helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "russell_support.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 (* move in nat/minus *)
  19 lemma minus_lt : ∀i,j. i < j → j - i = S (j - S i).
  20 intros 2;
  21 apply (nat_elim2 ???? i j); simplify; intros;
  22 [1: cases n in H; intros; rewrite < minus_n_O; [cases (not_le_Sn_O ? H);]
  23     simplify; rewrite < minus_n_O; reflexivity;
  24 |2: cases (not_le_Sn_O ? H);
  25 |3: apply H; apply le_S_S_to_le; assumption;]
  26 qed.
  27
  28 definition copy ≝
  29  λl:list bar.make_list ? (λn.〈nth_base l (\len l - S n),〈OQ,OQ〉〉) (\len l).
  30
  31 lemma sorted_copy:
  32   ∀l:list bar.sorted q2_lt l → sorted q2_lt (copy l).
  33 intros 2; unfold copy; generalize in match (le_n (\len l));
  34 elim (\len l) in ⊢ (?%?→? ? (? ? ? %));
  35 simplify; [apply (sorted_nil q2_lt);] cases n in H1 H2;
  36 simplify; intros; [apply (sorted_one q2_lt);]
  37 apply (sorted_cons q2_lt);
  38 [2: apply H1; apply lt_to_le; apply H2;
  39 |1: elim l in H2 H; simplify; [simplify in H2; cases (not_le_Sn_O ? H2)]
  40     simplify in H3; unfold nth_base;
  41     unfold canonical_q_lt; unfold q2_trel; unfold q2_lt; simplify;
  42     change with (q2_lt (\nth (a::l1) ▭ (\len l1-S n1)) (\nth (a::l1) ▭ (\len l1-n1)));
  43     cut (∃w.w = \len l1 - S n1); [2: exists[apply (\len l1 - S n1)] reflexivity]
  44     cases Hcut; rewrite < H4; rewrite < (?:S w = \len l1 - n1);
  45     [1: apply (sorted_near q2_lt (a::l1) H2); rewrite > H4;
  46         simplify; apply le_S_S; elim (\len l1) in H3; simplify;
  47         [ cases (not_le_Sn_O ? (le_S_S_to_le ?? H3));
  48         | lapply le_S_S_to_le to H5 as H6;
  49           lapply le_S_S_to_le to H6 as H7; clear H5 H6;
  50           cases H7 in H3; intros; [rewrite < minus_n_n; apply le_S_S; apply le_O_n]
  51           simplify in H5; apply le_S_S; apply (trans_le ???? (H5 ?));
  52           [2: apply le_S_S; apply le_S_S; assumption;
  53           |1: apply (lt_minus_S_n_to_le_minus_n n1 (S m) (S (minus m n1)) ?).
  54               apply (not_le_to_lt (S (minus m n1)) (minus (S m) (S n1)) ?).
  55               apply (not_le_Sn_n (minus (S m) (S n1))).]]
  56     |2: rewrite > H4; lapply le_S_S_to_le to H3 as K;
  57         clear H4 Hcut H3 H H1 H2; generalize in match K; clear K;
  58         apply (nat_elim2 ???? n1 (\len l1)); simplify; intros;
  59         [1: rewrite < minus_n_O; cases n2 in H; [intro; cases (not_le_Sn_O ? H)]
  60             intros; cases n3; simplify; reflexivity;
  61         |2: cases (not_le_Sn_O ? H);
  62         |3: apply H; apply le_S_S_to_le; apply H1;]]]
  63 qed.
  64
  65 lemma len_copy: ∀l. \len (copy l) = \len l.
  66 intro; unfold copy; apply len_mk_list;
  67 qed.
  68
  69 lemma same_bases_cons: ∀a,b,l1,l2.
  70   same_bases l1 l2 → \fst a = \fst b → same_bases (a::l1) (b::l2).
  71 intros; intro; cases i; simplify; [assumption;] apply (H n);
  72 qed.
  73
  74 lemma copy_same_bases: ∀l. same_bases l (copy l).
  75 intro; unfold copy; elim l using list_elim_with_len; [1: intro;reflexivity]
  76 simplify; rewrite < minus_n_n;
  77 simplify in ⊢ (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?));
  78 apply same_bases_cons; [2: reflexivity]
  79 cases l1 in H; [intros 2; reflexivity]
  80 simplify in ⊢ (? ? (? ? (λ_:?.? ? ? (? ? %) ?) ?)→?);
  81 simplify in ⊢ (?→? ? (? ? (λ_:?.? ? ? (? ? (? % ?)) ?) ?));
  82 intro; rewrite > (mk_list_ext ?? (λn:nat.〈nth_base (b::l2) (\len l2-n),〈OQ,OQ〉〉));[assumption]
  83 intro; elim x; [simplify; rewrite < minus_n_O; reflexivity]
  84 simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? %) ?) ?);
  85 simplify in H2:(? ? %); rewrite > minus_lt; [reflexivity] apply le_S_S_to_le;
  86 assumption;
  87 qed.
