helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "russell_support.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 (* move in nat/minus *)
  19 lemma minus_lt : ∀i,j. i < j → j - i = S (j - S i).
  20 intros 2;
  21 apply (nat_elim2 ???? i j); simplify; intros;
  22 [1: cases n in H; intros; rewrite < minus_n_O; [cases (not_le_Sn_O ? H);]
  23     simplify; rewrite < minus_n_O; reflexivity;
  24 |2: cases (not_le_Sn_O ? H);
  25 |3: apply H; apply le_S_S_to_le; assumption;]
  26 qed.
  27
  28 definition copy ≝
  29  λl:list bar.make_list ? (λn.〈nth_base l (\len l - S n),〈OQ,OQ〉〉) (\len l).
  30
  31 lemma sorted_copy:
  32   ∀l:list bar.sorted q2_lt l → sorted q2_lt (copy l).
  33 intros 2; unfold copy; generalize in match (le_n (\len l));
  34 elim (\len l) in ⊢ (?%?→? ? (? ? ? %));
  35 simplify; [apply (sorted_nil q2_lt);] cases n in H1 H2;
  36 simplify; intros; [apply (sorted_one q2_lt);]
  37 apply (sorted_cons q2_lt);
  38 [2: apply H1; apply lt_to_le; apply H2;
  39 |1: elim l in H2 H; simplify; [simplify in H2; cases (not_le_Sn_O ? H2)]
  40     simplify in H3; unfold nth_base;
  41     unfold canonical_q_lt; unfold q2_trel; unfold q2_lt; simplify;
  42     change with (q2_lt (\nth (a::l1) ▭ (\len l1-S n1)) (\nth (a::l1) ▭ (\len l1-n1)));
  43     cut (∃w.w = \len l1 - S n1); [2: exists[apply (\len l1 - S n1)] reflexivity]
  44     cases Hcut; rewrite < H4; rewrite < (?:S w = \len l1 - n1);
  45     [1: apply (sorted_near q2_lt (a::l1) H2); rewrite > H4;
  46         simplify; apply le_S_S; elim (\len l1) in H3; simplify;
  47         [ cases (not_le_Sn_O ? (le_S_S_to_le ?? H3));
  48         | lapply le_S_S_to_le to H5 as H6;
  49           lapply le_S_S_to_le to H6 as H7; clear H5 H6;
  50           cases H7 in H3; intros; [rewrite < minus_n_n; apply le_S_S; apply le_O_n]
  51           simplify in H5; apply le_S_S; apply (trans_le ???? (H5 ?));
  52           [2: apply le_S_S; apply le_S_S; assumption;
  53           |1: apply (lt_minus_S_n_to_le_minus_n n1 (S m) (S (minus m n1)) ?).
  54               apply (not_le_to_lt (S (minus m n1)) (minus (S m) (S n1)) ?).
  55               apply (not_le_Sn_n (minus (S m) (S n1))).]]
  56     |2: rewrite > H4; lapply le_S_S_to_le to H3 as K;
  57         clear H4 Hcut H3 H H1 H2; generalize in match K; clear K;
  58         apply (nat_elim2 ???? n1 (\len l1)); simplify; intros;
  59         [1: rewrite < minus_n_O; cases n2 in H; [intro; cases (not_le_Sn_O ? H)]
  60             intros; cases n3; simplify; reflexivity;
  61         |2: cases (not_le_Sn_O ? H);
  62         |3: apply H; apply le_S_S_to_le; apply H1;]]]
  63 qed.
  64
  65 lemma len_copy: ∀l. \len (copy l) = \len l.
  66 intro; unfold copy; apply len_mk_list;
  67 qed.
  68
  69 lemma same_bases_cons: ∀a,b,l1,l2.
  70   same_bases l1 l2 → \fst a = \fst b → same_bases (a::l1) (b::l2).
  71 intros; intro; cases i; simplify; [assumption;] apply (H n);
  72 qed.
  73
  74 lemma copy_same_bases: ∀l. same_bases l (copy l).
