helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_bars.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_support.ma".
  17 include "models/list_support.ma".
  18 include "cprop_connectives.ma".
  19
  20 definition bar ≝ ℚ × ℚ.
  21
  22 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  23 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  24
  25 definition empty_bar : bar ≝ 〈Qpos one,OQ〉.
  26 notation "\rect" with precedence 90 for @{'empty_bar}.
  27 interpretation "q0" 'empty_bar = empty_bar.
  28
  29 notation < "\ldots\rect\square\EmptySmallSquare\ldots" with precedence 90 for @{'lq2}.
  30 interpretation "lq2" 'lq2 = (list bar).
  31
  32 definition q2_lt := mk_rel bar (λx,y:bar.\fst x < \fst y).
  33
  34 interpretation "bar lt" 'lt x y = (rel_op _ q2_lt x y).
  35
  36 lemma q2_trans : ∀a,b,c:bar. a < b → b < c → a < c.
  37 intros 3; cases a; cases b; cases c; unfold q2_lt; simplify; intros;
  38 apply (q_lt_trans ??? H H1);
  39 qed.
  40
  41 definition q2_trel := mk_trans_rel bar q2_lt q2_trans.
  42
  43 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel q2_trel x y).
  44
  45 definition canonical_q_lt : rel bar → trans_rel ≝ λx:rel bar.q2_trel.
  46
  47 coercion canonical_q_lt with nocomposites.
  48
  49 interpretation "bar lt" 'lt x y = (FunClass_2_OF_trans_rel (canonical_q_lt _) x y).
  50
  51 definition nth_base ≝ λf,n. \fst (\nth f ▭ n).
  52 definition nth_height ≝ λf,n. \snd (\nth f ▭ n).
  53
  54 record q_f : Type ≝ {
  55  bars: list bar;
  56  bars_sorted : sorted q2_lt bars;
  57  bars_begin_OQ : nth_base bars O = OQ;
  58  bars_end_OQ : nth_height bars (pred (\len bars)) = OQ
  59 }.
  60
  61 lemma len_bases_gt_O: ∀f.O < \len (bars f).
  62 intros; generalize in match (bars_begin_OQ f); cases (bars f); intros;
  63 [2: simplify; apply le_S_S; apply le_O_n;
  64 |1: normalize in H; destruct H;]
  65 qed.
  66
  67 lemma all_bases_positive : ∀f:q_f.∀i. OQ < nth_base (bars f) (S i).
  68 intro f; generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
  69 cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); intros;
  70 cases (cmp_nat (\len l) i);
  71 [2: lapply (sorted_tail_bigger q2_lt ?? ▭ H ? H2) as K;
  72     simplify in H1; rewrite < H1; apply K;
  73 |1: simplify; elim l in i H2;[simplify; rewrite > nth_nil; apply (q_pos_OQ one)]
  74     cases n in H3; intros; [simplify in H3; cases (not_le_Sn_O ? H3)]
  75     apply (H2 n1); simplify in H3; apply (le_S_S_to_le ?? H3);]
  76 qed.
  77
  78 (*
  79 lemma lt_n_plus_n_Sm : ∀n,m:nat.n < n + S m.
  80 intros; rewrite > sym_plus; apply (le_S_S n (m+n)); apply (le_plus_n m n); qed.
  81 *)
  82
  83 (*
  84 lemma all_bigger_can_concat_bigger:
  85    ∀l1,l2,start,b,x,n.
  86     (∀i.i< len l1 → nth_base l1 i < \fst b) →
  87     (∀i.i< len l2 → \fst b ≤ nth_base l2 i) →
  88     (∀i.i< len l1 → start ≤ i → x ≤ nth_base l1 i) →
  89     start ≤ n → n < len (l1@b::l2) → x ≤ \fst b → x ≤ nth_base (l1@b::l2) n.
  90 intros; cases (cmp_nat n (len l1));
  91 [1: unfold nth_base;  rewrite > (nth_concat_lt_len ????? H6);
  92     apply (H2 n); assumption;
  93 |2: rewrite > H6; unfold nth_base; rewrite > nth_len; assumption;
  94 |3: unfold nth_base; rewrite > nth_concat_ge_len; [2: apply lt_to_le; assumption]
  95     rewrite > len_concat in H4; simplify in H4; rewrite < plus_n_Sm in H4;
  96     lapply linear le_S_S_to_le to H4 as K; rewrite > sym_plus in K;
  97     lapply linear le_plus_to_minus to K as X;
  98     generalize in match X; generalize in match (n - len l1); intro W; cases W; clear W X;
  99     [intros; assumption] intros;
 100     apply (q_le_trans ??? H5); apply (H1 n1); assumption;]
 101 qed.