  88
  89 lemma prepend_sorted_with_same_head:
  90  ∀r,x,l1,l2,d1,d2.
  91    sorted r (x::l1) → sorted r l2 →
  92    (r x (\nth l1 d1 O) → r x (\nth l2 d2 O)) → (l1 = [] → r x d1) →
  93    sorted r (x::l2).
  94 intros 8 (R x l1 l2 d1 d2 Sl1 Sl2);  inversion Sl1; inversion Sl2;
  95 intros; destruct; try assumption; [3: apply (sorted_one R);]
  96 [1: apply sorted_cons;[2:assumption] apply H2; apply H3; reflexivity;
  97 |2: apply sorted_cons;[2: assumption] apply H5; apply H6; reflexivity;
  98 |3: apply sorted_cons;[2: assumption] apply H5; assumption;
  99 |4: apply sorted_cons;[2: assumption] apply H8; apply H4;]
 100 qed.
 101
 102 lemma move_head_sorted: ∀x,l1,l2.
 103   sorted q2_lt (x::l1) → sorted q2_lt l2 → nth_base l2 O = nth_base l1 O →
 104     l1 ≠ [] → sorted q2_lt (x::l2).
 105 intros; apply (prepend_sorted_with_same_head q2_lt x l1 l2 ▭ ▭);
 106 try assumption; intros; unfold nth_base in H2; whd in H4;
 107 [1: rewrite < H2 in H4; assumption;
 108 |2: cases (H3 H4);]
 109 qed.
 110
 111 definition rebase_spec ≝
 112  λl1,l2:q_f.λp:q_f × q_f.
 113    And3
 114     (same_bases (bars (\fst p)) (bars (\snd p)))
 115     (same_values l1 (\fst p))
 116     (same_values l2 (\snd p)).
 117
 118
 119 definition same_values_simpl ≝
 120  λl1,l2.∀p1,p2,p3,p4,p5,p6.same_values (mk_q_f l1 p1 p2 p3) (mk_q_f l2 p4 p5 p6).
 121
 122 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 123 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 124 definition rebase_spec_aux ≝
 125  λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 126    sorted q2_lt l1 → sorted q2_lt l2 →
 127    (l1 ≠ [] → \snd (\nth l1 ▭ (pred (\len l1))) = 〈OQ,OQ〉) →
 128    (l2 ≠ [] → \snd (\nth l2 ▭ (pred (\len l2))) = 〈OQ,OQ〉) →
 129  And4
 130    (nth_base l1 O = nth_base (\fst p) O ∨
 131     nth_base l2 O = nth_base (\fst p) O)
 132    (sorted q2_lt (\fst p) ∧ sorted q2_lt (\snd p))
 133    ((l1 ≠ [] → \snd (\nth (\fst p) ▭ (pred (\len (\fst p)))) = 〈OQ,OQ〉) ∧
 134     (l2 ≠ [] → \snd (\nth (\snd p) ▭ (pred (\len (\snd p)))) = 〈OQ,OQ〉))
 135    (And3
 136       (same_bases (\fst p) (\snd p))
 137       (same_values_simpl l1 (\fst p))
 138       (same_values_simpl l2 (\snd p))).
 139
 140 lemma copy_rebases:
 141   ∀l1.rebase_spec_aux l1 [] 〈l1, copy l1〉.
 142 intros; elim l1; intros 4;
 143 [1: split; [left; reflexivity]; split; try assumption; unfold; intros;
 144     unfold same_values; intros; reflexivity;
 145 |2: rewrite > H3; [2: intro X; destruct X]
 146     split; [left; reflexivity] split;
 147     unfold same_values_simpl; unfold same_values; intros; try reflexivity;
 148     try assumption; [4: normalize in p2; destruct p2|2: cases H5; reflexivity;]
 149     [1: apply (sorted_copy ? H1);
 150     |2: apply (copy_same_bases (a::l));]]
 151 qed.
 152
 153 lemma copy_rebases_r:
 154   ∀l1.rebase_spec_aux [] l1 〈copy l1, l1〉.
 155 intros; elim l1; intros 4;
 156 [1: split; [left; reflexivity]; split; try assumption; unfold; intros;
 157     unfold same_values; intros; reflexivity;
 158 |2: rewrite > H4; [2: intro X; destruct X]
 159     split; [right; simplify; rewrite < minus_n_n; reflexivity] split;
 160     unfold same_values_simpl; unfold same_values; intros; try reflexivity;
 161     try assumption; [4: normalize in p2; destruct p2|2: cases H5; reflexivity;]
 162     [1: apply (sorted_copy ? H2);
 163     |2: intro; symmetry; apply (copy_same_bases (a::l));]]
 164 qed.