  75 intro; unfold copy; elim l using list_elim_with_len; [1: intro;reflexivity]
  76 simplify; rewrite < minus_n_n;
  77 simplify in ⊢ (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?));
  78 apply same_bases_cons; [2: reflexivity]
  79 cases l1 in H; [intros 2; reflexivity]
  80 simplify in ⊢ (? ? (? ? (λ_:?.? ? ? (? ? %) ?) ?)→?);
  81 simplify in ⊢ (?→? ? (? ? (λ_:?.? ? ? (? ? (? % ?)) ?) ?));
  82 intro; rewrite > (mk_list_ext ?? (λn:nat.〈nth_base (b::l2) (\len l2-n),〈OQ,OQ〉〉));[assumption]
  83 intro; elim x; [simplify; rewrite < minus_n_O; reflexivity]
  84 simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? %) ?) ?);
  85 simplify in H2:(? ? %); rewrite > minus_lt; [reflexivity] apply le_S_S_to_le;
  86 assumption;
  87 qed.
  88
  89 lemma prepend_sorted_with_same_head:
  90  ∀r,x,l1,l2,d1,d2.
  91    sorted r (x::l1) → sorted r l2 →
  92    (r x (\nth l1 d1 O) → r x (\nth l2 d2 O)) → (l1 = [] → r x d1) →
  93    sorted r (x::l2).
  94 intros 8 (R x l1 l2 d1 d2 Sl1 Sl2);  inversion Sl1; inversion Sl2;
  95 intros; destruct; try assumption; [3: apply (sorted_one R);]
  96 [1: apply sorted_cons;[2:assumption] apply H2; apply H3; reflexivity;
  97 |2: apply sorted_cons;[2: assumption] apply H5; apply H6; reflexivity;
  98 |3: apply sorted_cons;[2: assumption] apply H5; assumption;
  99 |4: apply sorted_cons;[2: assumption] apply H8; apply H4;]
 100 qed.
 101
 102 lemma move_head_sorted: ∀x,l1,l2.
 103   sorted q2_lt (x::l1) → sorted q2_lt l2 → nth_base l2 O = nth_base l1 O →
 104     l1 ≠ [] → sorted q2_lt (x::l2).
 105 intros; apply (prepend_sorted_with_same_head q2_lt x l1 l2 ▭ ▭);
 106 try assumption; intros; unfold nth_base in H2; whd in H4;
 107 [1: rewrite < H2 in H4; assumption;
 108 |2: cases (H3 H4);]
 109 qed.
 110
 111 definition rebase_spec ≝
 112  λl1,l2:q_f.λp:q_f × q_f.
 113    And3
 114     (same_bases (bars (\fst p)) (bars (\snd p)))
 115     (same_values l1 (\fst p))
 116     (same_values l2 (\snd p)).
 117
 118 definition last ≝
 119  λT:Type.λd.λl:list T. \nth l d (pred (\len l)).
 120
 121 notation > "\last" non associative with precedence 90 for @{'last}.
 122 notation < "\last d l" non associative with precedence 70 for @{'last2 $d $l}.
 123 interpretation "list last" 'last = (last _).
 124 interpretation "list last applied" 'last2 d l = (last _ d l).
 125
 126 definition head ≝
 127  λT:Type.λd.λl:list T.\nth l d O.
 128
 129 notation > "\hd" non associative with precedence 90 for @{'hd}.
 130 notation < "\hd d l" non associative with precedence 70 for @{'hd2 $d $l}.
 131 interpretation "list head" 'hd = (head _).
 132 interpretation "list head applied" 'hd2 d l = (head _ d l).
 133
 134 alias symbol "lt" = "bar lt".
 135 lemma inversion_sorted:
 136   ∀a,l. sorted q2_lt (a::l) → a < \hd ▭ l ∨ l = [].
 137 intros 2; elim l; [right;reflexivity] left; inversion H1; intros;
 138 [1,2:destruct H2| destruct H5; assumption]
 139 qed.
 140
 141 lemma inversion_sorted2:
 142   ∀a,b,l. sorted q2_lt (a::b::l) → a < b.
