helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Q/q/q.ma".
  16 include "list/list.ma".
  17 include "cprop_connectives.ma".
  18
  19 notation "\rationals" non associative with precedence 99 for @{'q}.
  20 interpretation "Q" 'q = Q.
  21
  22 record q_f : Type ≝ {
  23  start : ℚ;
  24  bars: list (ℚ × ℚ) (* base, height *)
  25 }.
  26
  27 axiom qp : ℚ → ℚ → ℚ.
  28
  29 interpretation "Q plus" 'plus x y = (qp x y).
  30
  31 axiom qm : ℚ → ℚ → ℚ.
  32
  33 interpretation "Q minus" 'minus x y = (qm x y).
  34
  35 axiom qlt : ℚ → ℚ → CProp.
  36
  37 interpretation "Q less than" 'lt x y = (qlt x y).
  38
  39 inductive q_comparison (a,b:ℚ) : CProp ≝
  40  | q_eq : a = b → q_comparison a b
  41  | q_lt : a < b → q_comparison a b
  42  | q_gt : b < a → q_comparison a b.
  43
  44 axiom q_cmp:∀a,b:ℚ.q_comparison a b.
  45
  46 definition qle ≝ λa,b:ℚ.a = b ∨ a < b.
  47
  48 interpretation "Q less or equal than" 'le x y = (qle x y).
  49
  50 notation "'nth'" with precedence 90 for @{'nth}.
  51 notation < "'nth' \nbsp l \nbsp d \nbsp i" with precedence 71
  52 for @{'nth_appl $l $d $i}.
  53 interpretation "list nth" 'nth = (cic:/matita/list/list/nth.con _).
  54 interpretation "list nth" 'nth_appl l d i = (cic:/matita/list/list/nth.con _ l d i).
  55
  56 notation < "\rationals \sup 2" non associative with precedence 90 for @{'q2}.
  57 interpretation "Q x Q" 'q2 = (Prod Q Q).
  58
  59 let rec make_list (A:Type) (def:nat→A) (n:nat) on n ≝
  60   match n with
  61   [ O ⇒ []
  62   | S m ⇒ def m :: make_list A def m].
  63
  64 notation "'mk_list'" with precedence 90 for @{'mk_list}.
  65 interpretation "'mk_list'" 'mk_list = (make_list _).
  66 notation < "'mk_list' \nbsp f \nbsp n"
  67 with precedence 71 for @{'mk_list_appl $f $n}.
  68 interpretation "'mk_list' appl" 'mk_list_appl f n = (make_list _ f n).
  69
  70 definition q0 : ℚ × ℚ ≝ 〈OQ,OQ〉.
  71 notation < "0 \sub \rationals" with precedence 90 for @{'q0}.
  72 interpretation "q0" 'q0 = q0.
  73
  74 notation < "[ \rationals \sup 2]" with precedence 90 for @{'lq2}.
  75 interpretation "lq2" 'lq2 = (list (Prod Q Q)).
  76 notation < "[ \rationals \sup 2] \sup 2" with precedence 90 for @{'lq22}.
  77 interpretation "lq22" 'lq22 = (Prod (list (Prod Q Q)) (list (Prod Q Q))).
  78
  79
  80 notation "'len'" with precedence 90 for @{'len}.
  81 interpretation "len" 'len = length.
  82 notation < "'len' \nbsp l" with precedence 70 for @{'len_appl $l}.
  83 interpretation "len appl" 'len_appl l = (length _ l).
  84
  85 definition eject ≝
  86   λP.λp:∃x:(list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
  87 coercion cic:/matita/dama/models/q_function/eject.con.
  88 definition inject ≝
  89   λP.λp:(list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)).λh:P p. ex_introT ? P p h.
  90 (*coercion inject with 0 1 nocomposites.*)
  91 coercion cic:/matita/dama/models/q_function/inject.con 0 1 nocomposites.
  92
  93 definition cb0h ≝ (λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l q0 i),OQ〉) (length ? l)).
  94
  95 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
  96 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
  97 definition rebase:
  98   q_f → q_f →
  99     ∃p:q_f × q_f.∀i.
 100      \fst (nth (bars (\fst p)) q0 i) =
 101      \fst (nth (bars (\snd p)) q0 i).
 102 intros (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 103 letin spec ≝ (λl1,l2:list (ℚ × ℚ).λm:nat.λz:(list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)).True);
 104 letin aux ≝ (
 105 let rec aux (l1,l2:list (ℚ × ℚ)) (n:nat) on n : (list (ℚ × ℚ)) × (list (ℚ × ℚ)) ≝
 106 match n with
 107 [ O ⇒ 〈[],[]〉
 108 | S m ⇒
 109   match l1 with
 110   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 111   | cons he1 tl1 ⇒
 112      match l2 with
 113      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 114      | cons he2 tl2 ⇒
 115          let base1 ≝ (\fst he1) in
 116          let base2 ≝ (\fst he2) in
 117          let height1 ≝ (\snd he1) in
 118          let height2 ≝ (\snd he2) in
 119          match q_cmp base1 base2 with
 120          [ q_eq _ ⇒
 121              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 122              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 123          | q_lt _ ⇒
 124              let rest ≝ base2 - base1 in
 125              let rc ≝ aux tl1 (〈rest,height2〉 :: tl2) m in
 126              〈〈base1,height1〉 :: \fst rc,〈base1,height2〉 :: \snd rc〉
 127          | q_gt _ ⇒
 128              let rest ≝ base1 - base2 in
 129              let rc ≝ aux (〈rest,height1〉 :: tl1) tl2 m in
 130              〈〈base2,height1〉 :: \fst rc,〈base2,height2〉 :: \snd rc〉
 131 ]]]]
 132 in aux); : ∀l1,l2,m.∃z.spec l1 l2 m z);
 133
 134 cases (q_cmp s1 s2);
 135 [1: apply (mk_q_f s1);
 136 |2: apply (mk_q_f s1); cases l2;
 137     [1: letin l2' ≝ (
 138 [1: (* offset: the smallest one *)
 139     cases