 102 *)
 103
 104
 105 inductive value_spec (f : q_f) (i : ℚ) : ℚ → nat → CProp ≝
 106  value_of : ∀q,j.
 107    nth_height (bars f) j = q →
 108    nth_base (bars f) j < i →
 109    (∀n.j < n → n < \len (bars f) → i ≤ nth_base (bars f) n) → value_spec f i q j.
 110
 111
 112 definition value :  ∀f:q_f.∀i:ratio.∃p:ℚ.∃j.value_spec f (Qpos i) p j.
 113 intros; letin P ≝ (λx:bar.match q_cmp (Qpos i) (\fst x) with
 114   [ q_leq _ ⇒ true
 115   | q_gt _ ⇒ false]);
 116 exists [apply (nth_height (bars f) (pred (find ? P (bars f) ▭)));]
 117 exists [apply (pred (find ? P (bars f) ▭))] apply value_of;
 118 [1: reflexivity
 119 |2: cases (cases_find bar P (bars f) ▭);
 120     [1: cases i1 in H H1 H2 H3; simplify; intros;
 121         [1: generalize in match (bars_begin_OQ f);
 122             cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); simplify; intros;
 123             rewrite > H4; apply q_pos_OQ;
 124         |2: cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)) in H3;
 125             intros; lapply (H3 n (le_n ?)) as K; unfold P in K;
 126             cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ n))) in K;
 127             simplify; intros; [destruct H5] assumption]
 128     |2: destruct H; cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)) in H2;
 129         simplify; intros; lapply (H (\len l) (le_n ?)) as K; clear H;
 130         unfold P in K; cases (q_cmp (Qpos i) (\fst (\nth (x::l) ▭ (\len l)))) in K;
 131         simplify; intros; [destruct H2] assumption;]
 132 |3: intro; cases (cases_find bar P (bars f) ▭); intros;
 133     [1:
 134
 135 generalize in match (bars_begin_OQ f); generalize in match (bars_sorted f);
 136 generalize in match (bars_end_OQ f);
 137 cases (len_gt_non_empty ?? (len_bases_gt_O f)); simplify;
 138 intros;
 139 [1:
 140
 141
 142 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 143 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 144 alias symbol "lt" (instance 7) = "Q less than".
 145 alias symbol "leq" = "Q less or equal than".
 146 letin value_spec_aux ≝ (
 147   λf,i,q. And4
 148     (\fst q < len f)
 149     (\snd q = nth_height f (\fst q))
 150     (nth_base f (\fst q) < i)
 151     (∀n.(\fst q) < n → n < len f → i ≤ nth_base f n));
 152 alias symbol "lt" (instance 5) = "Q less than".
 153 letin value ≝ (
 154   let rec value (acc: nat × ℚ) (l : list bar) on l : nat × ℚ ≝
 155     match l with
 156     [ nil ⇒ acc
 157     | cons x tl ⇒
 158         match q_cmp (\fst x) (Qpos i) with
 159         [ q_leq _ ⇒ value 〈S (\fst acc), \snd x〉 tl
 160         | q_gt _ ⇒ acc]]
 161   in value :
 162   ∀acc,l.∃p:nat × ℚ.
 163     ∀story. story @ l = bars f → S (\fst acc) = len story →
 164     value_spec_aux story (Qpos i) acc →
 165     value_spec_aux (story @ l) (Qpos i) p);
 166 [4: clearbody value;  unfold value_spec;
 167     generalize in match (bars_begin_OQ f);
 168     generalize in match (bars_sorted f);
 169     cases (bars_not_nil f) in value; intros (value S); generalize in match (sorted_tail_bigger ?? S);
 170     clear S; cases (value 〈O,\snd x〉 l) (p Hp); intros;
 171     exists[apply (\snd p)];exists [apply (\fst p)] simplify;
 172     cases (Hp [x] (refl_eq ??) (refl_eq ??) ?) (Hg HV);
 173     [unfold; split; [apply le_n|reflexivity|rewrite > H; apply q_pos_OQ;]
 174      intros; cases n in H2 H3; [intro X; cases (not_le_Sn_O ? X)]
 175      intros; cases (not_le_Sn_O ? (le_S_S_to_le (S n1) O H3))]
 176     split;[rewrite > HV; reflexivity] split; [assumption;]
 177     intros; cases n in H4 H5; intros [cases (not_le_Sn_O ? H4)]
 178     apply (H3 (S n1)); assumption;
 179 |1: unfold value_spec_aux; clear value value_spec_aux H2; intros;
 180     cases H4; clear H4; split;
 181     [1: apply (trans_lt ??? H5); rewrite > len_concat; simplify; apply lt_n_plus_n_Sm;
 182     |2: unfold nth_height; rewrite > nth_concat_lt_len;[2:assumption]assumption;
 183     |3: unfold nth_base; rewrite > nth_concat_lt_len;[2:assumption]
 184         apply (q_le_lt_trans ???? H7); apply q_le_n;
 185     |4: intros; (*clear H6 H5 H4 H l;*) lapply (bars_sorted f) as HS;
 186         apply (all_bigger_can_concat_bigger story l1 (S (\fst p)));[6:apply q_lt_to_le]try assumption;
