helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "models/q_bars.ma".
  16
  17 lemma initial_shift_same_values:
  18   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
  19    same_values l1
  20      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
  21 [apply hide; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
  22 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
  23 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
  24 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
  25 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input);
  26 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? %));
  27 cases (q_cmp input (start (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)))) in H3;
  28 whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
  29 [1: intro; cases H4; clear H4; rewrite > H3;
  30     cases (value l1 init); simplify; cases (q_cmp init (start l1)) in H4;
  31     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl init); rewrite > H4 in ⊢ (?? %); apply H;
  32     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym init (start l1)); assumption;
  33     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
  34         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
  35         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
  36         rewrite > (sum_bases_O (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) (\fst w1)); [apply le_n]
  37         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));
  38         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
  39 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  40     cases (q_cmp input (start l1)) in H5; whd in ⊢ (% → ?);
  41     [1: cases (?:False); clear w2 H4 w1 H2 w H1;
  42         apply (q_lt_antisym init (start l1)); [assumption] rewrite < H5; assumption
  43     |2: intros; rewrite > H6; clear H6; rewrite > H4; reflexivity;
  44     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
  45         apply (q_lt_trans ??? H3 H);]
  46 |3: intro; cases H4; clear H4;
  47     cases (value l1 input); simplify; cases (q_cmp input (start l1)) in H4; whd in ⊢ (% → ?);
  48     [1: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
  49         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
  50         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
  51         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
  52           symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O l1 (\fst w2)); [apply le_n]
  53           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x;
  54           apply q_eq_to_le; reflexivity;]
  55         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
  56         cut (ⅆ[input,init] = Qpos w) as E; [2:
  57           rewrite > H2; rewrite < H4; rewrite > q_d_sym;
  58           rewrite > q_d_noabs; [reflexivity] apply q_lt_to_le; assumption;]
  59         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
  60         [1: cases (?:False); clear H5; simplify in H6;
  61             apply (q_lt_corefl ⅆ[input,init]);
  62             rewrite > E in ⊢ (??%); rewrite < q_plus_OQ in ⊢ (??%);
  63             rewrite > q_plus_sym; assumption;
  64         |2: cases n in H5 H6; [intros; reflexivity] intros;
  65             cases (?:False); clear H6; cases (bars l1) in H5; simplify; intros;
  66             [apply (q_pos_OQ one);|apply (q_pos_OQ (\fst b));]
  67             apply (q_le_S ??? (sum_bases_ge_OQ ? n1));[apply []|3:apply l]
  68             simplify in ⊢ (? (? (? % ?) ?) ?); rewrite < (q_plus_minus (Qpos w));
  69             rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r;
  70             rewrite > q_elim_opp; rewrite < E in ⊢ (??%); assumption;]
  71     |2: intros; rewrite > H8; rewrite > H7; clear H8 H7;
  72         simplify in H5 H6 ⊢ %;
  73         cases (\fst w1) in H5 H6; [intros; reflexivity]
  74         cases (bars l1);
  75         [1: intros; simplify; elim n [reflexivity] simplify; assumption;
  76         |2: simplify; intros; cases (?:False); clear H6;
  77             apply (q_lt_le_incompat (input - init) (Qpos w) );
  78             [1: rewrite > H2; do 2 rewrite > q_elim_minus;
  79                 apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
  80                 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  81                 rewrite > q_plus_minus;
  82                 rewrite > q_plus_OQ; assumption;
  83             |2: rewrite < q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
  84                 rewrite > q_d_sym; apply (q_le_S ???? H5);
  85                 apply sum_bases_ge_OQ;]]
  86     |3:
  87
  88
  89 STOP
  90
  91 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  92 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
  93 definition rebase_spec ≝
  94  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
  95    And4
  96     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
  97     (start (\fst p) = start (\snd p))
  98     (same_bases (\fst p) (\snd p))
  99     (same_values l1 (\fst p))
 100     (same_values l2 (\snd p)).
 101
 102 definition rebase_spec_simpl ≝
 103  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 104    And3
 105     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
 106     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
 107     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
 108
 109 (* a local letin makes russell fail *)
 110 definition cb0h : list bar → list bar ≝
 111   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
 112
 113 definition eject ≝
 114   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 115 coercion eject.
 116 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 117 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 118
 119 definition rebase: rebase_spec.
 120 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 121 letin spec ≝ (
 122   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
 123 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
 124 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
 125 letin aux ≝ (
 126 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 127 match n with
 128 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 129 | S m ⇒
 130   match l1 with
 131   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 132   | cons he1 tl1 ⇒
 133      match l2 with
 134      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 135      | cons he2 tl2 ⇒
 136          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
 137          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
 138          let height1 ≝ (\snd he1) in
 139          let height2 ≝ (\snd he2) in
 140          match q_cmp base1 base2 with
 141          [ q_eq _ ⇒
 142              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 143              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 144          | q_lt Hp ⇒
 145              let rest ≝ base2 - base1 in
 146              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 147              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 148          | q_gt Hp ⇒
 149              let rest ≝ base1 - base2 in
 150              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 151              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 152 ]]]]
 153 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 154 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 155     cases (q_cmp s1 s2);
 156     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 157         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 158         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 159         [1,2: assumption;
 160         |3: intro; apply (H3 input);
 161         |4: intro; rewrite > H in H4;
 162             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 163     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 164           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 165           assumption]
 166         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 167         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 168         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 169         [1: reflexivity
 170         |2: assumption;
 171         |3: assumption;
 172         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 173             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 174             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 175             whd in ⊢ (% → ?);
 176             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 177                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 178                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 179                 whd in ⊢ (% → ?);
 180                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 181
 182             (* TODO *) ]]
 183 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 184       assumption;
 185 |3:(* TODO *)
 186 |4:(* TODO *)
 187 |5:(* TODO *)
 188 |6:(* TODO *)
 189 |7:(* TODO *)
 190 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 191 qed.