 143 intros; inversion H; intros; [1,2:destruct H1] destruct H4; assumption;
 144 qed.
 145
 146 definition same_values_simpl ≝
 147  λl1,l2.∀p1,p2,p3,p4,p5,p6.
 148    same_values (mk_q_f l1 p1 p2 p3) (mk_q_f l2 p4 p5 p6).
 149
 150 inductive rebase_cases : list bar → list bar → (list bar) × (list bar) → Prop ≝
 151 | rb_fst_full  : ∀b,h1,h2,xs,ys,r1,r2. 〈b,h1〉 < \hd ▭ ys →
 152    \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::xs)) = \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::r1)) →
 153    \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::xs)) = \snd(\last ▭ (〈b,h2〉::r2)) →
 154    rebase_cases (〈b,h1〉::xs) ys 〈〈b,h1〉::r1,〈b,h2〉::r2〉
 155 | rb_snd_full  : ∀b,h1,h2,xs,ys,r1,r2. 〈b,h1〉 < \hd ▭ xs →
 156    \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::ys)) = \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::r2)) →
 157    \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::ys)) = \snd(\last ▭ (〈b,h2〉::r1)) →
 158    rebase_cases xs (〈b,h1〉::ys) 〈〈b,h2〉::r1,〈b,h1〉::r2〉
 159 | rb_all_full  : ∀b,h1,h2,h3,h4,xs,ys,r1,r2.
 160    \snd(\last ▭ (〈b,h1〉::xs)) = \snd(\last ▭ (〈b,h3〉::r1)) →
 161    \snd(\last ▭ (〈b,h2〉::ys)) = \snd(\last ▭ (〈b,h4〉::r2)) →
 162    rebase_cases (〈b,h1〉::xs) (〈b,h2〉::ys) 〈〈b,h3〉::r1,〈b,h4〉::r2〉
 163 | rb_all_empty : rebase_cases [] [] 〈[],[]〉.
 164
 165 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 166 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 167 alias symbol "leq" = "natural 'less or equal to'".
 168 inductive rebase_spec_aux_p (l1, l2:list bar) (p:(list bar) × (list bar)) : Prop ≝
 169 | prove_rebase_spec_aux:
 170    rebase_cases l1 l2 p →
 171    (sorted q2_lt (\fst p)) →
 172    (sorted q2_lt (\snd p)) → True → True → (*
 173    ((l1 ≠ [] ∧ \snd (\last ▭ (\fst p)) = 〈OQ,OQ〉) ∨
 174     (l1 = [] ∧ ∀i.\snd (\nth (\fst p) ▭ i) = 〈OQ,OQ〉)) →
 175    ((l2 ≠ [] ∧ \snd (\last ▭ (\snd p)) = 〈OQ,OQ〉) ∨
 176     (l2 = [] ∧ ∀i.\snd (\nth (\snd p) ▭ i) = 〈OQ,OQ〉)) →*)
 177    (same_bases (\fst p) (\snd p)) →
 178    (same_values_simpl l1 (\fst p)) →
 179    (same_values_simpl l2 (\snd p)) →
 180    (*\len (\fst p) ≤ \len l1 + \len l2 → *)
 181    (*\len (\fst p) = \len (\snd p) → *)
 182    rebase_spec_aux_p l1 l2 p.
 183
 184 lemma sort_q2lt_same_base:
 185   ∀b,h1,h2,l. sorted q2_lt (〈b,h1〉::l) → sorted q2_lt (〈b,h2〉::l).
 186 intros; cases (inversion_sorted ?? H); [2: rewrite > H1; apply (sorted_one q2_lt)]
 187 lapply (sorted_tail q2_lt ?? H) as K; clear H; cases l in H1 K; simplify; intros;
 188 [apply (sorted_one q2_lt);|apply (sorted_cons q2_lt);[2: assumption] apply H]
 189 qed.
 190
 191 lemma aux_preserves_sorting:
 192  ∀b,b3,l2,l3,w. rebase_cases l2 l3 w →
 193   sorted q2_lt (b::l2) → sorted q2_lt (b3::l3) → \fst b3 = \fst b →
 194   sorted q2_lt (\fst w) → sorted q2_lt (\snd w) → same_bases (\fst w) (\snd w) →
 195   sorted q2_lt (b :: \fst w).