 165
 166 definition eject ≝
 167   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 168 coercion eject.
 169 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 170 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 171
 172 definition rebase: ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.rebase_spec l1 l2 p.
 173 intros 2 (f1 f2); cases f1 (b1 Hs1 Hb1 He1); cases f2 (b2 Hs2 Hb2 He2); clear f1 f2;
 174 alias symbol "leq" = "natural 'less or equal to'".
 175 alias symbol "minus" = "Q minus".
 176 letin aux ≝ (
 177 let rec aux (l1,l2:list bar) (n : nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 178 match n with
 179 [ O ⇒ 〈[], []〉
 180 | S m ⇒
 181   match l1 with
 182   [ nil ⇒ 〈copy l2, l2〉
 183   | cons he1 tl1 ⇒
 184      match l2 with
 185      [ nil ⇒ 〈l1, copy l1〉
 186      | cons he2 tl2 ⇒
 187          let base1 ≝ \fst he1 in
 188          let base2 ≝ \fst he2 in
 189          let height1 ≝ \snd he1 in
 190          let height2 ≝ \snd he2 in
 191          match q_cmp base1 base2 with
 192          [ q_leq Hp1 ⇒
 193              match q_cmp base2 base1 with
 194              [ q_leq Hp2 ⇒
 195                  let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 196                  〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 197              | q_gt Hp ⇒
 198                  let rest ≝ base2 - base1 in
 199                  let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
 200                  〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉]
 201          | q_gt Hp ⇒
 202              let rest ≝ base1 - base2 in
 203              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
 204              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉]]]]
 205 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.\len l1 + \len l2 ≤ m → rebase_spec_aux l1 l2 z);
 206 [7: clearbody aux; cases (aux b1 b2 (\len b1 + \len b2)) (w Hw); clear aux;
 207     cases (Hw (le_n ?) Hs1 Hs2 (λ_.He1) (λ_.He2)); clear Hw; cases H1; cases H2; cases H3; clear H3 H1 H2;
 208     exists [constructor 1;constructor 1;[apply (\fst w)|5:apply (\snd w)]] try assumption;
 209     [1,3: apply hide; cases H (X X); try rewrite < (H8 O); try rewrite < X; assumption
 210     |2,4: apply hide;[apply H6|apply H7]intro X;[rewrite > X in Hb1|rewrite > X in Hb2]
 211          normalize in Hb1 Hb2; [destruct Hb1|destruct Hb2]]
 212     unfold; unfold same_values; simplify in ⊢ (? (? % %) ? ?);
 213     simplify in match (\snd 〈?,?〉); simplify in match (\fst 〈?,?〉);
 214     split; [assumption; |apply H9;|apply H10]
 215 |6: intro ABS; unfold; intros 4; clear H1 H2;
 216     cases l in ABS H3; intros 1; [2: simplify in H1; cases (not_le_Sn_O ? H1)]
 217     cases l1 in H4 H1; intros; [2: simplify in H2; cases (not_le_Sn_O ? H2)]
 218     split; [ left; reflexivity|split; apply (sorted_nil q2_lt);|split; assumption;]
 219     split; unfold; intros; unfold same_values; intros; reflexivity;
 220 |5: intros; apply copy_rebases_r;
 221 |4: intros; rewrite < H1; apply copy_rebases;
 222 |3: cut (\fst b = \fst b3) as K; [2: apply q_le_to_le_to_eq; assumption] clear H6 H5 H4 H3;
 223     intros; cases (aux l2 l3 n1); cases w in H4 (w1 w2); clear w;
 224     intros 5;
 225     simplify in match (\fst 〈?,?〉); simplify in match (\snd 〈?,?〉);
 226     cases H5;
 227       [2: apply le_S_S_to_le; apply (trans_le ???? H3); simplify;
 228           rewrite < plus_n_Sm; apply le_S; apply le_n;
 229       |3,4: apply (sorted_tail q2_lt); [2: apply H4|4:apply H6]
 230       |5: intro; cases l2 in H7 H9; intros; [cases H9; reflexivity]
 231           simplify in H7 ⊢ %; apply H7; intro; destruct H10;
 232       |6: intro; cases l3 in H8 H9; intros; [cases H9; reflexivity]
 233           simplify in H8 ⊢ %; apply H8; intro; destruct H10;]
 234     clear aux H5;
 235     simplify in match (\fst 〈?,?〉) in H9 H10 H11 H12;
