reflexivity
  90 |2: cases (cases_find bar P (bars f) ▭);
  91     [1: cases i1 in H H1 H2 H3; simplify; intros;
  92         [1: generalize in match (bars_begin_OQ f);
  93             cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); simplify; intros;
  94             rewrite > H4; apply q_pos_OQ;
  95         |2: cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)) in H3;
  96             intros; lapply (H3 n (le_n ?)) as K; unfold P in K;
  97             cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ n))) in K;
  98             simplify; intros; [destruct H5] assumption]
  99     |2: destruct H; cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)) in H2;
 100         simplify; intros; lapply (H (\len l) (le_n ?)) as K; clear H;
 101         unfold P in K; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ (\len l)))) in K;
 102         simplify; intros; [destruct H2] assumption;]
 103 |3: intro; cases (cases_find bar P (bars f) ▭); intros;
 104     [1: generalize in match (bars_sorted f);
 105         cases (list_break ??? H) in H1; rewrite > H6;
 106         rewrite < H1; simplify; rewrite > nth_len; unfold P;
 107         cases (q_cmp (Qpos i) (\fst x)); simplify;
 108         intros (X Hs); [2: destruct X] clear X;
 109         cases (sorted_pivot q2_lt ??? ▭ Hs);
 110         cut (\len l1 ≤ n) as Hn; [2:
 111           rewrite > H1;  cases i1 in H4; simplify; intro X; [2: assumption]
 112           apply lt_to_le; assumption;]
 113         unfold nth_base; rewrite > (nth_append_ge_len ????? Hn);
 114         cut (n - \len l1 < \len (x::l2)) as K; [2:
 115           simplify; rewrite > H1; rewrite > (?:\len l2 = \len (bars f) - \len (l1 @ [x]));[2:
 116             rewrite > H6; repeat rewrite > len_append; simplify;
 117             repeat rewrite < plus_n_Sm; rewrite < plus_n_O; simplify;
 118             rewrite > sym_plus; rewrite < minus_plus_m_m; reflexivity;]
 119           rewrite > len_append; rewrite > H1; simplify; rewrite < plus_n_SO;
 120           apply le_S_S; clear H1 H6 H7 Hs H8 H9 Hn x l2 l1 H4 H3 H2 H P i;
 121           elim (\len (bars f)) in i1 n H5; [cases (not_le_Sn_O ? H);]
 122           simplify; cases n2; [ repeat rewrite < minus_n_O; apply le_S_S_to_le; assumption]
 123           cases n1 in H1; [intros; rewrite > eq_minus_n_m_O; apply le_O_n]
 124           intros; simplify; apply H; apply le_S_S_to_le; assumption;]
 125         cases (n - \len l1) in K; simplify; intros; [ assumption]
 126         lapply (H9 ? (le_S_S_to_le ?? H10)) as W; apply (q_le_trans ??? H7);
 127         apply q_lt_to_le; apply W;
 128     |2: cases (not_le_Sn_n i1); rewrite > H in ⊢ (??%);
 129         apply (trans_le ??? ? H4); cases i1 in H3; intros; apply le_S_S;
 130         [ apply le_O_n; | assumption]]]
 131 qed.
 132
 133 lemma value : q_f → ratio → ℚ × ℚ.
 134 intros; cases (value_lemma q r); apply w; qed.
 135
 136 lemma cases_value : ∀f,i. value_spec f (Qpos i) (value f i).
 137 intros; unfold value; cases (value_lemma f i); assumption; qed.
 138
 139 definition same_values ≝ λl1,l2:q_f.∀input. value l1 input = value l2 input.
 140
 141 definition same_bases ≝ λl1,l2:list bar. ∀i.\fst (\nth l1 ▭ i) = \fst (\nth l2 ▭ i).
 142
 143 alias symbol "lt" = "Q less than".
 144 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 145 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 146 cases (?:False);
 147 [ apply (q_lt_corefl ? H)| cases (q_lt_le_incompat ?? (q_neg_gt ?) (q_lt_to_le ?? H))]
 148 qed.
 149
 150 notation < "x \blacksquare" non associative with precedence 50 for @{'unpos $x}.
 151 interpretation "hide unpos proof" 'unpos x = (unpos x _).
 152