helm/software/matita/contribs/dama/dama/models/q_function.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "nat_ordered_set.ma".
  16 include "models/q_bars.ma".
  17
  18 lemma sum_bars_increasing:
  19   ∀l,x.sum_bases l x < sum_bases l (S x).
  20 intro; elim l;
  21 [1: elim x;
  22     [1: simplify; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
  23         apply q_pos_lt_OQ;
  24     |2: simplify in H ⊢ %;
  25         apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
  26         rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  27         rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ;
  28         assumption;]
  29 |2: elim x;
  30     [1: simplify; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
  31         apply q_pos_lt_OQ;
  32     |2: simplify; change in ⊢ (? ? (? % ?)) with (sum_bases l1 (S n)) ;
  33         apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
  34         rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
  35         rewrite > q_plus_minus; rewrite > q_plus_OQ; apply H]]
  36 qed.
  37
  38 lemma q_lt_canc_plus_r:
  39   ∀x,y,z:Q.x + z < y + z → x < y.
  40 intros; rewrite < (q_plus_OQ y); rewrite < (q_plus_minus z);
  41 rewrite > q_elim_minus; rewrite > q_plus_assoc;
  42 apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_opp; assumption;
  43 qed.
  44
  45 lemma q_lt_inj_plus_r:
  46   ∀x,y,z:Q.x < y → x + z < y + z.
  47 intros; apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qopp z));
  48 do 2 (rewrite < q_plus_assoc;rewrite < q_elim_minus);
  49 rewrite > q_plus_minus;
  50 do 2 rewrite > q_plus_OQ; assumption;
  51 qed.
  52
  53 lemma sum_bases_lt_canc:
  54   ∀l,x,y.sum_bases l (S x) < sum_bases l (S y) → sum_bases l x < sum_bases l y.
  55 intro; elim l; [apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos one));apply H]
  56 generalize in match H1;apply (nat_elim2 (?:? → ? → CProp) ??? x y);
  57 intros 2;
  58 [3: intros 2; simplify; apply q_lt_inj_plus_r; apply H;
  59     apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos (\fst a))); apply H3;
  60 |2: cases (?:False); simplify in H2;
  61     apply (q_lt_le_incompat (sum_bases l1 (S n)) OQ);[2: apply sum_bases_ge_OQ;]
  62     apply (q_lt_canc_plus_r ?? (Qpos (\fst a))); apply H2;
  63 |1: cases n in H2; intro;
  64     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl ? H2);
  65     |2: simplify; apply  q_lt_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
  66         apply q_pos_lt_OQ;]]
  67 qed.
  68
  69 axiom q_minus_distrib:
  70   ∀x,y,z:Q.x - (y + z) = x - y - z.
  71
  72 axiom q_le_OQ_Qpos: ∀x.OQ ≤ Qpos x.
  73
  74 lemma initial_shift_same_values:
  75   ∀l1:q_f.∀init.init < start l1 →
  76    same_values l1
  77      (mk_q_f init (〈\fst (unpos (start l1 - init) ?),OQ〉:: bars l1)).
  78 [apply hide; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ; assumption]
  79 intros; generalize in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? ? (? ? ? (? ? %)) ?) ?))); intro;
  80 cases (unpos (start l1-init) H1); intro input;
  81 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? (? (? ? (? ? (? ? ? % ?) ?)) ?))));
  82 cases (value (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) input);
  83 simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? %));
  84 cases (q_cmp input (start (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)))) in H3;
  85 whd in ⊢ (% → ?); simplify in H3;
  86 [1: intro; cases H4; clear H4; rewrite > H3;
  87     cases (value l1 init); simplify; cases (q_cmp init (start l1)) in H4;
  88     [1: cases (?:False); apply (q_lt_corefl init); rewrite > H4 in ⊢ (?? %); apply H;
  89     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym init (start l1)); assumption;
  90     |2: whd in ⊢ (% → ?); intro; rewrite > H8; clear H8 H4;
  91         rewrite > H7; clear H7; rewrite > (?:\fst w1 = O); [reflexivity]
  92         symmetry; apply le_n_O_to_eq;
  93         rewrite > (sum_bases_O (mk_q_f init (〈w,OQ〉::bars l1)) (\fst w1)); [apply le_n]
  94         clear H6 w2; simplify in H5:(? ? (? ? %));
  95         destruct H3; rewrite > q_d_x_x in H5; assumption;]
  96 |2: intros; cases (value l1 input); simplify in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  97     cases (q_cmp input (start l1)) in H5; whd in ⊢ (% → ?);