 236     simplify in match (\snd 〈?,?〉) in H9 H10 H11 H12;
 237     split;
 238     [1: left; reflexivity;
 239     |2: cases H10; cases H12; clear H15 H16 H12 H7 H8 H11 H10;
 240         cases H9; clear H9;
 241         [1: lapply (H14 O) as K1; clear H14; change in K1 with (nth_base w1 O = nth_base w2 O);
 242             split;
 243             [1: apply (move_head_sorted ??? H4 H5 H7); STOP
 244
 245
 246
 247  unfold rebase_spec_aux; intros; cases l1 in H2 H4 H6; intros; [ simplify in H2; destruct H2;]
 248     lapply H6 as H7; [2: intro X; destruct X] clear H6 H5;
 249     rewrite > H7; split; [right; simplify;
 250
 251      split; [left;reflexivity]
 252     split;
 253
 254 ,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 255       assumption;
 256 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);
 257 |3: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 258     simplify in ⊢ (???? (??? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??)))) ?));
 259     simplify in ⊢ (???? (???? (??? (??? (?? (? (?? (??? % ?) ?) ??))))));
 260     clear H4; cases (aux (〈w,\snd b〉::l4) l5 n1); clear aux;
 261     cut (len (〈w,\snd b〉::l4) + len l5 < n1) as K;[2:
 262       simplify in H5; simplify; rewrite > sym_plus in H5; simplify in H5;
 263       rewrite > sym_plus in H5; apply le_S_S_to_le; apply H5;]
 264     split;
 265     [1: simplify in ⊢ (? % ?); simplify in ⊢ (? ? %);
 266         cases (H4 s K); clear K H4; intro input; cases input; [reflexivity]
 267         simplify; apply H7;
 268     |2: simplify in ⊢ (? ? %); cases (H4 s K); clear H4 K H5 spec;
 269         intro;
 270         (* input < s + b1 || input >= s + b1 *)
 271     |3: simplify in ⊢ (? ? %);]
 272 |4: intros; generalize in match (unpos ??); intro X; cases X; clear X;
 273     (* duale del 3 *)
 274 |5: intros; (* triviale, caso in cui non fa nulla *)
 275 |6,7: (* casi base in cui allunga la lista più corta *)
 276 ]
 277 elim devil;
 278 qed.
 279
 280 include "Q/q/qtimes.ma".
 281
 282 let rec area (l:list bar) on l ≝
 283   match l with
 284   [ nil ⇒ OQ
 285   | cons he tl ⇒ area tl + Qpos (\fst he) * ⅆ[OQ,\snd he]].
 286
 287 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 288 alias symbol "minus" = "Q minus".
 289 alias symbol "exists" = "CProp exists".
 290 definition minus_spec_bar ≝
 291  λf,g,h:list bar.
 292    same_bases f g → len f = len g →
 293      ∀s,i:ℚ. \snd (\fst (value (mk_q_f s h) i)) =
 294        \snd (\fst (value (mk_q_f s f) i)) - \snd (\fst (value (mk_q_f s g) i)).
 295
 296 definition minus_spec ≝
 297  λf,g:q_f.
 298    ∃h:q_f.
 299      ∀i:ℚ. \snd (\fst (value h i)) =
 300        \snd (\fst (value f i)) - \snd (\fst (value g i)).
 301
 302 definition eject_bar : ∀P:list bar → CProp.(∃l:list bar.P l) → list bar ≝
 303  λP.λp.match p with [ex_introT x _ ⇒ x].
 304 definition inject_bar ≝ ex_introT (list bar).
 305
 306 coercion inject_bar with 0 1 nocomposites.
 307 coercion eject_bar with 0 0 nocomposites.
 308
 309 lemma minus_q_f : ∀f,g. minus_spec f g.
 310 intros;
 311 letin aux ≝ (
 312   let rec aux (l1, l2 : list bar) on l1 ≝
 313     match l1 with
 314     [ nil ⇒ []
 315     | cons he1 tl1 ⇒
 316         match l2 with
 317         [ nil ⇒ []
 318         | cons he2 tl2 ⇒ 〈\fst he1, \snd he1 - \snd he2〉 :: aux tl1 tl2]]
 319   in aux : ∀l1,l2 : list bar.∃h.minus_spec_bar l1 l2 h);
 320 [2: intros 4; simplify in H3; destruct H3;
 321 |3: intros 4; simplify in H3; cases l1 in H2; [2: intro X; simplify in X; destruct X]
 322     intros; rewrite > (value_OQ_e (mk_q_f s []) i); [2: reflexivity]
 323     rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_OQ; reflexivity;
 324 |1: cases (aux l2 l3); unfold in H2; intros 4;
 325     simplify in ⊢ (? ? (? ? ? (? ? ? (? % ?))) ?);
 326     cases (q_cmp i (s + Qpos (\fst b)));
 327
 328
 329
 330 definition excess ≝
 331   λf,g.∃i.\snd (\fst (value f i)) < \snd (\fst (value g i)).
 332