 187         [1: rewrite < H2 in HS; cases (sorted_pivot ??? HS); assumption
 188         |2: rewrite < H2 in HS; cases (sorted_pivot ??? HS);
 189             intros; apply q_lt_to_le; apply H11; assumption;
 190         |3: intros; apply H8; assumption;]]
 191 |3: intro; rewrite > append_nil; intros; assumption;
 192 |2: intros; cases (value 〈S (\fst p),\snd b〉 l1); unfold; simplify;
 193     cases (H6 (story@[b]) ???);
 194     [1: rewrite > associative_append; apply H3;
 195     |2: simplify; rewrite > H4; rewrite > len_concat; rewrite > sym_plus; reflexivity;
 196     |4: rewrite < (associative_append ? story [b] l1); split; assumption;
 197     |3: cases H5; clear H5; split; simplify in match (\snd ?); simplify in match (\fst ?);
 198         [1: rewrite > len_concat; simplify; rewrite < plus_n_SO; apply le_S_S; assumption;
 199         |2:
 200         |3:
 201         |4: ]]]
 202
 203
 204
 205
 206
 207
 208
 209
 210
 211
 212 [5: clearbody value;
 213     cases (q_cmp i (start f));
 214     [2: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 1; split; try assumption;
 215         try reflexivity; apply q_lt_to_le; assumption;
 216     |1: cases (bars f); [exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 3; split;try assumption;reflexivity;]
 217         cases (value ⅆ[i,start f] (b::l)) (p Hp);
 218         cases (Hp (q_dist_ge_OQ ? ?)); clear Hp value; [cases H1; destruct H2]
 219         cases H1; clear H1; lapply (sum_bases_O (b::l) (\fst p)) as H1;
 220         [2: apply (q_le_trans ??? H2); rewrite > H; apply q_eq_to_le;
 221             rewrite > q_d_x_x; reflexivity;
 222         |1: exists [apply p] simplify; constructor 4; rewrite > H1; split;
 223             try split; try rewrite > q_d_x_x; try autobatch depth=2;
 224             [1: rewrite > H; rewrite > q_plus_sym; apply q_lt_plus;
 225                 rewrite > q_plus_minus; apply q_lt_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
 226                 apply q_pos_lt_OQ;
 227             |2: rewrite > H; rewrite > q_d_x_x; apply q_eq_to_le; reflexivity;
 228             |3: rewrite > H; rewrite > q_d_x_x; apply q_lt_plus_trans;
 229                 try apply sum_bases_ge_OQ; apply q_pos_lt_OQ;]]
 230     |3: cases (q_cmp i (start f+sum_bases (bars f) (len (bars f))));
 231         [1: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 2; split; try assumption;
 232             try reflexivity; rewrite > H1; apply q_eq_to_le; reflexivity;
 233         |3: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 2; split; try assumption;
 234             try reflexivity; apply q_lt_to_le; assumption;
 235         |2: generalize in match (refl_eq ? (bars f): bars f = bars f);
 236             generalize in match (bars f) in ⊢ (??? % → %); intro X; cases X; clear X;
 237             intros;
 238             [1: exists [apply 〈O,OQ〉] simplify; constructor 3; split; reflexivity;
 239             |2: cases (value ⅆ[i,start f] (b::l)) (p Hp);
 240                 cases (Hp (q_dist_ge_OQ ? ?)); clear Hp value; [cases H3;destruct H4]
 241                 cases H3; clear H3;
 242                 exists [apply p]; constructor 4; split; try split; try assumption;
 243                 [1: intro X; destruct X;
 244                 |2: apply q_lt_to_le; assumption;
 245                 |3: rewrite < H2; assumption;
 246                 |4: cases (cmp_nat (\fst p) (len (bars f)));
 247                     [1:apply lt_to_le;rewrite <H2; assumption|rewrite > H3;rewrite < H2;apply le_n]
 248                     cases (?:False); cases (\fst p) in H3 H4 H6; clear H5;
 249                     [1: intros; apply (not_le_Sn_O ? H5);
 250                     |2: rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 251                         intros; lapply (q_lt_inj_plus_r ?? (Qopp (start f)) H1); clear H1;
 252                         generalize in match Hletin;
 253                         rewrite > (q_plus_sym (start f)); rewrite < q_plus_assoc;
 254                         do 2 rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus;
 255                         rewrite > q_plus_OQ; intro K; apply (q_lt_corefl (i-start f));