  98     [1: cases (?:False); clear w2 H4 w1 H2 w H1;
  99         apply (q_lt_antisym init (start l1)); [assumption] rewrite < H5; assumption
 100     |2: intros; rewrite > H6; clear H6; rewrite > H4; reflexivity;
 101     |3: cases (?:False); apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
 102         apply (q_lt_trans ??? H3 H);]
 103 |3: intro; cases H4; clear H4;
 104     cases (value l1 input); simplify; cases (q_cmp input (start l1)) in H4; whd in ⊢ (% → ?);
 105     [1: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
 106         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
 107         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
 108         cut (\fst w2 = O); [2: clear H10;
 109           symmetry; apply le_n_O_to_eq; rewrite > (sum_bases_O l1 (\fst w2)); [apply le_n]
 110           apply (q_le_trans ??? H9); rewrite < H4; rewrite > q_d_x_x;
 111           apply q_eq_to_le; reflexivity;]
 112         rewrite > Hcut; clear Hcut H10 H9; simplify in H5 H6;
 113         cut (ⅆ[input,init] = Qpos w) as E; [2:
 114           rewrite > H2; rewrite < H4; rewrite > q_d_sym;
 115           rewrite > q_d_noabs; [reflexivity] apply q_lt_to_le; assumption;]
 116         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
 117         [1: cases (?:False); clear H5; simplify in H6;
 118             apply (q_lt_corefl ⅆ[input,init]);
 119             rewrite > E in ⊢ (??%); rewrite < q_plus_OQ in ⊢ (??%);
 120             rewrite > q_plus_sym; assumption;
 121         |2: cases n in H5 H6; [intros; reflexivity] intros;
 122             cases (?:False); clear H6; cases (bars l1) in H5; simplify; intros;
 123             [apply (q_pos_OQ one);|apply (q_pos_OQ (\fst b));]
 124             apply (q_le_S ??? (sum_bases_ge_OQ ? n1));[apply []|3:apply l]
 125             simplify in ⊢ (? (? (? % ?) ?) ?); rewrite < (q_plus_minus (Qpos w));
 126             rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r;
 127             rewrite > q_elim_opp; rewrite < E in ⊢ (??%); assumption;]
 128     |2: intros; rewrite > H8; rewrite > H7; clear H8 H7;
 129         simplify in H5 H6 ⊢ %;
 130         cases (\fst w1) in H5 H6; [intros; reflexivity]
 131         cases (bars l1);
 132         [1: intros; simplify; elim n [reflexivity] simplify; assumption;
 133         |2: simplify; intros; cases (?:False); clear H6;
 134             apply (q_lt_le_incompat (input - init) (Qpos w) );
 135             [1: rewrite > H2; do 2 rewrite > q_elim_minus;
 136                 apply q_lt_plus; rewrite > q_elim_minus;
 137                 rewrite < q_plus_assoc; rewrite < q_elim_minus;
 138                 rewrite > q_plus_minus;rewrite > q_plus_OQ; assumption;
 139             |2: rewrite < q_d_noabs; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 140                 rewrite > q_d_sym; apply (q_le_S ???? H5);apply sum_bases_ge_OQ;]]
 141     |3: intro; cases H8; clear H8; rewrite > H11; rewrite > H7; clear H11 H7;
 142         simplify in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? % ? ?)));
 143         cut (\fst w1 = S (\fst w2)) as Key; [rewrite > Key; reflexivity;]
 144         simplify in H5 H6;
 145         cases (\fst w1) in H5 H6; intros;
 146         [1: cases (?:False); clear H5 H9 H10; simplify in H6;
 147             apply (q_lt_antisym input (start l1)); [2: assumption]
 148             rewrite > q_d_sym in H6;
 149             rewrite > q_d_noabs in H6; [2: apply q_lt_to_le; assumption]
 150             rewrite > q_plus_sym in H6;
 151             rewrite > q_plus_OQ in H6; rewrite > H2 in H6;
 152             lapply (q_lt_plus ??? H6) as X; clear H6 H2 H3 H1 H H4 w1 w2 w;
 153             rewrite > q_elim_minus in X; rewrite < q_plus_assoc in X;
 154             rewrite > (q_plus_sym (Qopp init)) in X;
 155             rewrite < q_elim_minus in X; rewrite > q_plus_minus in X;
 156             rewrite > q_plus_OQ in X; assumption;
 157         |2: simplify in H5; apply eq_f;
 158             cut (sum_bases (bars l1) (\fst w2) < sum_bases (bars l1) (S n)+Qpos w);[2:
 159               apply (q_le_lt_trans ??? H9);
 160               apply (q_lt_trans ??? ? H6);
 161               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 162               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 163               do 2 rewrite > q_elim_minus; rewrite > (q_plus_sym ? (Qopp init));