 196 intros 6; cases H; simplify; intros;
 197 [ apply (sorted_cons q2_lt); [2:assumption] apply (inversion_sorted2 ??? H4);
 198 | apply (sorted_cons q2_lt); [2:apply (sort_q2lt_same_base ???? H7);]
 199   whd; rewrite < H6; apply (inversion_sorted2 ??? H5);
 200 | apply (sorted_cons q2_lt); [2: assumption] apply (inversion_sorted2 ??? H3);
 201 | apply (sorted_one q2_lt);]
 202 qed.
 203
 204 lemma aux_preserves_sorting2:
 205  ∀b,b3,l2,l3,w. rebase_cases l2 l3 w →
 206   sorted q2_lt (b::l2) → sorted q2_lt (b3::l3) → \fst b3 = \fst b →
 207   sorted q2_lt (\fst w) → sorted q2_lt (\snd w) → same_bases (\fst w) (\snd w) →
 208   sorted q2_lt (b :: \snd w).
 209 intros 6; cases H; simplify; intros;
 210 [ apply (sorted_cons q2_lt); [2:assumption] apply (inversion_sorted2 ??? H4);
 211 | apply (sorted_cons q2_lt); [2:assumption]
 212   whd; rewrite < H6; apply (inversion_sorted2 ??? H5);
 213 | apply (sorted_cons q2_lt); [2: assumption] apply (inversion_sorted2 ??? H3);
 214 | apply (sorted_one q2_lt);]
 215 qed.
 216
 217 definition rebase_spec_aux ≝
 218  λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 219  sorted q2_lt l1 → (\snd (\last ▭ l1) = 〈OQ,OQ〉) →
 220  sorted q2_lt l2 → (\snd (\last ▭ l2) = 〈OQ,OQ〉) →
 221    rebase_spec_aux_p l1 l2 p.
 222
 223 definition eject ≝
 224   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 225 coercion eject.
 226 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 227 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 228
 229 definition rebase: ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.rebase_spec l1 l2 p.
 230 intros 2 (f1 f2); cases f1 (b1 Hs1 Hb1 He1); cases f2 (b2 Hs2 Hb2 He2); clear f1 f2;
 231 alias symbol "leq" = "natural 'less or equal to'".
 232 alias symbol "minus" = "Q minus".
 233 letin aux ≝ (
 234 let rec aux (l1,l2:list bar) (n : nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 235 match n with
 236 [ O ⇒ 〈[], []〉
 237 | S m ⇒
 238   match l1 with
 239   [ nil ⇒ 〈copy l2, l2〉
 240   | cons he1 tl1 ⇒
 241      match l2 with
 242      [ nil ⇒ 〈l1, copy l1〉
 243      | cons he2 tl2 ⇒
 244          let base1 ≝ \fst he1 in
 245          let base2 ≝ \fst he2 in
 246          let height1 ≝ \snd he1 in
 247          let height2 ≝ \snd he2 in
 248          match q_cmp base1 base2 with
 249          [ q_leq Hp1 ⇒
 250              match q_cmp base2 base1 with
 251              [ q_leq Hp2 ⇒
 252                  let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 253                  〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 254              | q_gt Hp ⇒
 255                  let rest ≝ base2 - base1 in
 256                  let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
 257                  〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉]
 258          | q_gt Hp ⇒
 259              let rest ≝ base1 - base2 in
 260              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
 261              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉]]]]
 262 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.\len l1 + \len l2 ≤ m → rebase_spec_aux l1 l2 z);
 263 [7: clearbody aux; cases (aux b1 b2 (\len b1 + \len b2)) (res Hres);
 264     exists; [split; constructor 1; [apply (\fst res)|5:apply (\snd res)]]
 265     [1,4: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); assumption;
 266     |2,5: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); lapply (H5 O) as K;
 267           clear H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 Hres aux; unfold nth_base;