 256                         apply (q_lt_le_trans ???? H3); rewrite < H2;
 257                         apply (q_lt_trans ??? K); apply sum_bases_increasing;
 258                         assumption;]]]]]
 259 |1,3: intros; right; split;
 260      [1,4: clear H2; cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1);
 261            cases (H2 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 262            [1: intro; apply q_lt_to_le;assumption;
 263            |3: simplify; cases H4; apply q_le_minus; assumption;
 264            |2,5: simplify; cases H4; rewrite > H5; rewrite > H6;
 265                  apply q_le_minus; apply sum_bases_empty_nat_of_q_le_q;
 266            |4: intro X; rewrite > X; apply q_eq_to_le; reflexivity;
 267            |*: simplify; apply q_le_minus; cases H4; assumption;]
 268     |2,5: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1);
 269           cases (H4 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 270           [1,4: intros; [apply q_lt_to_le|apply q_eq_to_le;symmetry] assumption;
 271           |3,6: cases H5; simplify; change with (q < sum_bases l1 (S (\fst w)) + Qpos (\fst b));
 272                 apply q_lt_plus; assumption;
 273           |2,5: simplify; cases H5; rewrite > H6; simplify; rewrite > H7;
 274                 apply q_lt_plus; apply sum_bases_empty_nat_of_q_le_q_one;]
 275     |*: cases (value (q-Qpos (\fst b)) l1); simplify;
 276         cases (H4 (q_le_to_diff_ge_OQ ?? (? H1)));
 277         [1,4: intros; [apply q_lt_to_le|apply q_eq_to_le;symmetry] assumption;
 278         |3,6: cases H5; assumption;
 279         |*: cases H5; rewrite > H6; rewrite > H8;
 280             elim (\fst w); [1,3:reflexivity;] simplify; assumption;]]
 281 |2: clear value H2; simplify; intros; right; split; [assumption|3:reflexivity]
 282     rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption;
 283 |4: intros; left; split; reflexivity;]
 284 qed.
 285
 286 lemma value_OQ_l:
 287   ∀l,i.i < start l → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 288 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 289 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (q_lt_le_incompat ?? H H6);
 290 qed.
 291
 292 lemma value_OQ_r:
 293   ∀l,i.start l + sum_bases (bars l) (len (bars l)) ≤ i → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 294 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 295 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (q_lt_le_incompat ?? H7 H);
 296 qed.
 297
 298 lemma value_OQ_e:
 299   ∀l,i.bars l = [] → \snd (\fst (value l i)) = OQ.
 300 intros; cases (value l i) (q Hq); cases Hq; clear Hq; simplify; cases H1; clear H1;
 301 try assumption; cases H2; cases (?:False); apply (H1 H);
 302 qed.
 303
 304 inductive value_ok_spec (f : q_f) (i : ℚ) : nat × ℚ → Type ≝
 305  | value_ok : ∀n,q. n ≤ (len (bars f)) →
 306       q = \snd (nth (bars f) ▭ n) →
 307       sum_bases (bars f) n ≤ ⅆ[i,start f] →
 308            ⅆ[i, start f] < sum_bases (bars f) (S n) → value_ok_spec f i 〈n,q〉.
 309
 310 lemma value_ok:
 311   ∀f,i.bars f ≠ [] → start f ≤ i → i < start f + sum_bases (bars f) (len (bars f)) →
 312     value_ok_spec f i (\fst (value f i)).
 313 intros; cases (value f i); simplify;
 314 cases H3; simplify; clear H3; cases H4; clear H4;
 315 [1,2,3: cases (?:False);
 316   [1: apply (q_lt_le_incompat ?? H3 H1);
 317   |2: apply (q_lt_le_incompat ?? H2 H3);
 318   |3: apply (H H3);]
 319 |4: cases H7; clear H7; cases w in H3 H4 H5 H6 H8; simplify; intros;
 320     constructor 1; assumption;]
 321 qed.
 322
 323 definition same_values ≝
 324   λl1,l2:q_f.
 325    ∀input.\snd (\fst (value l1 input)) = \snd (\fst (value l2 input)).
 326
 327 definition same_bases ≝
 328   λl1,l2:list bar. (∀i.\fst (nth l1 ▭ i) = \fst (nth l2 ▭ i)).
 329
 330 alias symbol "lt" = "Q less than".
 331 lemma unpos: ∀x:ℚ.OQ < x → ∃r:ratio.Qpos r = x.
 332 intro; cases x; intros; [2:exists [apply r] reflexivity]
 333 cases (?:False);
 334 [ apply (q_lt_corefl ? H)|apply (q_neg_gt ? H)]
 335 qed.
 336
 337 notation < "x \blacksquare" non associative with precedence 50 for @{'unpos $x}.
 338 interpretation "hide unpos proof" 'unpos x = (unpos x _).
 339