 164               apply q_lt_plus; rewrite > q_plus_sym;
 165               rewrite > q_elim_minus; rewrite < q_plus_assoc;
 166               rewrite < q_elim_minus; rewrite > q_plus_minus;
 167               rewrite > q_plus_OQ; apply q_lt_opp_opp; assumption]
 168             clear H9 H6;
 169             cut (ⅆ[input,init] - Qpos w = ⅆ[input,start l1]);[2:
 170               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 171               rewrite > q_d_sym; rewrite > q_d_noabs; [2:apply q_lt_to_le;assumption]
 172               rewrite > H2; rewrite > (q_elim_minus (start ?));
 173               rewrite > q_minus_distrib; rewrite > q_elim_opp;
 174               do 2 rewrite > q_elim_minus;
 175               do 2 rewrite < q_plus_assoc;
 176               rewrite > (q_plus_sym ? init);
 177               rewrite > (q_plus_assoc ? init);
 178               rewrite > (q_plus_sym ? init);
 179               rewrite < (q_elim_minus init); rewrite > q_plus_minus;
 180               rewrite > (q_plus_sym OQ); rewrite > q_plus_OQ;
 181               rewrite < q_elim_minus; reflexivity;]
 182             cut (sum_bases (bars l1) n < sum_bases (bars l1) (S (\fst w2)));[2:
 183               apply (q_le_lt_trans ???? H10); rewrite < Hcut1;
 184               rewrite > q_elim_minus; apply q_le_minus_r; rewrite > q_elim_opp;
 185               assumption;] clear Hcut1 H5 H10;
 186             generalize in match Hcut;generalize in match Hcut2;clear Hcut Hcut2;
 187             apply (nat_elim2 ???? n (\fst w2));
 188             [3: intros (x y); apply eq_f; apply H5; clear H5;
 189                 [1: clear H7; apply sum_bases_lt_canc; assumption;
 190                 |2: clear H6; ]
 191             |2: intros; cases (?:False); clear H6;
 192                 cases n1 in H5; intro;
 193                 [1: apply (q_lt_corefl ? H5);
 194                 |2: cases (bars l1) in H5; intro;
 195                     [1: simplify in H5;
 196                         apply (q_lt_le_incompat ?? (q_lt_canc_plus_r ??? H5));
 197                         apply q_le_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
 198                         apply q_le_OQ_Qpos;
 199                     |2: simplify in H5:(??%);
 200                         lapply (q_lt_canc_plus_r (sum_bases l (S n2)) ?? H5) as X;
 201                         apply (q_lt_le_incompat ?? X); apply sum_bases_ge_OQ]]
 202             |1: intro; cases n1 [intros; reflexivity] intros; cases (?:False);
 203                 elim n2 in H5 H6;
 204
 205
 206              elim (bars l1) 0;
 207                 [1: intro; elim n1; [reflexivity] cases (?:False);
 208
 209
 210                 intros; clear H5;
 211                 elim n1 in H6; [reflexivity] cases (?:False);
 212                 [1: apply (q_lt_corefl ? H5);
 213                 |2: cases (bars l1) in H5; intro;
 214                     [1: simplify in H5;
 215                         apply (q_lt_le_incompat ?? (q_lt_canc_plus_r ??? H5));
 216                         apply q_le_plus_trans; [apply sum_bases_ge_OQ]
 217                         apply q_le_OQ_Qpos;
 218                     |2: simplify in H5:(??%);
 219                         lapply (q_lt_canc_plus_r (sum_bases l (S n2)) ?? H5) as X;
 220                         apply (q_lt_le_incompat ?? X); apply sum_bases_ge_OQ]]
 221 qed.
 222
 223
 224
 225 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
 226 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
 227 definition rebase_spec ≝
 228  ∀l1,l2:q_f.∃p:q_f × q_f.
 229    And4
 230     (*len (bars (\fst p)) = len (bars (\snd p))*)
 231     (start (\fst p) = start (\snd p))
 232     (same_bases (\fst p) (\snd p))
 233     (same_values l1 (\fst p))
 234     (same_values l2 (\snd p)).
 235
 236 definition rebase_spec_simpl ≝
 237  λstart.λl1,l2:list bar.λp:(list bar) × (list bar).
 238    And3
 239     (same_bases (mk_q_f start (\fst p)) (mk_q_f start (\snd p)))
 240     (same_values (mk_q_f start l1) (mk_q_f start (\fst p)))
 241     (same_values (mk_q_f start l2) (mk_q_f start (\snd p))).
 242
 243 (* a local letin makes russell fail *)
 244 definition cb0h : list bar → list bar ≝
 245   λl.mk_list (λi.〈\fst (nth l ▭ i),OQ〉) (len l).