 268           cases H in K He1 He2 Hb1 Hb2; simplify; intros; assumption;
 269     |3,6: apply hide; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2);
 270           cases H in He1 He2; simplify; intros;
 271           [4,8: assumption;
 272           |1,6,7: rewrite < H9; assumption;
 273           |2,3,5: rewrite < H10; [2: symmetry] assumption;]]
 274     split; cases (Hres (le_n ?) Hs1 He1 Hs2 He2); unfold same_values; intros;
 275     [1: assumption
 276     |2: simplify in match (\snd 〈?,?〉); simplify in match (\fst 〈?,?〉); apply H6;
 277     |3: simplify in match (\snd 〈?,?〉); simplify in match (\fst 〈?,?〉); apply H7]
 278 |3: cut (\fst b3 = \fst b) as E; [2: apply q_le_to_le_to_eq; assumption]
 279     clear H6 H5 H4 H3 He2 Hb2 Hs2 b2 He1 Hb1 Hs1 b1; cases (aux l2 l3 n1);
 280     clear aux; intro K; simplify in K; rewrite <plus_n_Sm in K;
 281     lapply le_S_S_to_le to K as W; lapply lt_to_le to W as R;
 282     simplify in match (? ≪w,H3≫); intros; cases (H3 R); clear H3 R W K;
 283       [2,4: apply (sorted_tail q2_lt);[apply b|3:apply b3]assumption;
 284       |3: cases l2 in H5; simplify; intros; try reflexivity; assumption;
 285       |5: cases l3 in H7; simplify; intros; try reflexivity; assumption;]
 286     constructor 1; simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉);
 287     [1: cases b in E H5 H7 H11 H14; cases b3; intros (E H5 H7 H11 H14); simplify in E;
 288         destruct E; constructor 3;
 289         [ cases H8 in H5 H7; intros; [1,3:assumption] simplify;
 290           [ rewrite > H16; rewrite < H7; symmetry; apply H17; | reflexivity]
 291         | cases H8 in H5 H7; simplify; intros; [2,3: assumption]
 292           [ rewrite < H7; rewrite > H16; apply H17; | reflexivity]]
 293     |2: apply (aux_preserves_sorting ? b3 ??? H8); assumption;
 294     |3: apply (aux_preserves_sorting2 ? b3 ??? H8); try assumption;
 295         try reflexivity; cases (inversion_sorted ?? H4);[2:rewrite >H3; apply (sorted_one q2_lt);]
 296         cases l2 in H3 H4; intros; [apply (sorted_one q2_lt)]
 297         apply (sorted_cons q2_lt);[2:apply (sorted_tail q2_lt ?? H3);] whd;
 298         rewrite > E; assumption;
 299     |4: apply I
 300     |5: apply I
 301     |6: intro; elim i; intros; simplify; solve [symmetry;assumption|apply H13]
 302     |7: unfold; intros; apply H14;
 303     |8:
 304
 305     clear H15 H14 H11 H12 H7 H5; cases H8; clear H8; cases H3; clear H3;
 306         [1: apply (move_head ?? H4 H5 ?? H9); symmetry; assumption;
 307         |2: apply (move_head ??? H5 ?? H9); [apply (soted_q2lt_rewrite_hd ??? E  H6)]
 308             symmetry; rewrite > (H13 O); assumption;
 309         |3: apply (soted_q2lt_rewrite_hd ??? E); apply (move_head ?? H6 H7); [symmetry;] assumption;
 310         |4: rewrite > H8; apply (sorted_one q2_lt);]
 311
 312
 313      cases l2 in H4 H8 H16; cases l3 in H6;
 314         intros; cases H5; clear H5; cases H7; clear H7;
 315         [1,2: cases (q_lt_corefl ? H5);
 316         |3: rewrite >(?:\fst w = []); [apply (sorted_one q2_lt)]
 317             simplify in H6; lapply (le_n_O_to_eq ? H6) as K;
 318             cases (\fst w) in K; simplify; intro X [reflexivity|destruct X]
 319         |4:
 320
 321          rewrite >H8 in H5; cases (\fst w) in H9 H5; intros [apply (sorted_one q2_lt)]
 322
 323
 324
 325
 326
 327
 328
 329
 330
 331
 332 definition same_values_simpl ≝
 333  λl1,l2.∀p1,p2,p3,p4,p5,p6.same_values (mk_q_f l1 p1 p2 p3) (mk_q_f l2 p4 p5 p6).