 246
 247 definition eject ≝
 248   λP.λp:∃x:(list bar) × (list bar).P x.match p with [ex_introT p _ ⇒ p].
 249 coercion eject.
 250 definition inject ≝ λP.λp:(list bar) × (list bar).λh:P p. ex_introT ? P p h.
 251 coercion inject with 0 1 nocomposites.
 252
 253 definition rebase: rebase_spec.
 254 intros 2 (f1 f2); cases f1 (s1 l1); cases f2 (s2 l2); clear f1 f2;
 255 letin spec ≝ (
 256   λs.λl1,l2.λm.λz.len l1 + len l2 < m → rebase_spec_simpl s l1 l2 z);
 257 alias symbol "pi1" (instance 34) = "exT \fst".
 258 alias symbol "pi1" (instance 21) = "exT \fst".
 259 letin aux ≝ (
 260 let rec aux (l1,l2:list bar) (n:nat) on n : (list bar) × (list bar) ≝
 261 match n with
 262 [ O ⇒ 〈 nil ? , nil ? 〉
 263 | S m ⇒
 264   match l1 with
 265   [ nil ⇒ 〈cb0h l2, l2〉
 266   | cons he1 tl1 ⇒
 267      match l2 with
 268      [ nil ⇒ 〈l1, cb0h l1〉
 269      | cons he2 tl2 ⇒
 270          let base1 ≝ Qpos (\fst he1) in
 271          let base2 ≝ Qpos (\fst he2) in
 272          let height1 ≝ (\snd he1) in
 273          let height2 ≝ (\snd he2) in
 274          match q_cmp base1 base2 with
 275          [ q_eq _ ⇒
 276              let rc ≝ aux tl1 tl2 m in
 277              〈he1 :: \fst rc,he2 :: \snd rc〉
 278          | q_lt Hp ⇒
 279              let rest ≝ base2 - base1 in
 280              let rc ≝ aux tl1 (〈\fst (unpos rest ?),height2〉 :: tl2) m in
 281              〈〈\fst he1,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he1,height2〉 :: \snd rc〉
 282          | q_gt Hp ⇒
 283              let rest ≝ base1 - base2 in
 284              let rc ≝ aux (〈\fst (unpos rest ?),height1〉 :: tl1) tl2 m in
 285              〈〈\fst he2,height1〉 :: \fst rc,〈\fst he2,height2〉 :: \snd rc〉
 286 ]]]]
 287 in aux : ∀l1,l2,m.∃z.∀s.spec s l1 l2 m z); unfold spec;
 288 [9: clearbody aux; unfold spec in aux; clear spec;
 289     cases (q_cmp s1 s2);
 290     [1: cases (aux l1 l2 (S (len l1 + len l2)));
 291         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1;
 292         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s2 (\snd w)〉] split;
 293         [1,2: assumption;
 294         |3: intro; apply (H3 input);
 295         |4: intro; rewrite > H in H4;
 296             rewrite > (H4 input); reflexivity;]
 297     |2: letin l2' ≝ (〈\fst (unpos (s2-s1) ?),OQ〉::l2);[
 298           apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 299           assumption]
 300         cases (aux l1 l2' (S (len l1 + len l2')));
 301         cases (H1 s1 (le_n ?)); clear H1 aux;
 302         exists [apply 〈mk_q_f s1 (\fst w), mk_q_f s1 (\snd w)〉] split;
 303         [1: reflexivity
 304         |2: assumption;
 305         |3: assumption;
 306         |4: intro; rewrite < (H4 input); clear H3 H4 H2 w;
 307             cases (value (mk_q_f s1 l2') input);
 308             cases (q_cmp input (start (mk_q_f s1 l2'))) in H1;
 309             whd in ⊢ (% → ?);
 310             [1: intros; cases H2; clear H2; whd in ⊢ (??? %);
 311                 cases (value (mk_q_f s2 l2) input);
 312                 cases (q_cmp input (start (mk_q_f s2 l2))) in H2;
 313                 whd in ⊢ (% → ?);
 314                 [1: intros; cases H6; clear H6; change with (w1 = w);
 315
 316             (* TODO *) ]]
 317 |1,2: unfold rest; apply q_lt_minus; rewrite > q_plus_sym; rewrite > q_plus_OQ;
 318       assumption;
 319 |3:(* TODO *)
 320 |4:(* TODO *)
 321 |5:(* TODO *)
 322 |6:(* TODO *)
 323 |7:(* TODO *)
 324 |8: intros; cases (?:False); apply (not_le_Sn_O ? H1);]
 325 qed.