 334
 335 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 336 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 337 definition rebase_spec_aux ≝
 338  λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 339    sorted q2_lt l1 → sorted q2_lt l2 →
 340    (l1 ≠ [] → \snd (\nth l1 ▭ (pred (\len l1))) = 〈OQ,OQ〉) →
 341    (l2 ≠ [] → \snd (\nth l2 ▭ (pred (\len l2))) = 〈OQ,OQ〉) →
 342  And4
 343    (nth_base l1 O = nth_base (\fst p) O ∨
 344     nth_base l2 O = nth_base (\fst p) O)
 345    (sorted q2_lt (\fst p) ∧ sorted q2_lt (\snd p))
 346    ((l1 ≠ [] → \snd (\nth (\fst p) ▭ (pred (\len (\fst p)))) = 〈OQ,OQ〉) ∧
 347     (l2 ≠ [] → \snd (\nth (\snd p) ▭ (pred (\len (\snd p)))) = 〈OQ,OQ〉))
 348    (And3
 349       (same_bases (\fst p) (\snd p))
 350       (same_values_simpl l1 (\fst p))
 351       (same_values_simpl l2 (\snd p))).
 352
 353 lemma copy_rebases:
 354   ∀l1.rebase_spec_aux l1 [] 〈l1, copy l1〉.
 355 intros; elim l1; intros 4;
 356 [1: split; [left; reflexivity]; split; try assumption; unfold; intros;
 357     unfold same_values; intros; reflexivity;
 358 |2: rewrite > H3; [2: intro X; destruct X]
 359     split; [left; reflexivity] split;
 360     unfold same_values_simpl; unfold same_values; intros; try reflexivity;
 361     try assumption; [4: normalize in p2; destruct p2|2: cases H5; reflexivity;]
 362     [1: apply (sorted_copy ? H1);
 363     |2: apply (copy_same_bases (a::l));]]
 364 qed.
 365
 366 lemma copy_rebases_r:
 367   ∀l1.rebase_spec_aux [] l1 〈copy l1, l1〉.
 368 intros; elim l1; intros 4;
 369 [1: split; [left; reflexivity]; split; try assumption; unfold; intros;
 370     unfold same_values; intros; reflexivity;
 371 |2: rewrite > H4; [2: intro X; destruct X]
 372     split; [right; simplify; rewrite < minus_n_n; reflexivity] split;
 373     unfold same_values_simpl; unfold same_values; intros; try reflexivity;
 374     try assumption; [4: normalize in p2; destruct p2|2: cases H5; reflexivity;]
 375     [1: apply (sorted_copy ? H2);
 376     |2: intro; symmetry; apply (copy_same_bases (a::l));]]
 377 qed.
 378
 379
 380 definition eject ≝
 381   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 382 coercion eject.
 383 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 384 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 385
 386 definition rebase: ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.rebase_spec l1 l2 p.
 387 intros 2 (f1 f2); cases f1 (b1 Hs1 Hb1 He1); cases f2 (b2 Hs2 Hb2 He2); clear f1 f2;
 388 alias symbol "leq" = "natural 'less or equal to'".
 389 alias symbol "minus" = "Q minus".
 390 letin aux ≝ (
 391 let rec aux (l1,l2:list bar) (n : nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 392 match n with
 393 [ O ⇒ 〈[], []〉
 394 | S m ⇒
 395   match l1 with
 396   [ nil ⇒ 〈copy l2, l2〉
 397   | cons he1 tl1 ⇒
 398      match l2 with
 399      [ nil ⇒ 〈l1, copy l1〉
 400      | cons he2 tl2 ⇒
 401          let base1 ≝ \fst he1 in
 402          let base2 ≝ \fst he2 in
 403          let height1 ≝ \snd he1 in
 404          let height2 ≝ \snd he2 in
 405          match q_cmp base1 base2 with
 406          [ q_leq Hp1 ⇒
 407              match q_cmp base2 base1 with
 408              [ q_leq Hp2 ⇒
 409                  let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 410                  〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 411              | q_gt Hp ⇒
 412                  let rest ≝ base2 - base1 in
 413                  let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
 414                  〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉]
 415          | q_gt Hp ⇒
 416              let rest ≝ base1 - base2 in
 417              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
 418              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉]]]]
 419 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.\len l1 + \len l2 ≤ m → rebase_spec_aux l1 l2 z);
 420 [7: clearbody aux; cases (aux b1 b2 (\len b1 + \len b2)) (w Hw); clear aux;
 421     cases (Hw (le_n ?) Hs1 Hs2 (λ_.He1) (λ_.He2)); clear Hw; cases H1; cases H2; cases H3; clear H3 H1 H2;
 422     exists [constructor 1;constructor 1;[apply (\fst w)|5:apply (\snd w)]] try assumption;
 423     [1,3: apply hide; cases H (X X); try rewrite < (H8 O); try rewrite < X; assumption
 424     |2,4: apply hide;[apply H6|apply H7]intro X;[rewrite > X in Hb1|rewrite > X in Hb2]
 425          normalize in Hb1 Hb2; [destruct Hb1|destruct Hb2]]
 426     unfold; unfold same_values; simplify in ⊢ (? (? % %) ? ?);
 427     simplify in match (\snd 〈?,?〉); simplify in match (\fst 〈?,?〉);
 428     split; [assumption; |apply H9;|apply H10]
 429 |6: intro ABS; unfold; intros 4; clear H1 H2;
 430     cases l in ABS H3; intros 1; [2: simplify in H1; cases (not_le_Sn_O ? H1)]
 431     cases l1 in H4 H1; intros; [2: simplify in H2; cases (not_le_Sn_O ? H2)]
 432     split; [ left; reflexivity|split; apply (sorted_nil q2_lt);|split; assumption;]
 433     split; unfold; intros; unfold same_values; intros; reflexivity;
 434 |5: intros; apply copy_rebases_r;
 435 |4: intros; rewrite < H1; apply copy_rebases;
 436 |3: cut (\fst b = \fst b3) as K; [2: apply q_le_to_le_to_eq; assumption] clear H6 H5 H4 H3;
 437     intros; cases (aux l2 l3 n1); cases w in H4 (w1 w2); clear w;
 438     intros 5;
 439     simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉);
 440     cases H5;
 441       [2: apply le_S_S_to_le; apply (trans_le ???? H3); simplify;
 442           rewrite < plus_n_Sm; apply le_S; apply le_n;
 443       |3,4: apply (sorted_tail q2_lt); [2: apply H4|4:apply H6]
 444       |5: intro; cases l2 in H7 H9; intros; [cases H9; reflexivity]
 445           simplify in H7 ⊢ %; apply H7; intro; destruct H10;
 446       |6: intro; cases l3 in H8 H9; intros; [cases H9; reflexivity]
 447           simplify in H8 ⊢ %; apply H8; intro; destruct H10;]
 448     clear aux H5;
 449     simplify in match (\fst 〈?,?〉) in H9 H10 H11 H12;
 450     simplify in match (\snd 〈?,?〉) in H9 H10 H11 H12;
 451     split;
 452     [1: left; reflexivity;
 453     |2: cases H10; cases H12; clear H15 H16 H12 H7 H8 H11 H10;
 454         cases H9; clear H9;
 455         [1: lapply (H14 O) as K1; clear H14; change in K1 with (nth_base w1 O = nth_base w2 O);
 456             split;
 457             [1: apply (move_head_sorted ??? H4 H5 H7); STOP
 458
 459
 460
 461  unfold rebase_spec_aux; intros; cases l1 in H2 H4 H6; intros; [ simplify in H2; destruct H2;]
 462     lapply H6 as H7; [2: intro X; destruct X] clear H6 H5;
 463     rewrite > H7; split; [right; simplify;
 464
 465      split; [left;reflexivity]
 466     split;
 467
 468 ,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 469       assumption;
 470 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);
 471 |3: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 472     simplify in ⊢ (???? (??? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??)))) ?));
 473     simplify in ⊢ (???? (???? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??))))));
 474     clear H4; cases (aux (〈w,\snd b〉::l4) l5 n1); clear aux;
 475     cut (len (〈w,\snd b〉::l4) + len l5 < n1) as K;[2:
 476       simplify in H5; simplify; rewrite > sym_plus in H5; simplify in H5;
 477       rewrite > sym_plus in H5; apply le_S_S_to_le; apply H5;]
 478     split;
 479     [1: simplify in ⊢ (? % ?); simplify in ⊢ (? ? %);
 480         cases (H4 s K); clear K H4; intro input; cases input; [reflexivity]
 481         simplify; apply H7;
 482     |2: simplify in ⊢ (? ? %); cases (H4 s K); clear H4 K H5 spec;
 483         intro;
 484         (* input < s + b1 || input >= s + b1 *)
 485     |3: simplify in ⊢ (? ? %);]
 486 |4: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 487     (* duale del 3 *)
 488 |5: intros; (* triviale, caso in cui non fa nulla *)
 489 |6,7: (* casi base in cui allunga la lista più corta *)
 490 ]
 491 elim devil;
 492 qed.
 493
 494 include "Q/q/qtimes.ma".
 495
 496 let rec area (l:list bar) on l ≝
 497   match l with
 498   [ nil ⇒ OQ
 499   | cons he tl ⇒ area tl + Qpos (\fst he) * ⅆ[OQ,\snd he]].
 500
 501 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 502 alias symbol "minus" = "Q minus".
 503 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 504 definition minus_spec_bar ≝
 505  λf,g,h:list bar.
 506    same_bases f g → len f = len g →
 507      ∀s,i:ℚ. \snd (\fst (value (mk_q_f s h) i)) =
 508        \snd (\fst (value (mk_q_f s f) i)) - \snd (\fst (value (mk_q_f s g) i)).
 509
 510 definition minus_spec ≝
 511  λf,g:q_f.
 512    ∃h:q_f.
 513      ∀i:ℚ. \snd (\fst (value h i)) =
 514        \snd (\fst (value f i)) - \snd (\fst (value g i)).
 515
 516 definition eject_bar : ∀P:list bar → CProp.(∃l:list bar.P l) → list bar ≝
 517  λP.λp.match p with [ex_introT x _ ⇒ x].
 518 definition inject_bar ≝ ex_introT (list bar).
 519
 520 coercion inject_bar with 0 1 nocomposites.
 521 coercion eject_bar with 0 0 nocomposites.
 522
 523 lemma minus_q_f : ∀f,g. minus_spec f g.
 524 intros;
 525 letin aux ≝ (
 526   let rec aux (l1, l2 : list bar) on l1 ≝
 527     match l1 with
 528     [ nil ⇒ []
 529     | cons he1 tl1 ⇒
 530         match l2 with
 531         [ nil ⇒ []
 532         | cons he2 tl2 ⇒ 〈\fst he1, \snd he1 - \snd he2〉 :: aux tl1 tl2]]
 533   in aux : ∀l1,l2 : list bar.∃h.minus_spec_bar l1 l2 h);
 534 [2: intros 4; simplify in H3; destruct H3;
 535 |3: intros 4; simplify in H3; cases l1 in H2; [2: intro X; simplify in X; destruct X]
 536     intros; rewrite > (value_OQ_e (mk_q_f s []) i); [2: reflexivity]
 537     rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_OQ; reflexivity;
 538 |1: cases (aux l2 l3); unfold in H2; intros 4;
 539     simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))) ?);
 540     cases (q_cmp i (s + Qpos (\fst b)));
 541
 542
 543
 544 definition excess ≝
 545   λf,g.∃i.\snd (\fst (value f i)) < \snd (\fst (value g i)).
 546